4(4)有理函数及三角函数有理式的积分(1)

原式=
5u + 2 (u2 + 1)2
du

5 2
d(u2 + 1)
(u2 + 1)2 + 2
du (u2 + 1)2
51
u
- 2 u2 + 1 + u2 + 1 + arctanu + C
递推公式
回代
2x -7 2( x2 - 2x + 2) + arctan( x - 1) + C
书上无
Q( x)
部分分式的和, 如果分母多项式Q( x)在实数域
上的质因式分解式为:
Q( x) b0( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
, 为正整数, 则 P( x) 可唯一的分解为:
Q( x)
4
有理函数的积分
Q( x) b0( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
+ arctan x + C
说明:当被积函数是假分式时,应把它分为 一个多项式和一个真分式,分别积分.
9
有理函数的积分
例2 求
x+3 x2 - 5x + 6 dx
解
x2
x+3 -5x + 6

(x
x+3 - 2)( x - 3)

A+ x-2
B x-3
因式分解 x + 3 A(x - 3) + B(x - 2)
Ap
At + (B - )

2
t2 + a2
dt

At t 2 + a2 dt
A
1
+ (B - p) 2
t 2 + a2 dt
注： 最后将t x + p 带回
2
20
有理函数的积分
Ax + B
(4) ( x2 + px + q)n dx
Ax + A p - A p+ B
22
(x2 + px + q)n
凑微分
d( x + 1)
d( x2 + 2x + 2)
( x + 1)2 + 12 - ( x2 + 2x + 2)2
1
arctan(x + 1) + x2 + 2x + 2 + C
26
有理函数的积分
例 求
x2 (1 - x)100 dx
分析 这是有理函数的积分.分母是100 次多项式 ,
M1x + ( x2 + px
N1 + q)k
+
M2x + N2 ( x2 + px + q)k-1
++
Mk x + Nk x2 + px + q
其中M i , N i 都是常数(i 1,2,, k ) .
特殊地：k
1,
分解后为
Mx + N x2 + px +
; q
有理函数的积分
由此定理知, 有理函数真分式的积分步骤： Step1：将真分式分解成部分分式之和 注 系数的确定,一般有三种方法:
a0 , a1 ,an及b0 , b1 ,bm都是实数,且a0 0, b0 0. 假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m, 真分式;
(2) n m, 假分式.
2
有理函数的积分
P( Q(
x) x)

a0 xn b0 xm
+ +
a1 x n-1 b1 x m-1
+ +
+ +
分析 从理论上看,可用部分分式法, 但计算复杂,
故不宜轻易使用, 应尽量考虑其它方法.
解 原式=
x
2+ 2x + 2- 2x -
( x2 + 2x + 2)2
2
dx
分项

x2 + 2x + 2 ( x2 + 2x + 2)2 dx-
2x + 2 ( x2 + 2x + 2)2 dx
约去公因子 配方
22
x2 + px + q
dx
A


Ax + p
x2
+
2 px +
dx q
+
(B -
A 2
p)
1
x2
+
px
+
dx q

A 2

2x + p
x2
+
px +
dx q
+ (B -
A 2
p)
x2
+
1 dx px + q
x2
+
px + q ( x +
p )2
+ (q -
p2 )
2
4
18
有理函数的积分
5
5
5x + (-2) + 2- 3
法一 原式=
2
2
( x2 - 2x + 2)2
dx
5 2
(
x
2
2x - 2x
2 +
2)2
dx
+
2
1 ( x2 - 2x + 2)2 dx
5 2
d( x (x2
2 - 2x + 2) - 2x + 2)2
+
2
(
x
2
1 -2
x
+
2)2
dx
A

A ln x2 +
(B px + q +
2
p) arctan
2
p2
q-
4
p x+
2 +C p2 q4
19
有理函数的积分
x2
+
px + q
(x+
p )2
+ (q -
p2 )
t2
+ a2
2
4
(3) 法二：
Ax + B x2 + px + q dx
引入变换：x t , A 1 取 x 1, B 1
取 x 2, 并将 A, B 值代入 (1) C -1

1 x( x - 1)2

1 x
+
(x
1 - 1)2
-
1 x-1
12
有理函数的积分
1 x( x - 1)2

1 x
+
(x
1 - 1)2
-
1 x-1
于是

1 x( x - 1)2dx
)

1
A + 2x
+
Bx + C
1+ x2
二次质因式
1 A(1 + x2 ) + (Bx + C )(1 + 2x)
1 ( A + 2B)x2 + (B + 2C )x + C + A
比较系数
A + 2B 0,
B + 2C 0, A + C 1,

A
4, B -2,C
如按部分分式法很麻烦. 如作一个适当的变换, 使分母为单项 ,而分子为多项 , 除一下,化为和差
的积分.
解 作变换 1- x t
1
1 + x2dx
2 ln| 1 + 2x |- 1 ln | 1 + x2 |+ 1 arctan x + C
5
5
5
15
有理函数的积分
注 任意有理真分式的不定积分都归纳为下列
四种典型部分分式的积分之和.
(1)

x
A -
dx; a
(2)

(
x
A -a
)ndx;
(3)
Ax + B
x2
+
px
+
an-1 x bm-1 x
+ +
an bm
有理假分式函数 相除 多项式 + 真分式 分解
若干部分分式之和
多项式
真分式
例
x3 + x2
x+1
+1
x
+
1 x2 +
1
多项式的积分容易计算. 只讨论:
真分式的积分.
3
有理函数的积分
对一般有理真分式的积分,代数学中下述定 理起着关键性的作用.
定理 任何有理真分式P( x) 均可表为有限个
(1) 等式两边同次幂系数相等; (2) 赋值; (3) 求导与赋值结合使用. Step2：求每个分式的积分
8
有理函数的积分
x3 + x + 1 假分式
例1 求 x2 + 1 dx
解 由多项式除法,有
x3 + x2
x+1 +1

x
+
1 x2 +1
原式

xdx +

dx x2 +1

x2 2
Q( x)
5
有理函数化为部分分式之和的一般规律：
（1）分母中若有因式( x - a)k ，则分解后为
(x
A1 - a)k
+
(x
A2 - a)k-1
++
Ak x-a
,
其中A1 , A2 ,, Ak 都是常数. 特殊地：k 1, 分解后为 A ;
x-a
（2）分母中若有因式 ( x2 + px + q)k ，其中 p2 - 4q 0 则分解后为
x
1 -
2
dx
+
6
x
1 -
3
dx
-5ln x - 2 + 6ln x - 3 + C
11
有理函数的积分
练习
求
1 x( x - 1)2dx
解
1 x( x - 1)2

A x
+
(x
B - 1)2
+
C x-1
1 A( x - 1)2 + Bx + Cx( x - 1) (1)
赋值
代入特殊值来确定系数 A, B,C
dx
A 2
d( x2 + px + q) + (B - A p)
(x2 + px + q)n
2
1 ( x2 + px + q)n dx
d( x2 + px + q)
1
( x2 + px + q)n (1 - n)(x2 + px + q)n-1 + C1
In
(x2
+
1 px
+
q)n dx
dx
(x +
p )2
+ (q -
p2 )
n
2
4
21
有理函数的积分
dt
In
(x2
+
1 px
+
q)n dx
dx ( x + p)2 + (q - p2 ) n

dt (t 2 + a2 )n
2
t
用递推公式
（记下）
4 a2
In

1 2a2(n - 1)
x + 3 (A+ B)x - (3A+ 2B)

A+ - (3
B A
+
1, 2B)

3,

A B

-5 6

x2
x+3 -5x +
6

-5 x-2
+
x
6 -
3
比较系数
10
有理函数的积分

x2
x -
+3 5x +
6
dx



-5 x-2
+
x
6 -
3
dx

-5
P(x) Q( x)

(
x
A1 -a
)
+
A2 (x - a) -1
+ +
A
个常数待定
+
( x - a)1
+
(
M1x + x2 + px
N1 + q)

+
M2x + N2 ( x2 + px + q)-1
+
+
M x + N x2 + px + q
+2个常数待定
其中诸Ai , Mi , N i都是常数,可由待定系数法确定, 式中每个分式叫做P( x)的 部分分式(最简分式).
( x - 1)2 + 1 递推公式 23
有理函数的积分
(t2
dt n
+ a2 )n


21
2a2 (n
- 1)


(t
2
+
t a2 )n-1
+
(2n -
3)In-1

求
5x - 3 ( x2 - 2x + 2)2 dx
解 法二 设u x - 1, 则x u + 1, dx du.
5
5
1 5
14
有理函数的积分
(1
+
1 2x)(1 +
x2)

4
5 1+ 2x
+
- 2 x+ 5 1+ x2
1 5

(1
+
1 2 x )(1
+
x2
dx )


1
4
5 + 2x
dx
+

-2x+ 5 1+ x2
1 5dx
2 ln| 1 + 2x | - 1
5
5
1
2x + x2
dx
+
1 5



1 x
+
(x
1 - 1)2
-
x
1 -
1
dx


1dx x