根轨迹法4.2

其一: s zi (i 1, 2...m)
其二: 是在n>m时,只有当s →∞时
结论: 根轨迹的起点为系统的开环极点或无穷远点;
根轨迹的终点是系统的开环零点或无穷远点
Monday, February 24,
2
2020
法则2. 根轨迹的分支数和对称性
根轨迹分支数等于开环极点数和开环零
点数中的大者,根轨迹连续且对称实轴.
线方向的夹角称为分离角
(2k 1)
l
k 0,1L l 1
(1)若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点（包括无限零点）或 开环极点（包括无限极点），则在此段根轨迹上必有分离点。 （2）分离点若在复平面上，则一定是成对出现的。
Monday, February 24,
4
2020
法则6 根轨迹的起始角和终止角
-8 -6 -4 -2 0 2
12
2020
[例]开环传递函数为：
Gk
(s)

s[( s
Kg 4)2
，画根轨迹。
1]
解：⒈求出开环零极点，即： p1 0，p2,3 4 j
⒉实轴上的根轨迹：(－∞，0]
⒊渐近线
0 4 4 j 4 4 j 8 2.67
60 ，2c 60
s3

8s2

64 3
s

Kg
0
将 s j 代入得：82 Kgp 0
，
3 64 0
3
Monday, Februar0y ,24,
2020
64 4.62 3
K gp 0 ,
512 3
15
⒍求分离会合点：由特征方程 8
8 2 Kgp 0
0 , 17 4.123
Monday, February 234,17 0
K gp 0 , 136
13
2020
⒍求分离会合点：由特征方程
8
s3 8s2 17s Kg 0
Kg (s3 8s2 17s)
6
dKg (3s2 16 s 17) 0
法则3. 实轴上的根轨迹
若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必 有：其右边开环实数零点数+开环实数极点 数为奇数。
法则4. 根轨迹的渐近线(n-m)条
渐近线的倾角为:
(2k 1)
nm
(k 0,1, 2,L L )
渐近线在实轴上均交于一点,其座为:
n
m
p j zi
j1
nm
2 1
a 1 a 2
k
a3
8
例4-5 某负反馈控制系统的开环传递函数为
G(s)H (s)

(s
1)2 (s
1
k j18 )( s
1
j18)
试绘制根轨迹图。
解: 5713462.....根渐根画根实分轨近轨出轨轴离迹线迹开迹上点与和的和对环有虚实无会称 零 四轴轴根合实、条的的轨点轴极分交交迹。点支点点分分。。。布布。图
8 2 Kgp 0
0 , 4 2 5.657
Monday, February 234, 32 0
K gp 0 , 256
11
2020
⒍求分离会合点：由特征方程 8
s3 8s2 32s Kg 0 Kg (s3 8s2 32s)
j1.414 K=6
-2 -1 -0.42
Monday, February 24, 2020
K=6 -j1.414
ds([sG(11s8))0(Hs(2(k2s))]1/)Kds600,180
故 可sss 323s得1 30[s33123ss311,2020.2042s62K2sj Ks12322s2]0j1160..451840
起始角：根轨迹离开复平面上开环极点处的切线与实轴 的夹角θpi
终止角：根轨迹进入复平面上开环零点处的切线与实轴
的夹角 Zi 。
Monday, February 24,
5
2020
法则7 根轨迹与虚轴的交点
交点S=j ω: 根轨迹增益K*和角频率ω可以用劳斯 判据或令闭环特征方程中的s=jω，然后分别令其 实部和虚部为零来确定。
i 1
nm
Monday, February 24,
2020
j

j
S1

j
60o
3
法则5 根轨迹分离点
两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即分开
的点称为分离点（会合点）。
分离点的坐标 d 由下列方程所决定：
m
1
n

1
j1 d z j i1 d p j
分离角:根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切
分 离 点 -1
Monday, February 24, 2020
j11.2
k =121
k=121
-j11.2
由解得sss 344d上[(式s4s得s133j1)n14218(0p3ns2sj44(2s21s1mki2m1d12szj1si114248))0401(ss014s1512101,3949或1j018k11)k]135j0031
4
ds
s 8 3
13

1.465 3.869
Kg 10.88 Kg 3.94
2 0
由图知这两点都在根轨迹上， -2 所以都是分离会合点。
-4
-6
Monday, February 24, 2020
-8 -8 -6 -4 -2 0 2
14
[例]开环传递函数为：Gk
(s)

s[(s
结合根轨迹的连续性、对称性、根轨迹的支数、起始点和 终点，闭环极点与闭环极点之和及之积等性质画出根轨迹。
Monday, February 24,
7
2020
三、根轨迹绘制举例
例4-4 已知一系统的开环传递函数为: G(s)H (s) k(s 3)
(s 1)(s 2)
试绘制根轨迹。
解 按照绘制根轨迹的基本规则,有 312456...根画渐分根实轨出近离轨轴迹开线点迹上对环和有的称零会两根实、合条轨轴极点分迹。点支分分。布布图.
3
3


(2k
1)180 3

60 180
⒋出射角
1c
180
90

(180
tg 1
1) 4
⒌求与虚轴的交点，此时特征方程为
76 ，2c 76
s3 8s2 17s Kg

0
将 s j 代入得： j3 82 j17 Kgp 0
4.2 根轨迹绘制的基本准则
Monday, February 24,
1
2020
终点
起点 j
法则1. 根轨迹的起点和终点
k s p1 ... s pn s z1 ... s zm
1)当 k=0时,由幅值条件,必有

s p j或s n
2)当 k→∞时,由辐值条件,存在两种可能:
画k零=5点.8画18极点画极点k =0.172
会-3 -2
合 点 Monday, February 24,
2020
-1分
离 点
31a1802
(2k1 1) 11 a

1810 2

a
n
m
a 3 2

pj
j 1
zi
i1
(1 2) 3 0
s2 14 19 k
s1 484 4k 140s2 140 0
14 s0 19 k
s j11.22
484-4k=0得 k=121 9
例4-6若一控制系统的开环传递函数为
G(s)H(s)
K
s(s 1)(s 2)
求该系统的闭环根轨迹。
解: 12345...根画实渐分轨出轴近离迹开上线点与和环的虚实会零 根轴轴合、轨的的点极迹交交。点分点点分布。。布。图
s3
8s2

64 3
s

Kg

0
6
Kg

(s3
8s2

64 s) 3
4
dKg (3s2 16 s 64 ) 0
2
ds
3
0
s 8 3
Kg 18.96
-2
由图知这点在根轨迹上，所以
-4
是分离会合点。而且是三重根
点。此时分离角为
-6
d
Monday, February 24,
法则8 根之和
结论:若一些根轨迹分支向左移动,则另一些根轨迹分支必
向右移动
Monday, February 24,
6
2020
根轨迹作图步骤
一、标注开环极点和零点，纵横坐标用相同的比例尺； 二、实轴上的根轨迹； 三、n-m条渐近线； 四、根轨迹的出射角、入射角； 五、根轨迹与虚轴的交点； 六、根轨迹的分离点、会合点；
6
dKg (3s2 16 s 32) 0
4
ds
2
s 8 4 2 j 2.67 1.89 j
3
0
由图知这两点并不在根轨迹上，
-2
所以并非分离会合点，这也可
将 s 8 4 2 j 代入得
-4
3
Kg

256 (5 27
2 j) 为复数。
-6 -8
Monday, February 24,
180 3
60
2020
-8 -8 -6 -4 -2 0 216

Kg 4)2 16
3]
，画根轨迹。
解：⒈求出开环零极点，即：p1 0，p2,3
⒉实轴上的根轨迹：(－∞，0]
4
43 3
j
⒊渐近线
0 4 4 j 4 4 j 8 2.67
3
3


(2k
1)180 3

60 180
⒋⒌出求射与角虚轴1c的交180点 ，90此 时 (1特80征 方tg程1 为33 )
s1
6K
=0
3
s 0 K K=6
10
[例]开环传递函数为：Gk
(s)

s[( s
Kg 4)2
，画根轨 4 4 j
⒉实轴上的根轨迹：(－∞，0]
⒊渐近线
0 4 4 j 4 4 j 8 2.67
3
3


(2k
1)180 3

60 180
⒋出射角 1c 180 90 135 45 ，2c 45
⒌求与虚轴的交点，此时特征方程为 s3 8s2 32s Kg 0
将 s j 代入得： j3 82 j32 Kgp 0