函数的连续性(6)共40页PPT资料

定理 函数 f(x)在x0处连 续 是函f(数 x)在x0
处既左连续 . 又右连续
例讨 ：论f(函 x) 数 x x 2 2,,
x0, 在 x0处的.连 x0,
右连续：✔
左连续：✖
连 续：✖
定义3： （ 函数在区间上的连续性）
函 数 在 开 区 间 的：连 续 性
若 函 数 f (x)在 开 区(a间 ,b)的 每 一 点 处,都 则 称f (x)在 开 区(a间 ,b)内 连.续
x0, x0
在点x0处间断
y
2•
1
x
O
x1,
y
g(x)
0,
x1,
x 0,
x0, 在点x0处间断
x 0.
y
x
•
O
在点x0处间断
一、连续函数的定义
定 义设 1f： (x)在x0的 某 邻 域 内 ,如有 果定
lx im x0 f(x)f(x0) 则 称 函 f 在 数点 x0处 连. 续
""定义 :
x, 1 x,
x 0, x 0,
(x x0跳 跃 间 断) 点
特点：左右极限都存 在
例2：f
(x)
2 1,
x,
0 x 1 x 1
1 x, x 1
(可 去 间 断 点)
特点：左右极限都存 在
y
o
x
y y1x
2
y2 x
1
o1
x
情形2：左右极限不同时存在的间断点
y
例1： 正 切 函y数tanx在x 处 没
函数在闭区间 ：的连续性
若 函f(数 x)在 开 区 (a,b)间 内 连,且 续在a右 点连 续 ,在 点 b左 连,则 续称 f(x)在 闭 区 [a,b]间 上 连.
例证 ： 函 明 y 数 six在 n (区 , )间 内 .连
证 ：任 取x (,),有
y
sin(x
x)
sin x
2sin
y f(x)f(x0).如 果 limy0
x0
则 称 f(x)在xx0处 连. 续
因 x为 0就x是 x0, y 0就f(是 x) f(x0)， 所l x i以 0m y0就lx i是 x0m f(x)f(x0).
例1
试证函 f(x)数 xsin1x, x0, 在x0
0, x0,
处连. 续
仅在x=0处连续, 其余各点处处间断.
间断点类型总结
第y 一
可去型
类间断ຫໍສະໝຸດ 点o x0x
y
第 二 类 间 断o 点
x0
x
无穷型
y 跳跃型
o
x0
x
y
o
x
振荡型
思考题
1）若 f ( x)在 x0连续，则| f ( x) |、 f 2 ( x)在 x0是否
连续？
2）若| f ( x) |、 f 2 ( x)在 x0连续， f ( x)在 x0是否连
0,0,使x当 x时 , 0
恒f有 (x)f(x0).
若f(x)在x0连 续 ，x0是 则函 称f的 数一 个;连 否 则 ， x0是称函f(数 x)的 一 个.间 断 点
[注意1] 函数f 在点x0处连续蕴涵以 三个条,缺 件一不可
(1) f 在点x0的某邻域内有;定义 (2) 极 限 limf(x)存;在
可去间断（ 点左极限 右极限）
第 二 类 间 断 点 ： 非 第类一的 间 断 点
无穷间断点
y
震荡间断点
yfx
x1 o
x2
x3
x
一些奇怪的非连续函数
★ 狄利克雷函数
yD(x)10,,
当x是有理,数时 当x是无理,数时
在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间 断点.
★
x, 当x是有理,数时 f(x)x, 当x是无理,数时
x 2
cos(x
x 2
).
因为当x 0时,sin x 0，且cos(x x) 1,
2
2
所以当x 0时，y 0.
即函数y sinx对任意x(,)都是连续的.
二、函数的间断点
定 义 ： 如 果 f(x)函 在x0数 处 不 满 足 连 续则性称条 f(x)在x0处 不 连x续 x0。 称 为 函 数 的 间 断 点
若函f数(x)在x0处有下列三种情，形之一 则x0为f (x)的间断点。 1）在点 x0处f (x)没有定义； 2）limf (x)不存在；
xx0
3）虽然 f (x0)有定义 lximx， 0 f (x)存在，lxi但 mx0 f (x) f (x0)
情形1：左右极限同时存在的间断点
例1：f
(x)
一、连续函数的概念
函数的连续性描述函数的渐变性态, 在通常意义下，对函数连续性有三种 描述：
当自变量有微小变化时，因变量的 变化也是微小的； 自变量的微小变化不会引起因变量的 跳变； 连续函数的图形可以一笔画成,不断开.
例如：
y x2
在(,)上连续
ysinx
ytanx
在( , )上连续
22
y f(x)12,,
证 因为 lim xsin 10,
x0
x
又 f(0)0, lim f(x)f(0), x 0
由定义知
函f数 (x)在 x0处连 . 续
定义2： （函数在一点的单侧连续性）
若limf xx0
(x)
f
(x0)
若limf xx0
(x)
f
(x0)
则称f (x)在x0 处左连;续 则称f (x)在x0 处右连;续
2
有 定 义 ,所 以 点 x 是 函 数tanx的
2
2
o 2
3 2
x
间 断 点无 . (穷 间 断) 点
特点：左右极限都不存 在
例2：函数y sin1在x 0处没有定. 义 x
1 Sin
x
1
当x 0时,函 数 值在1与1之 间 变 动
0.5
无 限 多（ .次点x 0称 为 振 荡 间 断 点 ） -0.4 -0.2
x
0.2
0.4
-0.5
特点：左右极限都不存 在
-1
例3：f
(x)
1 x
,
x 0,
x, x 0,
（x 0间断）
特 点 ： 有 一 个 单 侧 极 限不 存 在
y ox
二、间断点的分类
设x0为f (x)的间断点
第 一 类 间 断 点 ： 左 右限极同 时 存 在 的 间 断 点
跳 跃 间 断 点 （ 左 极限右 极 限 ）
xx0
(3)极x l 限 ix0 m f(x)与函f(数 x0)相 值 .等
[注意2] 函数f 在点x0处连续意味着极 运 算 与 函 数 运 算换 可顺 以.序 交 x l ix 0m f(x )f(x l ix 0m x )f(x 0)
连续函数的定义等价刻画
定义:1设 ' 函 数 在 有 定 义x， x且 x0, 设
续？
思考题解答 f(x)在 x0连 续 ， x l ix0m f(x)f(x0)
且 0 f ( x ) f ( x 0 ) f ( x ) f ( x 0 )
x l ix0m f(x)f(x0) x l x i0fm 2 (x ) x l x i0fm (x ) x l x i0fm (x ) f2(x0) 故 |f ( x ) |、 f 2 ( x ) 在 x 0 都 连 续 .