苏教版必修二：第一章 立体几何初步 1.2.3 第2课时

第2课时直线与平面平行的性质
学习目标 1.理解直线与平面平行的性质定理.2.掌握直线与平面平行的性质定理，并能应用定理证明一些简单的问题
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知识点直线与平面平行的性质定理
思考1如图，直线l∥平面α，直线a⊂平面α，直线l与直线a一定平行吗？为什么？
★★答案★★不一定，因为还可能是异面直线.
思考2如图，直线a∥平面α，直线a⊂平面β，平面α∩平面β＝直线b，满足以上条件的平面β有多少个？直线a，b有什么位置关系？
★★答案★★无数个，a∥b.
梳理
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定理
图形文字符号
直线与平面平行的
性质定理
如果一条直线和一个平
面平行，经过这条直线
的平面和这个平面相
交，那么这条直线就和
交线平行
错误!
⇒a∥b
类型一线面平行的性质定理的应用
命题角度1用线面平行的性质定理证明线线平行
例1如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
证明连结MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点.
又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.
又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，
∴AP∥平面BDM.
又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，
∴AP∥GH.
反思与感悟(1)利用线面平行的性质定理解题的步骤
①确定(或寻找)一条直线平行于一个平面.
②确定(或寻找)过这条直线且与这个平面相交的平面.
③确定交线.
④由定理得出结论.
(2)常用到中位线定理、平行四边形的性质、成比例线段、平行转移法、投影法等.具体应用时，应根据题目的具体条件而定.
跟踪训练1如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形.
证明因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，
所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.
同理AB∥PQ，
所以MN ∥PQ .同理可得MQ ∥NP . 所以截面MNPQ 是平行四边形.
命题角度2 用线面平行的性质求线段比
例2 如图，已知E ，F 分别是菱形ABCD 边BC ，CD 的中点，EF 与AC 交于点O ，点P 在平面ABCD 之外，M 是线段P A 上一动点，若PC ∥平面MEF ，试求PM ∶MA 的值.
解 如图，连结BD 交AC 于点O 1，连结OM ， 因为PC ∥平面MEF ，平面P AC ∩平面MEF ＝OM ， 所以PC ∥OM ，所以PM P A ＝OC
AC ，
在菱形ABCD 中，
因为E ，F 分别是边BC ，CD 的中点，所以OC O 1C ＝1
2.
又AO 1＝CO 1， 所以PM P A ＝OC AC ＝14，
故PM ∶MA ＝1∶3.
反思与感悟 破解此类题的关键：一是转化，即把线面平行转化为线线平行；二是计算，把要求的线段长或线段比问题，转化为同一个平面内的线段长或线段比问题去求解，此时需认真运算，才能得出正确的结果.
跟踪训练2 如图所示，棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，设D 是A 1C 1上的点且A 1B ∥平面B 1CD ，则A 1D ∶DC 1的值为______.
★★答案★★ 1
解析 连结BC 1，设B 1C ∩BC 1＝E ， 连结DE .
由A1B∥平面B1CD可知，A1B∥DE.
因为E为BC1的中点，所以D为A1C1的中点，
所以A1D∶DC1的值为1.
类型二线线平行与线面平行的相互转化
例3已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面.
已知如图，直线a、b，平面α，且a∥b，a∥α，a、b都在平面α外.
求证b∥α.
证明过a作平面β，使它与平面α相交，交线为c.
因为a∥α，a⊂β，α∩β＝c，所以a∥c，
因为a∥b，所以b∥c，
又因为c⊂α，b⊄α，所以b∥α.
反思与感悟直线和平面的平行问题，常常转化为直线和直线的平行问题，而直线和直线的平行问题也可以转化为直线与平面的平行问题，要作出命题的正确转化，就必须熟记线面平行的定义、判定定理和性质定理.
跟踪训练3如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG∥平面ADD1A1.
证明因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，
EH⊄平面BCC1B1，B1C1⊂平面BCC1B1，
所以EH∥平面BCC1B1.
又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG，
所以EH∥FG，即FG∥A1D1.
又FG⊄平面ADD1A1，A1D1⊂平面ADD1A1，
所以FG∥平面ADD1A1.
1.已知a，b表示直线，α表示平面.下列命题中，正确的个数是________.
①若a∥α，b∥α，则a∥b；
②若a∥α，b⊂α，则a∥b；
③若a∥b，b∥α，则a∥α.
★★答案★★0
解析①错，直线a与b的关系可以是平行，也可以是相交或异面；②错，a与b可能平行，也可能异面；③错，直线a也可能在平面α内.
2.直线a∥平面α，P∈α，过点P平行于a的直线________.(填序号)
①只有一条，不在平面α内；
②有无数条，不一定在α内；
③只有一条，且在平面α内；
④有无数条，一定在α内.
★★答案★★③
解析由线面平行的性质定理知，过点P平行于a的直线只有一条，且在平面α内，故填
③.
3.一平面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形只有一条对角线与这个截面平行，那么这四个交点围成的四边形是________.
★★答案★★梯形
解析如图所示，AC∥平面EFGH，则EF∥HG.而对角线BD与平面EFGH不平行，
所以EH与FG不平行.
所以EFGH是梯形.
4.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF ∥平面AB1C，则线段EF的长度为________.
★★答案★★ 2
解析∵EF∥平面AB1C，
又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF⊂平面ADC，∴EF∥AC.
∵E是AD的中点，∴EF＝1
2AC＝
1
2×22＝ 2.
5.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F 分别是P A，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面P AC的位置关系，并加以证明.
解直线l∥平面P AC.
证明如下：
因为E，F分别是P A，PC的中点，所以EF∥AC.
又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，
所以EF∥l.
因为l⊄平面P AC，EF⊂平面P AC，
所以l∥平面P AC.
1.在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质.
2.要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化.在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类问题的最有效的方法.
课时作业
一、填空题
1.过平面α外的直线l作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为________.
①都平行；
②都相交但不一定交于同一点；
③都相交且一定交于同一点；
④都平行或都交于同一点.
★★答案★★④
解析分l∥α和l与α相交两种情况作答，对应的结果是都平行或都交于同一点.
2.如图，已知平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c，若a∥b，则c与a，b的位置关系是__________.
★★答案★★平行
解析∵a∥b，a⊄γ，b⊂γ，∴a∥γ.
又∵a⊂α，α∩γ＝c，∴a∥c，∴a∥b∥c.
3.已知异面直线a，b外的一点M，那么过点M可以作________个平面与直线a，b都平行. ★★答案★★0或1
解析过点M分别作直线a，b的平行线，若其中一条平行线与已知直线a或b相交，则满足题意的平面不存在.否则过点M的两条相交直线确定的平面与a，b都平行.
4.如图，a∥α，A是α另一侧的点，B，C，D∈a，线段AB，AC，AD分别交α于E，F，G，则BD与EG的位置关系是________.
★★答案★★BD∥EG
解析因为a∥α，平面α∩平面ABD＝EG，
所以a∥EG，即BD∥EG.
5.如图，四棱锥S－ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为____________.
★★答案★★3＋2 3
解析∵CD∥AB，CD⊄平面SAB，AB⊂平面SAB，
∴CD∥平面SAB.
又平面CDEF ∩平面SAB ＝EF ，∴CD ∥EF ， 又CD ∥AB ，∴AB ∥EF .
∵SE ＝EA ，∴EF 为△ABS 的中位线， ∴EF ＝1
2AB ＝1，
又DE ＝CF ＝3，
∴四边形DEFC 的周长为3＋2 3.
6.如图，已知A ，B ，C ，D 四点不共面，且AB ∥α，CD ∥α，AC ∩α＝E ，AD ∩α＝F ，BD ∩α＝H ，BC ∩α＝G ，则四边形EFHG 的形状是______.
★★答案★★ 平行四边形
解析 ∵AB ∥α，平面ABC ∩α＝EG ，∴EG ∥AB .同理FH ∥AB ，
∴EG ∥FH .又CD ∥α，平面BCD ∩α＝GH ，∴GH ∥CD .同理EF ∥CD ，∴GH ∥EF ， ∴四边形EFHG 是平行四边形.
7.如图，四边形ABCD 是空间四边形，E ，F ，G ，H 分别是四边上的点，它们共面，且AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，则当四边形EFGH 是菱形时，AE ∶EB ＝________.
★★答案★★ m ∶n 解析 ∵AC ∥平面EFGH ， ∴EF ∥AC ，HG ∥AC ， ∴EF ＝HG ＝BE
AB m .
同理，EH ＝FG ＝AE
AB n ，
∴BE AB m ＝AE AB n ， ∴AE ∶EB ＝m ∶n .
8.已知正方体AC 1的棱长为1，点P 是平面AA 1D 1D 的中心，点Q 是平面A 1B 1C 1D 1的对角线B 1D 1上一点，且PQ ∥平面AA 1B 1B ，则线段PQ 的长为________.
★★答案★★
22
解析 如图，连结AD 1，AB 1，
∵PQ ∥平面AA 1B 1B ，
平面AB 1D 1∩平面AA 1B 1B ＝AB 1， PQ ⊂平面AB 1D 1，∴PQ ∥AB 1， ∴PQ ＝12AB 1＝1212＋12＝2
2
.
9.如图所示的正方体的棱长为4，E ，F 分别为A 1D 1，AA 1的中点，过C 1，E ，F 的截面的周长为________.
★★答案★★ 45＋6 2
解析 由EF ∥平面BCC 1B 1可知，平面BCC 1B 1与平面EFC 1的交线为BC 1，平面EFC 1与平面ABB 1A 1的交线为BF ，所以截面周长为EF ＋FB ＋BC 1＋C 1E ＝45＋6 2.
10.在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是棱AD 上一点，AP ＝1
3，过点P ，E ，F 的平面与棱CD 交于Q ，则PQ ＝________.
★★答案★★
22
3
解析 易知EF ∥平面ABCD ，PQ ＝平面PEF ∩平面ABCD ，∴EF ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝2
3，
故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝22
3
.
二、解答题
11.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1上不同于B、B1的任一点，AB1∩A1E＝F，B1C∩C1E＝G.求证：AC∥FG.
证明∵AC∥A1C1，
A1C1⊂平面A1EC1，
AC⊄平面A1EC1，
∴AC∥平面A1EC1.
又∵平面A1EC1∩平面AB1C＝FG，∴AC∥FG.
12.如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面P AD∩平面PBC＝l.
(1)求证：BC∥l；
(2)MN与平面P AD是否平行？试证明你的结论.
(1)证明∵BC∥AD，AD⊂平面P AD，
BC⊄平面P AD，∴BC∥平面P AD.
又平面P AD∩平面PBC＝l，BC⊂平面PBC，
∴BC∥l.
(2)解MN∥平面P AD.
证明如下：
如图所示，取PD的中点E.
连结EN、AE.
∵N为PC的中点，
∴EN 綊12
AB . ∴EN 綊AM ，∴四边形ENMA 为平行四边形，
∴AE ∥MN .又∵AE ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ，
∴MN ∥平面P AD .
13.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点，点M 在侧棱PC 上，且PM ＝tPC ，若P A ∥平面MQB ，试确定实数t 的值.
解 如图，连结BD ，AC ，AC 交BQ 于点N ，交BD 于点O ，连结MN ，
则O 为BD 的中点.
∵BQ 为△ABD 中AD 边的中线， ∴N 为正三角形ABD 的中心.
设菱形ABCD 的边长为a ，则AN ＝33
a ，AC ＝3a . ∵P A ∥平面MQB ，P A ⊂平面P AC ，
平面P AC ∩平面MQB ＝MN ，
∴P A ∥MN ，
∴PM ∶PC ＝AN ∶AC ，
即PM ＝13PC ，则t ＝13
. 三、探究与拓展
14.长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，其侧面展开图是边长为8的正方形.E ，F 分别是侧棱AA 1，CC 1上的动点，AE ＋CF ＝8.P 在棱AA 1上，且AP ＝2，若EF ∥平面PBD ，则CF ＝________.
★★答案★★ 2
解析连结AC交BD于点O，连结PO，
过点C作CQ∥OP交AA1于点Q.
∵EF∥平面PBD，EF⊂平面EACF，
平面EACF∩平面PBD＝PO，
∴EF∥PO.
又∵CQ∥OP，∴EF∥QC，QE＝CF，
∵四边形ABCD是正方形，CQ∥OP，
∴PQ＝AP＝2.
∵AE＋CF＝AP＋PQ＋QE＋CF
＝2＋2＋CF＋CF＝8，
∴CF＝2.
15.如图所示，已知正三棱柱ABC－A′B′C′中，D是AA′上的点，E是B′C′的中点，且A′E∥平面DBC′.试判断D点在AA′上的位置，并给出证明.
解点D为AA′的中点.证明如下：
取BC的中点F，连结AF，EF，如图.
设EF与BC′交于点O，易证A′E∥AF，A′E＝AF，易知A′，E，F，A共面于平面A′EF A.
因为A′E∥平面DBC′，A′E⊂平面A′EF A，且平面DBC′∩平面A′EF A＝DO，所以A′E∥DO.
在平行四边形A′EF A中，
因为O是EF的中点(因为EC′∥BF，且EC′＝BF)，
所以点D为AA′的中点.。