初三动点问题___培优教案.doc

G
D
C a
O 3 1 1 3 S x A ．
O
1 1 3 S
x O
3 S
x 3
O
1 1 3 S
x
B ．
C ．
D ．
2 D C
P
B
A
初三动点问题培优教案
课前热身：
1．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，1BC =，动点P 从点B 出发，沿路线B C D →→作匀速运动，那么ABP △的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（ ）
2．如图，△ABC 和的△DEF 是等腰直角三角形，∠C=∠F=90°，AB=2.DE=4．点B 与点D 重合，点A,B(D),E 在同一条直线上，将△ABC 沿D E →方向平移，至点A 与点E 重合时停止．设
点B,D 之间的距离为x ，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为y ，则准确反映y 与x 之间对应关
系的图象是（ ）
3.如图1，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 、DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则矩形ABCD 的面积是( )
A ．10 8．16 C. 20 D ．36
．如图，点G 、D 、C 在直线a 上，点E 、F 、A 、B 在直线b 上，若a b Rt GEF ∥，△从如
图所示的位置出发，沿直线b 向右匀速运动，直到EG 与BC 重合．运动过程中GEF △与矩
形ABCD 重合部分．．．．
的面积（S ）随时间（t ）变化的图象大致是（ ）
A
B
C
D
5.如图，在钝角三角形ABC 中，AB ＝6cm ，AC ＝12cm ，动点D 从A 点出发到B 点止，动点E 从C 点出发到A 点止．点D 运动的速度为1cm/秒，点E 运动的速度为2cm/秒．如果
两点同时运动，那么当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是
（ ）
A ．
3秒或4.8秒 B ．3秒 C ．4.5秒 D
．4.5秒或4.8秒
课堂准备：
1.点Ａ、Ｂ、Ｃ在同一直线上，AB=6，BC=5，则AC= ．
经典例题：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是BC 的中点, AD=5, BC=12, CD=24, ∠C=45°,点P 是BC 边上一动点, 设PB 的长为x ． (1)当x 为何值时, 以P , A, D, E 形?
(2)点P 在BC 边上运动的过程中, 以P , A, D, E 为顶点的四边形 能否构成菱形? 试说明理由．
(3)当x 为何值时, 以P , A, D, E 为顶点的四边形是直角梯形? (4)当x 为何值时, S
PEA
=10 ?
备用图：
解：（1）如图，分别过A、D作AM⊥BC于M，DN⊥CB于N，
∴AM=DN，AD=MN=5，
而CD= ，∠C=45°，
∴DN=CN=4=AM，
∴BM=CB-CN-MN=3，
若点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形，
则∠APC=90°或∠DEP=90°，
当∠APC=90°时，
∴P与M重合，
∴BP=BM=3；
当∠DEB=90°时，
∴P与N重合，
∴BP=BN=8；
故当x的值为3或8时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；
（2）若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，那么AD=PE，有两种情况：①当P在E的左边，∵E是BC的中点，
∴BE=6，
∴BP=BE-PE=6-5=1；
②当P在E的右边，
BP=BE+PE=6+5=11；
故当x的值为1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；
（3）由（2）知，当BP=11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形
∴EP=AD=5，
过D作DN⊥BC于N ，
则DN=CN=4，
∴NP=3．
∴DP= = =5，
∴EP=DP，
故此时▱PDAE是菱形．
即以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形．
1.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q．
（1）试证明：无论点P 运动到AB 上何处时，都有△ADQ ≌△ABQ ；
（2）当点P 在AB 上运动到什么位置时，△ADQ 的面积是正方形ABCD 面积的
6
1； （3）若点P 从点A 运动到点B ，再继续在BC 上运动到点C ，在整个运动过程中，当点P
运动到什么位置时，△ADQ 恰为等腰三角形． （1）证明：在正方形ABCD 中，
无论点P 运动到AB 上何处时，都有
AD =AB ∠DAQ =∠BAQ AQ =AQ
∴△ADQ ≌△ABQ ····························································· 2分
(2)解法一：△ADQ 的面积恰好是正方形ABCD 面积的6
1
时，
过点Q 作Q E ⊥AD 于E ,QF ⊥AB 于F ，则QE =
QF
21QE AD ⨯=ABCD 正方形S 61=3
8 ∴QE =3
4
······························································································································· 4分
由△DEQ ∽△DAP 得 DA
DE
AP QE =
解得2=AP ∴2=AP 时，△ADQ 的面积是正方形ABCD 面积的6
1
········································ 6分
（3）若△ADQ 是等腰三角形，则有 QD =QA 或DA =DQ 或AQ =AD ①当点P 运动到与点B 重合时，由四边形ABCD 是正方形知 QD =QA 此时△ADQ 是等腰三角形
②当点P 与点C 重合时，点Q 与点C 也重合，
此时DA =DQ , △ADQ 是等腰三角形 ······································· 8分
③解法一：如图，设点P 在BC 边上运动到x CP =时，有AD =AQ ∵ AD ∥BC ∴∠ADQ =∠CPQ 又∵∠AQD =∠CQP ∠ADQ =∠AQD ∴∠CQP =∠CPQ ∴ CQ =CP =x
∵AC =24 AQ = AD =4 ∴424-=-==AQ AC CQ x
即当424-=CP 时，△ADQ 是等腰三角形 ············································· 10分 ∴当点P 在BC 上运动到248-=BP 时，△ADQ 是等腰三角形． ······························· 10分 2.已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动
（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段
MN 运动的时间为t 秒．
（1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积；
（2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形
MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．
（1）过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ． 则2AD =，
当MN 运动到被CD 垂直平分时，四边形MNQP 是矩形， 即3
2
AM =
时，四边形MNQP 是矩形， 3
2
t ∴=
秒时，四边形MNQP 是矩形．
tan 60PM AM =Q °=，
3
2MNQP S ∴=四边形
····································································································· 4分 （2）1°当01t <<时，
1
()2
MNQP S PM QN MN =+四边形·
11)2
t ⎤=+⎦
2
=+ ········································································· 6分
2°当12t ≤≤时
1
()2
MNQP S PM QN MN =+四边形·
1)12t ⎤=
-⎦·
=················································································· 8分 3°当23t <<时，
1
()2
MNQP S PM QN MN =+四边形·
1))2
t t ⎤=
--⎦
=+·································································
10分
3.如图所示，菱形ABCD 的边长为6厘米，60B ∠=°．从初始时刻开始，点P 、Q 同时从
A 点出发，点P 以1厘米/秒的速度沿A C
B →→的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿A B
C
D →→→的方向运动，当点Q 运动到D 点时，P 、Q 两点同时停止运动，设P 、
Q 运动的时间为x 秒时，APQ △与ABC △重叠部分．．．．的面积为y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O 的三角形），解答下列问题： （1）点P 、Q 从出发到相遇所用时间是 秒；
（2）点P 、Q 从开始运动到停止的过程中，
当APQ △是等边三角形时x 的值是 秒； （3）求y 与x 之间的函数关系式．
C
P
Q
A
M
N C
P
Q
B
A M N
C
P
Q
A M
N
C P
Q
B
A M N
C
P
Q
C P
Q
A
M
N
解：（1）6． ······························································································································ （1分） （2）8． ···································································································································· （3分） （3）①当03x <≤时，
2
111sin 60222APQ y S AP AQ x x x ==︒==13
△1····． ········································· （5分） ②当3x <≤6时，
12222221
2
1
sin 6021(12-2)2APQ y S AP P Q AP CQ x x ==
︒=△=?···
=2
.x + ··················································································································· （7分） ③当69x ≤≤时，设33P Q 与AC 交于点O ． (解法一)
过3Q 作3,Q E CB ∥则3CQ E △为等边三角形．
33333
212..Q E CE CQ x Q E CB COP EOQ ∴===-∴Q ∥△∽△
3361
,2122
11
(212),
33
CP OC x OE EQ x OC CE x -∴
===-∴==-
3
33
3311
sin 60sin 6022AQP ACP COP y S S CP AC OC CP ===-△△△-S ··°··°
111(6)(212)(6)223x x x =
--⨯--·6．
262
x x =-
+-． ····························································································· （10分） （解法二）
如右图，过点O 作3OF CP ⊥于点F ，3OG CQ ⊥，于点,G 过点3P 作3P H DC ⊥交DC 延长线于点H ．
,
.
ACB ACD OF OG ∠=∠∴=Q
又33,6,2122(6),CP x CQ x x =-=-=-
Q 1
A
B
C D
Q 2
P 3 Q 3 E P 2
P 1 O
Q 3
G H
331
2CQP COQ S S ∴=△△
3
333321
,3
11
32
11(212)(6)326).6
COP CP Q S S CQ P H x x x ∴==⨯=⨯--=-△△···又33
1
sin 602
ACP S CP AC =△··°
1(6)626).2
x x =-⨯=- 3AOP y S ∴=△
33
2
6)6)ACP OCP S S x x =-=--△△
2x x =+- ····································································································· （10分 4．如图1所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上．过点B 、
C 作直线l ．将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点
D 与y 轴交于点
E ．
（1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t （t ≥0），直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为S ，S 关于t 的函数图象如图2所示， OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，N 点横坐标为4．
①求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积； ②当2＜t ＜4时，求S 关于t 的函数解析式；
（2）在第（1）题的条件下，当直线l 向左或向右平移时（包括l 与直线BC 重合），在直．线．AB ．．上是否存在点P ，使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（1）①AB ＝2；直角梯形OABC 的面积为12；
②当2＜t ＜4时，直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积S ＝－t 2＋8t －4． （2）存在点P ，使△PDE 为等腰直角三角形．满足条件的点P 有
P 1（－12，4），P 2（－4，
4），P 3（－83，4），P 4（4，
4），P 5（8，4）．
2010如图16，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90B ∠=︒，AD = 6，BC = 8，33=AB
，
图1 图2
点M 是BC 的中点．点P 从点M 出发沿MB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，到达点B 后立刻以原速度沿BM 返回；点Q 从点M 出发以每秒1个单位长的速度在射线MC 上匀速运动．在点P ，Q 的运动过程中，以PQ 为边作等边三角形EPQ ，使它与梯形ABCD 在射线BC 的同侧．点P ，Q 同时出发，当点P 返回到点M 时停止运动，点Q 也随之停止． 设点P ，Q 运动的时间是t 秒(t ＞0)．
（1）设PQ 的长为y ，在点P 从点M 向点B 运动的过程中，写出y 与t 之间的函数关
系式（不必写t 的取值范围）．
（2）当BP = 1时，求△EPQ 与梯形ABCD 重叠部分的面积．
（3）随着时间t 的变化，线段AD 会有一部分被△EPQ 覆盖，被覆盖线段的长度在某个
时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接．．写出t 的取值范围；若不能，请说明理由．
25．解：（1）y = 2t ；（2）当BP = 1时，有两种情形：
①如图6，若点P 从点M 向点B 运动，有 MB = BC 2
1
= 4，MP = MQ = 3，
∴PQ = 6．连接EM ，
∵△EPQ 是等边三角形，∴EM ⊥PQ ．∴33=EM
． ∵AB = 33，∴点E 在AD 上．
∴△EPQ 与梯形ABCD 重叠部分就是△EPQ ，其面积为39． ②若点P 从点B 向点M 运动，由题意得 5=t ．
PQ = BM + M Q -BP = 8，PC = 7．设PE 与AD 交于点F ，QE 与AD 或AD 的
延长线交于点G ，过点P 作PH ⊥AD 于点H ，则
HP = 33，AH = 1．在Rt △HPF 中，∠HPF = 30°，
∴HF = 3，PF = 6．∴FG = FE = 2．又∵FD = 2， ∴点G 与点D 重合，如图7．此时△EPQ 与梯形ABCD
的重叠部分就是梯形FPCG ，其面积为
32
27．
（3）能．4≤t ≤5．
（2009）如图11，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以
每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分
PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时
出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ；（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求
t 的值．若不能，请说明理由；（4）当DE 经过点C 时，请直接．．
写出t 的值． 评析 本试题仍然是以几何图形中的运动元素为背景，集代数、几何核心内容于一体的综合
D P Q
E
图16
A D
（备用图）
A D
E
F
H
G 图7
A
D
E
A
C
B
P
Q E
D
图11
题．但一改过去点、线或图形运动的切入角度，在构思上做出了两个方面的突破：一是点的运动方式从过去的单向单程，变为双向往返；二是由两个点的运动带动了一条射线（动线段的垂直平分线）的运动．
本题涉及知识与方法众多，勾股定理、相似三角形的判定与性质、直角梯形、线段的垂直平分线、一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程、分类讨论思想、函数与方程思想、转化思想、运动变化观点等等，几乎涉及了7~9年级所有重要的数学核心知识该题从命题技术上采用“宽入窄出、缓步提升”的分层次考查策略，既关注了不同数学水平学生的解题需要，又突出了题目应有的选拔作用．
26．(08河北)（本小题满分12分）
如图15，在Rt ABC △中，90C ∠=o
，50AB =，30AC =，D E F ，，分别是
AC AB BC ，，的中点．点P 从点D 出发沿折线DE EF FC CD ---以每秒7个单位长的
速度匀速运动；点Q 从点B 出发沿BA 方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q 作射线QK AB ⊥，交折线BC CA -于点G ．点P Q ，同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P Q ，运动的时间是t 秒（0t >）． （1）D F ，两点间的距离是 ；
（2）射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出t 的值．若不能，说明理由；
（3）当点P 运动到折线EF FC -上，且点P 又恰好落在射线QK 上时，求t 的值；
（4）连结PG ，当PG AB ∥时，请直接．．写出t 的值．
图15。