高考数学压轴专题人教版备战高考《坐标系与参数方程》单元汇编附答案

新数学《坐标系与参数方程》期末复习知识要点
一、13
1．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐
标方程为2sin 42a πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线2C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ剟）.若1C 与2C 有且只有一个公共点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．2±
B ．(2,2)-
C ．[1,1)-
D ．[1,1)-或2
【答案】D 【解析】 【分析】
先把曲线1C ，2C 的极坐标方程和参数方程转化为直角坐标方程和一般方程，若1C 与2C 有且只有一个公共点可转化为直线和半圆有一个公共点，数形结合讨论a 的范围即得解. 【详解】
因为曲线1C 的极坐标方程为2sin ,42a πρθ⎛
⎫
+
= ⎪
⎝
⎭即222
(sin cos )222
a ρθθ+= 故曲线1C 的直角坐标方程为：0x y a +-=.
消去参数θ可得曲线2C 的一般方程为：2
2
1x y +=，由于0θπ剟，故0y ≥
如图所示，若1C 与2C 有且只有一个公共点，直线与半圆相切，或者截距11a -≤< 当直线与半圆相切时122
O l d a -=
=∴=± 由于为上半圆，故02a a >∴= 综上：实数a 的取值范围是[1,1)-或2 故选：D 【点睛】
本题考查了极坐标、参数方程与直角坐标方程、一般方程的互化，以及直线和圆的位置关系，考查了学生数形结合，数学运算的能力，属于中档题.
2．在同一直角坐标系中，曲线
经过伸缩变换
后所得到的曲线
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】 【分析】 由，得
代入函数，化简可得出伸缩变换后所得曲线的解析
式。

【详解】 由伸缩变换得，代入
，有，
即.所以变换后的曲线方程为
.故选：C 。

【点睛】
本题考查伸缩变换后曲线方程的求解，理解伸缩变换公式，准确代入是解题的关键，考查计算能力，属于基础题。

3．曲线C 的参数方程为2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为312x y t
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为
参数），若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则AB 等于（ ） A 87
B 47
C 813
D 413
【答案】C 【解析】
分析：首先将取消C 的方程化为直角坐标方程，然后结合直线参数方程的几何意义整理计算即可求得最终结果.
详解：曲线C 的参数方程2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）化为直角坐标方程即：22
14y x +=，
与直线l 的参数方程312x y t
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）联立可得：21613t =，
则12413413
1313
t t =
=-
，
结合弦长公式可知：1213
AB t t =-=. 本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查参数方程的应用，弦长公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4．若直线l ：y kx =与曲线C ：2cos sin x y θ
θ=+⎧⎨=⎩
（θ为参数）有唯一的公共点，则实数k
等于（） A
．
3
B
．3
-
C
D
．3
±
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意，将曲线C 的参数方程消去θ，得到曲线C 的普通方程2
2
(2)1x y -+=，可知曲线C 为圆，又知圆C 与直线相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求得k 。

【详解】
Q 曲线C ：2cos sin x y θ
θ
=+⎧⎨
=⎩，消去θ，得
∴曲线C ： 22(2)1x y -+=
又知圆C 与直线相切。

可得，
1=
解得k =，给故答案选D 。

【点睛】
本题主要考查了参数方程与普通方程的转化以及圆与直线的关系的几何关系表达。

5．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中
取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是1
3x t y t =+⎧⎨=-⎩
（t 为参数），圆C 的极坐标方程
是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）
A
B
．
C
D
．【答案】D 【解析】 【分析】
先求出直线和圆的普通方程，再利用圆的弦长公式求弦长.
【详解】
由题意得，直线l 的普通方程为y ＝x －4， 圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4， 圆心到直线l 的距离d
=，
直线l 被圆C 截得的弦长为
= 【点睛】
(1)本题主要考查参数方程极坐标方程与普通方程的互化，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)
求直线和圆相交的弦长，一般解直角三角形，利用公式
||AB =.
6．已知点()1,2A -，()2,0B ，P
为曲线y =上任意一点，则AP AB ⋅u u u v u u u v 的取值范围为（ ） A ．[]1,7 B ．[]1,7-
C
．1,3⎡+⎣
D
．1,3⎡-+⎣
【答案】A 【解析】 【分析】
结合已知曲线方程，引入参数方程，然后结合和角正弦公式及正弦函数的性质即可求解． 【详解】
解：设(),P x y
则由y =()221043x y y +=≥，
令2cos ,x y θθ==，[]
(0,θπ∈，
()1,2AP x y ∴=-+u u u v ，()1,2AB =u u u v
，
124232cos 34sin 36AP AB x y x y πθθθ⎛
⎫∴⋅=-++=++=++=++ ⎪⎝
⎭u u u v u u u v ，
0θπ≤≤Q ，
7666
πππθ∴≤+≤， 1sin 126πθ⎛
⎫-
≤+≤ ⎪⎝
⎭， 14sin 376πθ⎛
⎫∴≤++≤ ⎪⎝
⎭，
【点睛】
本题主要考查了平面向量数量积的运算及三角函数性质的简单应用，参数方程的应用是求解本题的关键.
7．能化为普通方程210x y +-=的参数方程为（ ）
A ．2sin ,
cos x t y t
=⎧⎨=⎩（t 为参数）
B ．2
tan ,1tan x y ϕϕ
=⎧⎨=-⎩（ϕ为参数） C
．x y t ⎧=⎪⎨
=⎪⎩（t 为参数）
D ．2
cos ,
sin x y θθ
=⎧⎨
=⎩（θ为参数） 【答案】B 【解析】
A:21,[1,1]y x x =-∈- ;B 21,y x x =-∈R ;C:21,[0,)y x x =-∈+∞ ;D:
21,[1,1]y x x =-∈-，所以选B.
点睛：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，经常用到公式：
2222
1
cos sin 1,1tan cos θθθθ
+=+=
.不要忘了参数的范围.
8．曲线1C :1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)上的点到曲线2C
:12
112x t y t
⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
(t 为参数)上的点
的最短距离为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】A 【解析】 【分析】
分别将圆1C 和直线2C 转化为直角坐标方程，然后利用圆上的点到直线的距离与圆心到直线距离的关系从而求出最短距离． 【详解】
将1C 转化为直角坐标方程为()2
211x y -+=， 所以曲线1C 是以()1,0为圆心，1为半径的圆． 将2C
转化为直角坐标方程为10x y ++=，
由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为2d =
=，
所以圆上的点到直线的最小距离为211d r -=-=， 故选A ． 【点睛】
本题考查圆上的点到直线的距离，若圆心距为d ，圆的半径为r 且圆与直线相离，则圆上
的点到直线距离的最大值为d r +，最小值为d r -．
9．如图所示，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH ……叫作“正方形的渐开线”，其
中¶AE ，¶EF ，·FG
，¶GH ，……的圆心依次按,,,B C D A 循环，则曲线AEFGH 的长是（ ）
A ．3π
B ．4π
C ．5π
D ．6π
【答案】C 【解析】 【分析】
分别计算»AE ，»EF
，»FG ，¼GH 的大小，再求和得到答案. 【详解】
根据题意可知，»AE 的长度
2
π，»EF 的长度为π，»FG
的长度为32π，¼GH 的长度为2π，所以曲线AEFGH 的长是5π. 【点睛】
本题考察了圆弧的计算，意在考察学生的迁移能力和计算能力.
10．如图，扇形的半径为1，圆心角150BAC ∠=︒，点P 在弧BC 上运动，AP mAB nAC =+u u u v u u u v u u u v
，则3m n -的最大值是（）
A ．1
B 3
C ．2
D ．23【答案】C 【解析】 【分析】
以A 为原点可建立坐标系，设()cos ,sin P θθ，0150θ≤≤o o
；根据AP mAB nAC
=+u u u v u u u v u u u v 可求得cos 32sin m n θθθ
⎧=+⎪⎨
=⎪⎩()
32sin 60m n θ-=+o
，利用三角函数值域求
解方法可求得结果. 【详解】
以AB 为x 轴，以A 为原点，建立坐标系，如下图所示：
设()cos ,sin P θθ，0150θ≤≤o
o
，则()0,0A ，()10B ,，312C ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
()cos ,sin AP θθ∴=u u u v ，()1,0AB =u u u v ，312AC ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
u u u v
AP mAB nAC
=+u u u v u u u v u u u v Q 3
cos 1sin 2m n n
θθ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩
，解得：cos 32sin m n θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ()33sin 2sin 60m n θθθ∴-=+=+o 0150θ
≤≤o
o
Q 6060210θ∴≤+≤o o o ()1
sin 6012
θ∴-
≤+≤o 132m n ∴-≤-≤3m n -的最大值为2
本题正确选项：C 【点睛】
本题考查利用圆的参数方程求解最值的问题，关键是能够建立坐标系，利用圆的参数方程将问题转化为三角函数最值的求解问题.
11．在极坐标系中，曲线4sin 6πρθ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
关于（ ） A ．直线3
π
θ=对称
B ．直线6
π
θ=
对称
C ．点2,
6π⎛⎫
⎪⎝
⎭
对称 D ．极点对称
【答案】A 【解析】 【分析】 由4sin 6πρθ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，得直角坐标方程：22
2230x x y y -+-= ，圆心为(3 ，又
因为直线3
π
θ=即：y = 过点(，由此便可得出答案.
【详解】
由曲线4sin 6πρθ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，即：2
4sin 6πρρθ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，又因为cos sin x y ρθ
ρθ
=⎧⎨
=⎩，化简得曲线
的直角坐标方程：2220x x y -+-= ，故圆心为( .
又因为直线3
π
θ=,直角坐标方程为：y = ，直线y =过点(，故曲线关于
直线3
π
θ=
对称
故选：A. 【点睛】
本题主要考查曲线及直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及圆关于过圆心的直线对称的知识，属于中等难度题目.
12．若,a b ∈R ，且2210a b += ，则-a b 的取值范围是( )
A ．-⎡⎣
B ．⎡-⎣
C ．⎡⎣
D ．(
【答案】A 【解析】 【分析】
利用参数方程，令,a b αα==，转化为
sin )4a b πααα⎛
⎫-=+ ⎪⎝
-⎭=求解.
【详解】
令,a b αα==
则sin )4a b πααα⎛⎫
-=+
⎪⎝
-⎭
=
所以a b -∈-⎡⎣
故选：A 【点睛】
本题主要考查参数方程的应用，还考查了换元的思想和运算求解的能力，属于基础题.
13．在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -，(0B ,()30C ，
，动点D 满足
1CD =u u u r
, 则OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r
的取值范围是（ ）
A ．[]
46，
B
．⎤⎦ C
．⎡⎣
D
．⎤⎦
【答案】D 【解析】
试题分析：因为C 坐标为()
3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则
D 满足参数方程3cos {
sin D D x y θθ
=+=(θ为参数且[
)0,2θπ∈),所以设D 的坐标为为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈,
则
OA OB OD ++=
u u u r u u u r u
u u r
=
因为2cos θθ
+的取值范围为
⎡⎡=⎢⎣
⎣
1=
=
1=
=,所以
OA OB OD ++u u u r u u u r
u u u r
的取值范围为1⎤=⎦,故选D.
考点：参数方程 圆 三角函数
14．参数方程22sin { 12x y cos θ
θ
=+=-+ (θ为参数)化成普通方程是( )
A ．240x y -+=
B ．240x y +-=
C ．[]240,2,3x y x -+=∈
D ．[]
240,2,3x y x +-=∈ 【答案】D 【
解
析
】
试
题
分
析
：
2cos212sin θθ
=-Q ,
22112sin 2sin y θθ∴=-+-=-,2sin 2y θ∴=-
,代入2
2sin x θ=+可得22
y x =-,整理可得240x y +-=.[]2
sin
0,1θ∈Q ,[]22sin 2,3θ∴+∈,即[]2,3x ∈.
所以此参数方程化为普通方程为[]
240,2,3x y x +-=∈.故D 正确. 考点：参数方程与普通方程间的互化.
【易错点睛】本题主要考查参数方程与普通方程间的互化,属容易题.在参数方程与普通方程间的互化中一定要注意x 的取值范围,否则极易出错.
15．圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为 A ．1ρ= B ．cos ρθ= C ．2cos ρθ= D ．2sin ρθ=
【答案】C 【解析】
由题意知圆的极坐标方程为221rcos cos ρθθ==⨯⨯，即2cos ρθ=．故选C ．
16．将点的直角坐标(－2，化成极坐标得( )． A ．(4，
23
π) B ．(－4，
23
π) C ．(－4，
3
π) D ．(4，
3
π) 【答案】A 【解析】 【分析】
由条件求得ρ=cos x
θρ
=
、sin y
θρ
=
的值，可得θ的值，从而可得极坐标.
【详解】
∵点的直角坐标(2-
∴4ρ===，21
cos 42x
θρ
-=
=
=-，sin 42
y θρ=== ∴可取23
π
θ=
∴直角坐标(2-化成极坐标为24,3π⎛⎫
⎪⎝⎭
故选A. 【点睛】
本题主要考查把点的直角坐标化为极坐标的方法，属于基础题．注意运用ρ=
cos x
θρ
=
、sin y
θρ
=
(θ由(),x y 所在象限确定).
17．已知1F ，2F 分别是椭圆22
22:1x y C a b
+=(0,0)a b >>的左、右焦点，过1F 的直线l
交椭圆于D 、E 两点，115,DF F E =2DF =2DF x ⊥轴.若点P 是圆
22:1O x y +=上的一个动点，则12PF PF ⋅的取值范围是（ ）
A ．[3,5]
B ．[2,5]
C ．[2,4]
D ．[3,4]
【答案】A 【解析】
【分析】
由题意可得,D E 两点坐标，代入椭圆方程可求出椭圆的焦点，然后设()cos ,sin P θθ， 利用两点间的距离公式以及三角函数的性质可求出12PF PF ⋅的范围.
【详解】
由题意可知，(D c
，7,5E c ⎛- ⎝⎭，
将,D E 代入椭圆方程得222222222
2112492412525c c a b a c b a b ⎧⎧+=⎪=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩， 所以()12,0F -，()22,0F ，
设()cos ,sin P θθ， 则
12PF PF ⋅== 所以12PF PF ⋅的取值范围是[3,5].
故选：A
【点睛】
本题考查了椭圆的性质，考查了转化与化归的思想，同时考查了圆的参数方程以及三角函数的性质，属于中档题.
18．在极坐标系中，由三条直线0θ=，3πθ=
，cos sin 1ρθρθ+=围成的图形的面积为（ ）
A ．14
B ．34-
C ．24-
D ．13
【答案】B
【解析】
【分析】
求出直线0θ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标()1,0ρ，直线3π
θ=与直线
cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标2,3πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，然后利用三角形的面积公式121sin 23
S πρρ=
可得出结果. 【详解】 设直线0θ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标()1,0ρ，则1cos 01ρ=，得11ρ=.
设直线3πθ=
与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标2,3πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
则22cos sin 133π
πρρ+=，即22112ρρ+=，得21ρ=. 因此，三条直线所围成的三角形的面积为
)
12113sin 1123224
S πρρ==⨯⨯⨯=， 故选：B.
【点睛】
本题考查极坐标系中三角形面积的计算，主要确定出交点的极坐标，并利用三角形的面积公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.
19．在平面直角坐标系xOy 中，曲线3cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）上的点到直线84:1x t l y t =+⎧⎨=-⎩
的距离的最大值为（ ）
A B C D 【答案】B
【解析】
【分析】
将直线84:1x t l y t
=+⎧⎨=-⎩，化为直角方程，根据点到直线距离公式列等量关系，再根据三角函数有界性求最值.
【详解】
Q 84:1x t l y t =+⎧⎨=-⎩
可得：4120x y +-=
根据点到直线距离公式，可得C 上的点到直线l 的距离为
=≤=【点睛】
本题考查点到直线距离公式以及三角函数有界性，考查基本分析求解能力，属中档题.
20．设椭圆C ：22
11612
x y +=上的一点P 到两条直线4y =和8x =的距离分别是1d ，2d ，则122d d +的最小值（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【答案】D
【解析】
【分析】
设()
4P cos θθ，02θπ≤<，由题意可得：
1222484d d cos θθ+=-+-，利用三角函数的单调性、和差公式即可得出结论．
【详解】
解：设()
4P cos θθ，02θπ≤<， 由题意可得：
122248416416816886d d cos cos sin πθθθθθ⎛⎫+=-+-=--=-+≥-= ⎪⎝
⎭． 当且仅当816sin πθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
时取等号． 122d d ∴+的最小值为8．
故选：D
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程及其参数方程、三角函数的单调性、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。