2020年阳江市高三数学上期中第一次模拟试卷及答案

2020年阳江市高三数学上期中第一次模拟试卷及答案
一、选择题
1．已知函数22()
()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩
，若()(1)n a f n f n =++，则
123100a a a a ++++=L
A ．0
B ．100
C ．100-
D ．10200
2．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则
313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）
A ．10
B ．12
C ．31log 5+
D ．32log 5+
3．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2
B ．-2
C ．
1
2
D ．12
-
4．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49
B ．91
C ．98
D ．182
5．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A ．12
B ．10
C
．D
．6．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（ ） A ．8
B ．10
C ．12
D ．16
7．已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
，则3x y -的最小值为（ ）
A ．4
B ．8
C ．12
D ．16
8．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为 （ ） A ．10 km
B
km
C
．
D
．
9．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和
n S =（ ）
A ．2744n n
+
B ．2533n n
+
C ．2324
n n
+
D ．2n n +
10．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019
111
a a a ++⋯+=（ ） A ．
2020
2019
B ．
2019
1010
C ．
2017
1010
D ．
4037
2020
11．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，
D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距
6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，
接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）
A ．120km
B ．606km
C ．605km
D ．3km
12．若a ，b ，c ，d∈R，则下列说法正确的是（ ） A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若a ＞b ，c ＞d ，则a+c ＞b+d C ．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则
c d a b
> D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d
二、填空题
13．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
，则实数m 的取值范围为
_______．
14．设不等式组30,
{230,1
x y x y x +-<--≤≥表示的平面区域为1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线
20x y +=对称，对于任意的12,C D ∈Ω∈Ω，则CD 的最小值为__________．
15．设0x >，则23
1
x x x +++的最小值为______.
16．已知实数,x y 满足240{220330x y x y x y -+≥+-≥--≤，
，，
则22
x y +的取值范围是 .
17．正项等比数列{}n a 满足2418-=a a ，6290-=a a ，则{}n a 前5项和为________. 18．如图在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是___________．
19．设变量,x y 满足约束条件：21y x x y x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值为__________．
20．已知实数x ，y 满足约束条件20x y y x y x b -≥⎧⎪
≥⎨⎪≥-+⎩
，若2z x y =+的最小值为3，则实数
b =____ 三、解答题
21．已知数列{}n a 的前n 项和22
n n n
S +=．
（1）求数列{}n a 通项公式； （2）令1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T . 22．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且
3cos cos (tan tan 1)1A C A C -=．
（Ⅰ）求sin B 的值； （Ⅱ）若33a c +=，3b =
,求的面积．
23．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且asin B ＝－bsin 3A π⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
. (1)求A ；
(2)若△ABC 的面积S 32
，求sin C 的值． 24．在等比数列{}n a 中,(
)*
10a n N >∈,且3
28a
a -=,又15,a a 的等比中项为16.
（1）求数列{}n a 的通项公式:
（2）设4log n n b a =,数列{}n b 的前n 项和为n S ,是否存在正整数k ,使得
1231111n
k S S S S ++++<L 对任意*n N ∈恒成立.若存在,求出正整数k 的最小值;若不存在,请说明理由.
25．已知在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
sin cos 0a B b A -=． （1）求角A 的大小：
（2
）若a =2b =．求ABC V 的面积．
26．已知数列{}n a 满足11
1
,221
n n n a a a a +==+. （1）证明数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列，并求{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足1
2n n
n
b a =
g ，求数列{}n b 的前n 项和n S .
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】
试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()2
2()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当
n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以
()
1231001399a a a a a a a ++++=+++L L ()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=L L L ，
故选B.
考点：数列的递推公式与数列求和.
【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与
运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22()
{()
n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及
()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分
组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.
2．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用对数运算合并，再利用等比数列{}n a 的性质求解。

【详解】
因为313233310log log log log a a a a ++L =()312310log a a a a L =()5
3110log a a ,
又4756110a a a a a a ⋅=⋅=⋅，由475618a a a a ⋅+⋅=得1109a a ⋅=，所以
313233310log log log log a a a a ++L =53log 9=10，故选A 。

【点睛】
本题考查了对数运算及利用等比数列{}n a 的性质，利用等比数列的性质：当
,(,,,)m n p q m n p q N *+=+∈时，m n p q a a a a ⋅=⋅，
特别地2,(,,)m n k m n k N *
+=∈时，2m n k a a a ⋅=，套用性质得解，运算较大。

3．D
解析：D 【解析】 【分析】
把已知2
214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，
【详解】
因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S =，即2
11111(21)(46).2
a a a a -=-=-，
故选D. 【点睛】
本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．
4．B
解析：B 【解析】
∵3572a a +=，∴11272(4)a d a d ++=+，即167a d +=，∴
13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=，故选B ．
5．A
解析：A 【解析】
由已知24356a a q q +=+=，∴2
2q =，∴25735()2612a a q a a +=+=⨯=，故选A.
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
数列{}n a ，是等比数列，公比为2，前7项和为1016，由此可求得首项1a ，得通项公式，从而得结论． 【详解】
Q 最下层的“浮雕像”的数量为1a ，依题有：公比
(
)7
17
122,7,101612
a q n S -===
=-，解
得18a =，则()
12
*822
17,n n n a n n N -+=⨯=≤≤∈，57352,2a a ∴==，从而()()
571212352352222,log log 212a a a a ⋅=⨯=∴⋅==，故选C ．
【点睛】
本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后利用数列的知识求解．
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
作出可行域，变形目标函数并平移直线3y x =，结合图象，可得最值． 【详解】
作出x 、y 满足0
404x y x y x -≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
所对应的可行域（如图ABC V ），
变形目标函数可得3y x z =-，平移直线3y x =可知， 当直线经过点(2,2)A 时，截距z -取得最大值， 此时目标函数z 取得最小值3224⨯-=. 故选：A.
【点睛】
本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．
8．D
解析：D 【解析】 【分析】
直接利用余弦定理求出A ，C 两地的距离即可． 【详解】
因为A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°， 则A ，C 两地的距离为：AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos ∠ABC ＝102+202﹣2110202⎛⎫
⨯⨯⨯-
= ⎪⎝⎭
700． 所以AC ＝107km ． 故选D ． 【点睛】
本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力．
9．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】 设公差为d 则
解得
，故选A.
10．B
解析：B 【解析】 【分析】
由题意可得n ≥2时，a n -a n -1=n ，再由数列的恒等式：a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1），运用等差数列的求和公式，可得a n ，求得
1n a =()21n n +=2（1n -11
n +），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和． 【详解】
解：数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1， 即有n ≥2时，a n -a n -1=n ，
可得a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1） =1+2+3+…+n =
1
2
n （n +1），1n =也满足上式 1n a =()21n n +=2（1n -11
n +），
则
122019111a a a
++⋯+=2（1-12+12-13
+…+12019-12020） =2（1-12020
）=2019
1010．
故选:B ． 【点睛】
本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．
11．D
解析：D 【解析】 【分析】
先判断三角形DAB 为直角三角形,求出BD ,然后推出CBD ∠为直角,可得CD ,进一步可得
cos BDF ∠,最后在三角形EDB 中用余弦定理可得BF . 【详解】
取AB 的中点E ,连DE ,设飞机飞行了15分钟到达F 点,连BF ,如图所示:则BF 即为所求.
因为E 为AB 的中点,且120AB km =,所以60AE km =, 又60DAE ∠=o ,60AD km =,所以三角形DAE 为等边三角形,所以
60DE km =,60ADE ∠=o ,
在等腰三角形EDB 中,120DEB ∠=o ,所以30EDB EBD ∠=∠=o , 所以90ADB ∠=o ,由勾股定理得2BD 22221206010800AB AD =-=-=, 所以3BD km =,
因为9030CBE ∠=+o o 120=o ,30EBD ∠=o ,所以CBD ∠90=o , 所以222108006013240CD BD BC =
+=+⨯=km ,
所以6033
cos BD BDC CD ∠===
, 因为1
360904
DF km =⨯
=, 所以在三角形BDF 中,
22222
2cos90290
4
BF BD DF BD DF BDF
=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯
g
10800
=,
所以BF=km.
故一架飞机从城市D出发以360/
km h的速度向城市C飞行，飞行了15min，接到命令改变航向，飞向城市B，此时飞机距离城市B
有.
故选D.
【点睛】
本题考查了利用余弦定理解斜三角形,属于中档题.
12．B
解析：B
【解析】
【分析】
利用不等式的性质和通过举反例否定一个命题即可得出结果.
【详解】
A项，虽然41,12
>->-，但是42
->-不成立，所以不正确；
B项，利用不等式的同向可加性得知，其正确，所以成立，即B正确；
C项，虽然320,210
>>>>，但是
32
21
>不成立，所以C不正确；
D项，虽然41,23
>>-，但是24
>不成立，所以D不正确；
故选B.
【点睛】
该题考查的是有关正确命题的选择问题，涉及到的知识点有不等式的性质，对应的解题的方法是不正确的举出反例即可，属于简单题目.
二、填空题
13．【解析】试题分析：由题意由可求得交点坐标为要使直线上存在点满足约束条件如图所示可得则实数m的取值范围考点：线性规划
解析：(,1]
-∞
【解析】
试题分析：由题意，由
2
{
30
y x
x y
=
+-=
，可求得交点坐标为(1,2)，要使直线2
y x
=上存在点(,)
x y满足约束条件
30,
{230,
,
x y
x y
x m
+-≤
--≤
≥
，如图所示，可得1
m≤，则实数m的取值范围(,1]
-∞．
考点：线性规划．
14．【解析】作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分由三角形ABC 构成其中作出直线显然点A 到直线的距离最近由其几何意义知区域内的点最短距离为点A 到直线的距离的2倍由点到直线的距离公式有：所以区域内的点与区 解析：
25
【解析】
作出不等式组所表示的可行域1Ω ，如图阴影部分，由三角形ABC 构成，其中
(11),(30),(12)A B C -，，， ，作出直线20x y += ，显然点A 到直线20x y +=的距离最近，
由其几何意义知，区域12,ΩΩ 内的点最短距离为点A 到直线20x y +=的距离的2倍，由点到直线的距离公式有：22
215
5
21d -=
=
+ ，所以区域1Ω 内的点与区域2Ω 内的点之间的最近距离为
25
，即255
CD = .
点睛：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题. 巧妙识别目标函数的几何意义是解答本题的关键.
15．【解析】【分析】利用换元法令将所给的代数式进行变形然后利用均值不等式即可求得最小值【详解】由可得可令即则当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法换元法及其应用等知识意在 解析：231-
【解析】 【分析】
利用换元法，令1t x =+将所给的代数式进行变形，然后利用均值不等式即可求得最小值. 【详解】
由0x >，可得11x +>.
可令()11t x t =+>，即1x t =-，则
()()2
2113333
1212311t t x x t t x t t t
-+-+++==+-⋅-=-+≥， 当且仅当3t =，31x =-时，等号成立.
故答案为：231-． 【点睛】
本题主要考查基本不等式求最值的方法，换元法及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16．【解析】【分析】【详解】画出不等式组表示的平面区域由图可知原点到直线距离的平方为的最小值为原点到直线与的交点距离的平方为的最大值为因此的取值范围为【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题首先明确可行 解析：4
[,13]5
【解析】 【分析】 【详解】
画出不等式组表示的平面区域，
由图可知原点到直线220x y +-=距离的平方为2
2x y +的最小值，为24
55
=，原点
到直线24=0x y -+与33=0x y --的交点(2,3)距离的平方为2
2x y +的最大值为13，因
此2
2
x
y
+的取值范围为4[,13].5
【考点】 线性规划 【名师点睛】
线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线（一般不涉及虚线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数最值或值域范围.
17．93【解析】【分析】运用等比数列通项公式基本量的计算先求出首项和公比然后再运用等比数列前项和公式求出前项和【详解】正项等比数列满足即则有代入有又因为则故答案为【点睛】本题考查了求等比数列前项和等比数
解析：93 【解析】 【分析】
运用等比数列通项公式基本量的计算，先求出首项和公比，然后再运用等比数列前n 项和公式求出前5项和. 【详解】
正项等比数列{}n a 满足2418-=a a ，6290-=a a ，
即24
222218,90a q a a q a -=-=
则有(
)(
)(
)
2
2
2
22118,1190a q a q q -=-+= 代入有2
2
1=5,4q q +=
又因为0q >，则212,6,3q a a =∴==
()
553129312
S ⨯-∴=
=-
故答案为93 【点睛】
本题考查了求等比数列前n 项和等比数列通项公式的运用，需要熟记公式，并能灵活运用公式及等比数列的性质等进行解题，本题较为基础.
18．（）【解析】如图所示延长BACD 交于E 平移AD 当A 与D 重合与E 点时AB 最长在△BCE 中∠B=∠C=75°∠E=30°BC=2由正弦定理可得即解得=平移AD 当D 与C 重合时AB 最短此时与AB 交于F 在△B
解析：） 【解析】
如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE
中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得
sin sin BC BE
E C
=∠∠，即
o o
2sin 30sin 75BE
=，解得BE =6+2，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与
AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，
sin sin BF BC
FCB BFC =∠∠，即o o
2sin 30sin 75BF =，解得BF=62-，所以AB 的取值范
围为（62-，6+2）.
考点：正余弦定理；数形结合思想
19．-10【解析】作出可行域如图所示：由得平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时最小由得此时故答案为
解析：-10 【解析】
作出可行域如图所示：
由3z x y =-得33x z y =
-，平移直线33
x z
y =-，由图象可知当直线经过点A 时，直线33
x z
y =-的截距最大，此时z 最小
由1
{
2
x x y =-+=得(1,3)A -，此时13310z =--⨯=-
故答案为10-
20．【解析】【分析】画出可行域由图象可知的最小值在直线与直线的交点处取得由解方程即可得结果【详解】由已知作可行域如图所示化为平移直线由图
象可知的最小值在直线与直线的交点处取得由解得故答案为【点睛】本题主
解析：
9
4
【解析】
【分析】
画出可行域，由图象可知，z的最小值在直线2
y x
=与直线y x b
=-+的交点()
00
,
A x y
处取得，由
00
00
00
23
2
y x
y x
y x b
=-+
⎧
⎪
=
⎨
⎪=-+
⎩
，解方程即可得结果.
【详解】
由已知作可行域如图所示，
2
z x y
=+化为2
y x z
=-+，
平移直线2
y x z
=-+
由图象可知，z的最小值在直线2
y x
=与直线y x b
=-+的交点()
00
,
A x y处取得，
由
00
00
00
23
2
y x
y x
y x b
=-+
⎧
⎪
=
⎨
⎪=-+
⎩
，解得
00
339
,,
424
x y b
===,
故答案为
9
4
.
【点睛】
本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于中档题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
三、解答题
21．（1）n a n =；（2）1
n n T n =+ . 【解析】 【分析】
（1）根据{}n a 和n S 关系得到答案.
（2）首先计算数列{}n b 通项，再根据裂项求和得到答案. 【详解】
解：（1）当1n =时，111a S ==
当2n ≥时，()
11n n n n a S S n n a n -=-==∴=时符合 （2）()111
11
n b n n n n =
=-++
11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
L L 【点睛】
本题考查了{}n a 和n S 关系，裂项求和，是数列的常考题型.
22．（1）3
； （2） 【解析】 【分析】
（Ⅰ）已知等式括号中第一项利用同角三角函数间基本关系化简，整理后求出cosB 的值，确定出sinB 的值，
（Ⅱ）利用余弦定理表示出cosB ，利用完全平方公式变形后，将a+b ，b ，cosB 的值代入求出ac 的值，再由sinB 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 面积． 【详解】
（Ⅰ）由()3cos cos tan tan 11A C A C -=得，sin sin 3cos cos 11cos cos A C A C A C ⎛⎫
-=
⎪⎝⎭
,
3sin sin cos cos )1A C A C ∴-=（，即()1cos 3A C ∴+=-， 1
cos 3
B ∴=，
又0B π<< , sin 3
B ∴=
． （Ⅱ）由余弦定理得：2221cos 23a c b B ac +-== ()2
221
23
a c ac
b a
c +--∴=，
又a c +=，b =
9ac =,
1
sin 2
ABC S ac B ∆∴=
=．
本题考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
23．（1）5
6
π
；（2
【解析】【分析】
（1）利用正弦定理化简已知等式即得A=5
6
π
.(2)先根据△ABC的面积S
2得到b
＝c，
再利用余弦定理得到a
c，再利用正弦定理求出sin C的值．
【详解】
(1)因为asin B＝－bsin)
3
A
π
+
（，所以由正弦定理得sin A＝－sin)
3
A
π
+
（，
即sin A＝－
1
2
sin A
，化简得tan A
因为A∈(0，π)，所以A＝
5
6
π
.
(2)因为A＝
5
6
π
，所以sin A＝
1
2
，由S
2＝
1
2
bcsin A＝
1
4
bc，得b
c，
所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝7c2，则a
c，由正弦定理得sin C
＝
sin
14
c A
a
=.【点睛】
本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.
24．（1）1
2n
n
a+
=（2）3.
【解析】
试题分析：
（1）由题意可得316
a=，又
32
8
a a
-=，故
2
8
a=，由此可得等比数列的公比2
q=，因此可得1
2n
n
a+
=．（2）由（1）得
1
2
n
n
b
+
=，所以
()3
4
n
n n
S
+
=，从而()
14411
333
n
S n n n n
⎛⎫
==-
⎪
++
⎝⎭
，求和可得
123
111141111141122
11
3231233239
n
S S S S n n n
L⎛⎫⎛⎫++++=⨯++---<⨯++=
⎪ ⎪
+++
⎝⎭⎝⎭
，所以可得
22
9
k≥，故存在满足题意得k，且k的最小值为3．
（1）设等比数列{}n a 的公比为q ， ∵15a a ，的等比中项为16． ∴316a =， 又328a a -=，
28a ∴=，
∴3
2
2a q a =
=， ∴2
182
2n n n a -+=⨯==． （2）由（1）得1
41
log 2
2
n n n b ++==
， ∴数列{}n b 为等差数列，且11b =．
∴()113224
n n n n n S +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==
， ∴
()14411333n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
， ∴
123111141111111131425363n S S S S n n ⎛⎫++++=⨯-+-+-++- ⎪+⎝⎭L L 4111111323123n n n ⎛⎫=⨯++--- ⎪+++⎝⎭ 4112213239
⎛⎫<
⨯++= ⎪⎝⎭， ∴229
k ≥
， ∴存在满足题意得k ，且k 的最小值为3． 点睛：用裂项法求和的原则及规律
（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项，消项后的剩余部分具有对称性． 25．（1）4
A π
=（2）4
【解析】
分析：（1）利用正弦定理化简已知等式，整理后根据sin 0B ≠求出sin cos 0A A -=，即可确定出A 的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，把a ，b ，cosA 的值代入求出c 的值，再由b ，sinA 的
值，利用三角形面积公式求出即可．
详解：在ABC V 中，由正弦定理得sin sin sin cos 0A B B A -=． 即()sin sin cos 0B A A -=，又角B 为三角形内角，sin 0B ≠， 所以sin cos 0A A -=
04A π⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭
， 又因为()0,A π∈，所以4
A π
=
．
（2）在ABC V 中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-⋅，
则220442c c ⎛=+-⋅ ⎝⎭
．
即2160c -=．
解得c =-
c =
所以12422
S =
⨯⨯=．·
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 26．（1）12n a n
=；（2）1242n n n
S -=-+.
【解析】 分析：（1）121n n n a a a +=
+两边取倒数可得
1112n n
a a +-=，从而得到数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列，进而可得{}n a 的通项公式；（2）22
n n n
b =，利用错位相减法求和即可. 详解：（1）∵121n n n a a a +=
+，∴
111
2n n
a a +-=， ∴1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列， ∴
()1
11
122n n n a a =+-=， 即12n a n
=
； （2）∵22n n
n b =
， ∴1221231222
n n n n
S b b b -=+++=+
+++L L ，
则
23112322222
n n n S =++++L ， 两式相减得2311111111212222222
2
n n n n n n n
S L -⎛
⎫=+++++-=-- ⎪⎝⎭， ∴1
242n n n
S -+=-
. 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.。