经典集合与模糊集合汇总

xi
x1
x2
xn
如果论域U 是无限不可数集，F 集合A可表示为：
A A(xi ) xi 注意上述试中的数学符号所表示的意义。
3)向量法 若论域中的元素有限且有序时，可以把各元素的隶属度类似于 向量的分量排列起来表示F集合，这样F集合相当于一个向量， 其分量就是各元素的隶属度取值，故也称F集合A为F向量A,表 示为:
F集合A的支集和核，都是经典集合。
2)数与集合A的数积 设A (U), [0，1]，x U。可以定义一个新的集合“A”,
它满足以下条件：
( A)(x) A(x) 称 A为数与集合A的数集。
把一个F集合A的隶属函数A（x）、支集SuppA、核KerA及
它和数的数积A，一并画在图上，可以看出它们的意义以及
C(x) A(x) B(x) max[A(x), B(x)] 则称C为A和B的并集，记作C A B。符号“”表示对 两边的值做取大运算。
6.模糊集合间的交集 若A, B,C （U）,x U ,均有：
C(x) A(x) B(x) min[A(x), B(x)] 则称C为A和B的并集，记作C A B。符号“”表示对 两边的值做取小运算。
A ( A(x1), A(x2 ), , A(xn ))
注：用向量表示法时，同一论域上各集合中元素隶属度的排列 顺序必须相同，而且隶属度等于零的项不得省略。
3)函数法
当论域U 是无限不可数集时，根据F 集合A的定义，完全可以用 它的隶属函数A（x）来表征它.
例子2-1
设论域U {1，2，3，4，5}, A表示“靠近4的数集”，则A就是F集合。 已知论域U中各元素隶属于A的程度A（xi）,试用F集合的各种 表示方法表示出F集合A。
称A为模糊空集，记为A 。
3.模糊集合的相等 设A,B (U),对任何x U,均有A（x）=B（x），则称A与B 相等， 记作A=B。 4.模糊集合间的包含 设A,B (U),x U,均有A（x） B（x），则称A包含于B(B包含A) 或A是B的子集，记作A B。
5.模糊集合的并集 若A, B,C （U）,x U ,均有：
从F集合的定义和表示方法可以看出，隶属函数是F集合 的核心，F集合完全由隶属函数所描述。给出一个F集合，就 要给出论域中各个元素对于该F集合的隶属度。因此，定义 一个F集合，就要定义出论域中各个元素对该集合的隶属度。
2.2.1确定隶属函数的基本方法 （1）模糊统计法
根据所提出的模糊概念对许多人进行调查统计，提出与之
跟F集合A的关系。
3)凸F集 凸F集是经典集合中凸集的推广。经典集合论中凸集的定义是：
A (U),任意两点x1, x3 A及 [0,1],连接x1和x3线段上的点 x2 = x1 (1 )x3都在A中，即x2 A,则称集合A是凸的，否则
是非凸的。
凸F集定义：设集合A (R),R是实数域，若x1、x2、x3 R, 且x1 x2 x3,均有
集，简称模糊数，即把某个实数值为核的、凸F集称为F 数。
模糊数的表示方法也和一般的F集合一样，如：F数 2、F数3，在连续域上可以表示为：
x 1,1 x 2 2(x) 3 x, 2 x 3,
( x3)2
3(x) e 0.2 , x [1.5, 4.5]
3模糊集合的表示方法：
隶属度表示论语中某个元素属于F集合的程度。因此，当谈到 一个F集合 就得给出论域中各元素属于该F集合的程度——隶属函数。所 以，隶属函数是表示F 集合的关键概念。有几种表示方法: 1)序对法
A B=B A
试证：(1)交换律A B=B A；(2)对偶律(A B)C AC BC。
(2)即证明对于论域U中任意x都有： 1-(A B)(x)=（1-A(x)）（1-B(x)）
而1-(A B)(x)=1-[A(x) B(x)]，因为A(x)与B(x)都是小于1的数 所以有两种情况： 若A(x)>B(x),则1-[A(x) B(x)]=1-A(x)； 若A(x)<B(x),则1-[A(x) B(x)]=1-B(x)。 将两种情况结合，就可以得出： 1-[A(x) B(x)]=[1-A(x)] [1-B(x)] 根据定义，把隶属函数表达式换成F集合表示式，则有：
f1234005080410060705050808110707abuuuu????????1234123412341234124005080410060700400610?108?11?106?10204cuuuuabuuuuuuuuauuuuuuu????????????????????????1234123424010?080210060401?08021006040204caauuuuuuuuuu??????????????????caa213ccffaabbabab????220
A B= 0 0.5 0.8 0.4 1 0 0.6 0.7
u1
u2
u3
u4
0.5 0.8 1 0.7 u1 u2 u3 u4
A B 0 0.5 0.8 0.4 1 0 0.6 0.7
u1
u2
u3
u4
0 0.4 0 0.6 u1 u2 u3 u4
Ac 1 0 1 0.8 11 1 0.6 1 0.2 0.4
假设年龄x的论域为U [1，100], x U。用Q(x), Z (x), L(x)分别 表示“青年”，“中年”和“老年”的隶属函数。对扎德的 调查问卷结果经过数据分析处理、数字化后，得出三个模糊 概念的隶属函数表达式。
青年
1,
x 25
Q(x)=
[1+(
x-25 10
)2 ]-1 ,
x
25
10 x
)2
]1
2.2.2常用隶属函数
(1)三角形
0, x a
x
a
,
a
x
b
f
(x, a,b,
c)
b
ca xຫໍສະໝຸດ ,bxc,
c b
0, x c
要求a b c
(2)钟形
f (x, a, b, c) 1+
1 xc
2b
,
a
决定函数的形状。
其中c决定函数的中心位置，a、b
(3)高斯型
f
( x,
采用反证法： 设A(x) 0.3，则AC (x)=1-0.3=0.7，A(x) AC (x)=0.3 0.7=0.3 0， 因此可知A(x) AC (x) 0，这是因为F集合边界不分明，F集合 A和AC有交叠部分存在。
例2-5 试证：(1)交换律A B=B A；(2)对偶律(A B)C AC BC。 证明：由于F集合完全取决于它的隶属函数，所以集合性质的证明，是 通过它们隶属函数间的关系进行的。 (1)即证明(A B)(x)=(B A)(x) 根据定义，对任意x都有(A B)(x)=A(x) B(x)，因为B(x)和A(x) 是小于1的数值，数值间的取大是完全可以交换顺序的，故有 A(x) B(x)=B(x) A(x)，于是有：
根据专家和操作人员的实际经验和主观感知，经过分析、 演绎和推理，直接给出元素属于某个F集合的隶属度。 （4）神经网络法
利用神经网络的学习功能，把大量测试数据输入某个神经 网络器，自动生成一个隶属函数，然后再通过网络的学习、 检验，自动调整隶属函数的某些参数，最后确定下来。
注：无论是哪种，都离不开人的主观参与和客观实际的检验。
,
c)
e
(
xc)2 2 2
其中，c决定函数中心的位置， 决定函数曲线的宽度。
(4)梯形
0,
x
a
,
f (x, a, b, c, d ) 1b, a
d
x
,
d c
0,
xa a xb b xc, cxd xd
要求a b, c d
(5)Sigmoid形
f
(x, a, c)
1 1+ea( xc)
,
2. 模糊数
2.1.2 模糊集合
1)F集合的支集、核和正规F集 设A (U ),记集合 SuppA {x x U , A(x) 0}, 称SuppA为F集合的支集（Supporter）;
KerA {x x U , A(x) 1}, 称KerA为F集合的核（Kernel）;
把KerA 的F集合A称为正规F集。
( A B)C AC BC
例2-6 论域由四个人构成，即U={a,b,c,d},设F集合A=“高个子”， 其隶属函数为：
A 0.9 1 0.6 abd
F集合B “胖子”，其隶属函数为： B （0.8，0.2,0.9,1）
求A B和A B，并说明它们的含义。
解：A B (0.9 0.8, 1 0.2， 0.6 0.9, 0 1) (0.8， 0.2， 0.6， 0)
解：
序对法：A={(1,0),(2,0.2),(3,0.8),(4,1),(5,0.8),(6,0.2)}
扎德法：A=
0 1
0.2 2
0.8 3
1 4
0.8 5
0.2 6
0.2 0.8 1 0.8 0.2 2 3 4 5 6
向量法：A (0， 0.2， 0.8， 1， 0.8， 0.2)
2.2 隶属函数
当F集合的论域U为有限集或可数集时，F集合A表示为: A={(xi,A(xi))xi U ,i 1, 2, , n} ={(x1,A(x1)),(x2,A(x2 )), ,(xn,A(xn ))}
2)扎德法
当论域U 是有限集或可数集时，F 集合A可表示为：
A A(xi ) A(x1) A(x2 ) A(xn ) ,i 1, 2, , n
中年
0,
1 x 25
Z(x)=
[1+(
x-50 18
)4
]-1 ,
25
x
50
[1+(
x-50 18
)2]-1, 50
x
0,
x 50
老年Z(x)=
[1+(
x-50 5
)2
]-1
,
x
50
这些F集合也可以用扎德表示法表示，如“青年”的隶属函数为：
Q(x)= x25
1 x
[1+(
x>25
x-25
7.模糊集合的补集 若A, B （U）,x U ,均有：
B(x) 1-A(x) 则称B为A的补集，记作B Ac或B A。
例 2-3
设U {u1, u2, u3, u4}, 若A, B
（U）,A= 0.8 1 0.6 u2 u3 u4
B (0.5，0.4，0，0.7)。求A B, A B, Ac , A Ac和A Ac。
其中a、c决定函数形状，函数图形
关于点（a,0.5）是中心对称的。
2.3模糊集合的运算 2.3.1 模糊集合的基本运算
模糊集合之间的运算就是对论域中的各元素的隶属度进行 相应的运算。 1.模糊全集 设论域为U，对任何x U,均有A（x）=1或A（x） 1，则称 A为论域U上的全集，记作A=U。 2.模糊空集 设论域为U，对任何x U,均有A（x）=0，记为A（x） 0，则
(U),x
U。已知A(x)=
1 1+2(x+2)2
,
B(x)=e-0.2(x-1)2。现将A、Ac、B、Bc和A B、A B分别画在图2-13中。
2.3.2模糊集合的基本运算规律 设A, B,C (U ),则有 1)分配律
A (B C)=(A B) (A C) A (B C)=(A B) (A C) 2)结合律 （A B） C=A （B C) （A B） C=A （B C)
u1
u2
u3
u4
u1 u2 u4
A Ac 0 1.0 0.8 0.2 1 0 0.6 0.4
u1
u2
u3
u4
A Ac 0 1 0.8 0.2 1 0 0.6 0.4 0.2 0.4
u1
u2
u3
u4
u2 u4
用几个图示理解F集合运算的意义，假设图中的F子集在数域上都是
连续的。设U=[-4,2.2]，A,B
5)幂等律 A A=A A A=A
6)同一律 A U=U;A U=A
A =A;A =
3)交换律 A B=B A A B=B A
4)吸收律 （A B） A=A （A B） A=A
7)对偶律 (A B)C =AC BC (A B)C =AC BC
8)双重否定律
(AC )C A=A
例2-4 证明经典集合中的矛盾律：A AC 在F集合中不成立。 证明：设A (U ),此题要证明A AC ,即证明A(x) AC (x) 0
A（x2） min(A（x1）,A（x3）)=A（x1） A（x3）
凸F集的实际意义在于它是实数域上满足下述条件的F集合：任何中间元素 的隶属度，都大于两边元素隶属度中的小者。如图2-5所示。
4）F数 在模糊控制中经常用到是实数域上的模糊集合，而模
糊数则是常用的一个概念。 模糊数：实数域上正规的、凸F集称为正规实模糊
对应的模糊集合A, 通过统计试验，确定不同元素隶属于某
个模糊集合的程度。假设进行过N次统计性试验，认为u0属
于F集合A的次数为n,则把n与N的比值视为u0对A的隶属度，
记为A(u0 ),即：
A(u0
)=
n N
(2)二元对比排序法 在论域里的多个元素中，人们通过把他们两两对比，确定
其在某种特性下的顺序，据此决定出它们对该特性的隶属函 数大体形状，再将其纳入与该图形近似的常用数学函数。 （3）专家经验法