排列组合专题12 插空法模型(练习版+解析版)

专题12插空法模型
例1．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（）
A．72种B．144种C．288种D．360种
例2．只用1,2,3,4四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有（）
A．96B．144C．240D．288
例3．楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为()
A．10B．15C．20D．24
例4．某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学，其中语文和英语必须连续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为（）
A．60B．48C．36D．24
例5．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有()
A．72种B．108种C．36种D．144种
例6．为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（）A．720B．768C．810D．816
例7．已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）
A．48种B．72种C．78种D．84种
例8．琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（）
A．
1
360B．
1
6C．
7
15D．
1
15
例9．某中学话剧社的6个演员站成一排照相，高一､高二和高三年级均有2个演员，则高一与高二两个年级中仅有一个年级的同学相邻的站法种数为（）
A．48B．144C．288D．576
例10．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（）.
A．432B．576C．696D．960
例11．中国古代儒家提出的“六艺”指:礼､乐､射､御､书､数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动,周六这天准备排课六节,每艺一节,排课有如下要求:“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻,则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有()
A．18种B．36种C．72种D．144种
例12．电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法的种数为（）
A．40B．36C．32D．20
例13．某公共汽车站有6个候车位排成一排，甲、乙、丙三个乘客在该汽车站等候228路公交车的到来，由于市内堵车，228路公交车一直没到站，三人决定在座位上候车，且每人只能坐一个位置，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是()
A．48B．54C．72D．84
例14．某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（）种
A．96B．120C．48D．72
例15．甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖，要求甲排在乙前面，丙与丁不相邻且均不排在最后，则抽奖的顺序有（）
A．72种B．144种C．360种D．720种
例16．现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有_______种.（结果用数字表示）
例17．若6把椅子摆成一排，3人随机就座，则有且仅有两人相邻的坐法有______种（用数字填空）．
例18．用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为________.
例19．在疫情防控常态化条件下，各地电影院有序开放，某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，防疫要求选出座位的左右两边都是空位，则不同的选法有_______种（用数字回答）.
A B C D E F六人并排站成一排，,A B必须站在一起，且,C D不能相邻，那么不同的排法共有例20．,,,,,
_____种（结果用数字表示）.
例21．将5个相同的小球放入3个不同的盒子，盒子不空，有________种投放方法.
例22．高三2011级某班的12名班委合影留念，他们先站成了前排4人，后排8人的队形.现在摄影师准备保留前排顺序不变，从后排中调两个不相邻的同学，相邻地站在前排，则不同的调整方法种数是（用数值作答）________.
专题12插空法模型
例1．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（）
A ．72种
B ．144种
C ．288种
D ．360种
【解析】
第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有2
412A =种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有2
412A =种排法，所以不同的排表方法共有1212144⨯=种.选B .
例2．只用1,2,3,4四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有（）A ．96B ．144
C ．240
D ．288
【解析】
当重复使用的数字为数字1时，符合题意的五位数共有：3
2
3436A C =个当重复使用的数字为2,3,4时，与重复使用的数字为1情况相同
∴满足题意的五位数共有：364144⨯=个
本题正确选项：B
例3．楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为()A ．10B ．15
C ．20
D ．24
【解析】
问题等价于将3盏关着的灯插入6盏亮着的灯所形成的除最左端和最右端的空挡以外的5个空档之内
∴关灯方案共有：3510C =种
故选：A
例4．某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学，其中语文和英语必须连续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为（）
A ．60
B ．48
C ．36
D ．24
【解析】
先将语文和英语捆绑在一起，作为一个新元素处理，
再将此新元素与化学全排，再在3个空中选2个空将数学和物理插入即可，即不同的排课方法数为222
22324A A A =，故选：D ．
例5．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有()
A ．72种
B ．108种
C ．36种
D ．144种
【解析】
先将男生甲与男生乙“捆绑”，有2
2A 种方法，再与另一个男生排列，则有2
2A 种方法，三名女生任选两名“捆绑”，有2
3A 种方法，
再将两组女生插空，插入男生3个空位中，则有2
3A 种方法，
利用分步乘法原理，共有2222
2
233144A A A A =种.故选：D ．
例6．为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（）
A ．720
B ．768
C ．810
D ．816
【解析】
由题知结果有三种情况．(1)甲、乙、丙三名同学全参加，有14
44C A =96种情况，其中甲、乙相邻的有
123
423C A A 48=种情况，
所以甲、乙、丙三名同学全参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻顺序有964848-=种情况；(2)甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，不同的朗诵顺序有314
434C C A 288=种情况；(3)甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵顺序有2
2
4
434432C C A =种情况．则选派的4名学生不同的朗诵顺序有28843248768++=种情况，故本题答案选B
例7．已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）
A．48种B．72种C．78种D．84种【解析】
由题意知先使五个人的全排列，共有55A种结果．
(1)身穿红、黄两种颜色衣服的两人都相邻时，把相邻的两人看成一个整体，共有223
22324
A A A=种情况；
(2)只穿红颜色衣服两人相邻，穿黄颜色衣服的两人不相邻，把相邻的两人看成一个整体，不相邻的采用插
空法，共有222
22324
A A A=种情况；
(3)只穿黄颜色衣服两人相邻，穿红颜色衣服的两人不相邻，把相邻的两人看成一个整体，不相邻的采用插
空法，共有222
22324
A A A=种情况；
∴穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法有552422448
A--⨯=种情况，
故选：A．
例8．琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（）
A．
1
360B．
1
6C．
7
15D．
1
15
【解析】
从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为810
A．从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有57A种情况，再从排好的五种乐器形成的6个空中挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有36A
种情况，故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为53
76
A A．
所以所求的概率
53
76
8
10
1
6
A A
P
A
==，
故选：B．
例9．某中学话剧社的6个演员站成一排照相，高一､高二和高三年级均有2个演员，则高一与高二两个年级中仅有一个年级的同学相邻的站法种数为（）
A．48B．144C．288D．576
【解析】
分两类，第一类高一年级同学相邻高二年级同学不相邻，
把高一两个同学“捆绑”看作一个元素与高三两个同学排列有23
23
A A种不同排法，把高二年级两个同学排入4个空位中的2个（插空法）有24A种不同方法，
故第一类有232
234144
A A A=种站法，
第二类高二年级同学相邻高一年级同学不相邻，与第一类方法相同，也有144种站法，
由分类加法计数原理知，共有144144288
+=种站法，
故选：C
例10．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（）.
A．432B．576C．696D．960
【解析】
首先将除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有33A种不同排列方式，甲、丁排在一起共有22A种不同方式；
若甲、丁一起与乙、丙都不相邻，插入余下三人产生的空档中，共有34A种不同方式；
若甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻，插入余下三人产生的空档中，共有12
24
C A种不同方式；
根据分类加法、分步乘法原理，得满足要求的排队方法数为33A22A34(A+1224)576
C A=种.
故选：B.
例11．中国古代儒家提出的“六艺”指:礼､乐､射､御､书､数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动,周六这天准备排课六节,每艺一节,排课有如下要求:“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻,则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有()
A．18种B．36种C．72种D．144种
【解析】
由题意“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻，
可将“射”和“御”进行捆绑看成一个整体，共有22A种，
然后与“礼”、“数”进行排序，共有33A种，
最后将“乐”与“书”插入4个空即可，共有24A种，
由于是分步进行，所以共有232
234144A A A ⋅⋅=种，
故选：D .
例12．电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法的种数为（）A ．40B ．36
C ．32
D ．20
【解析】
除甲、乙、丙三人的座位外，还有7个座位，它们之间共可形成六个空，三人从6个空中选三位置坐上去有3
6C 种坐法，又甲坐在中间，所以乙、丙有2
2A 种方法，
所以他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有3
6C 2
240A ⋅=种.故选：A .
例13．某公共汽车站有6个候车位排成一排，甲、乙、丙三个乘客在该汽车站等候228路公交车的到来，由于市内堵车，228路公交车一直没到站，三人决定在座位上候车，且每人只能坐一个位置，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是()
A ．48
B ．54
C ．72
D ．84
【解析】
根据题意，分2步进行分析：
①先将3名乘客全排列，有3
36A =种情况，
②3名乘客排好后，有4个空位，在4个空位中任选1个，安排2个连续空座位，有4种情况，在剩下的3个空位中任选1个，安排1个空座位，有3种情况，则恰好有2个连续空座位的候车方式有64372⨯⨯=种；故选：C ．
例14．某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（）种
A ．96
B ．120
C ．48
D ．72
【解析】
使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有3
3A 种，
然后将3盆锦紫苏放入到4个位置中有3
4A 种，根据分步乘法计数原理有3
3
34A A ，扣除郁金香在两边，排2盆虞美人、1盆郁金香有2
22A 种，再将3盆锦紫苏放入到3个位置中有3
3A ，根据分步计数原理有2
3232A A ，所以共有3
3
2
334232120A A A A -=种.故选:B.
例15．甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖，要求甲排在乙前面，丙与丁不相邻且均不排在最后，则抽奖的顺序有（）
A ．72种
B ．144种
C ．360种
D ．720种
【解析】
第一步先排甲、乙、戊、己，甲排在乙前面，则有44
2
A 种，第二步再将丙与丁插空到第一步排好的序列中，
但注意到丙与丁均不排在最后，故有4个空可选，所以有2
4A 中插空方法，所以根据分步乘法计数原理有
42
44=1442
A A ⋅种.故选：
B .
例16．现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有_______种.（结果用数字表示）【解析】
先不考虑红球与黄球不相邻，则4个小球有4
4A 种排法，再安排空盒，有22
52C A 种方法，再考虑红球与黄球相邻，则4个小球有3232A A 种排法，再安排空盒，有22
42C A 种方法，因此所求放法种数为4
4A 2
2
52C A -3232A A 22
42336.
C A =例17．若6把椅子摆成一排，3人随机就座，则有且仅有两人相邻的坐法有______种（用数字填空）．【解析】
从3人选择2人进行捆绑，形成1个“大元素”，然后与另外1人形成2个元素，再由3把椅子所形成的4个空位中选择2个空位插入即可，
由分步乘法计数原理可知，符合条件的坐法种数为2
42
372A A =.故答案为：72.
例18．用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为________.【解析】
从2，4，6三个偶数中任意取出2个看作一个整体，方法有2
36A =种，
先排三个奇数，有3
36A =种，形成了4个空，将“整体”和另一个偶数插在3个奇数形成的四个空中，方法有2
412A =种
根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有：6612432⨯⨯=种
若1排在两端，3个奇数的排法有12
224A A ⋅=种，形成了3个空，将“整体”和另一个偶数中插在3个奇数形成的3个空中，方法有2
36A =种，根据分步计数原理求得此时满足条件的6位数共有646144⨯⨯=种故满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻的六位数有432144288-=种故答案为：288
例19．在疫情防控常态化条件下，各地电影院有序开放，某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，防疫要求选出座位的左右两边都是空位，则不同的选法有_______种（用数字回答）.【解析】
由某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，要求选出座位的左右两边都是空位，可先将其中的7个空位排成一排，其中有6个空隙，
再把三个座位放在其中的3个空隙中，共有3
620C =种不同方法.故答案为：20
例20．,,,,,A B C D E F 六人并排站成一排，,A B 必须站在一起，且,C D 不能相邻，那么不同的排法共有_____种（结果用数字表示）.【解析】
解：根据题意，分2步进行分析：
①将AB两人看成一个元素，与2
EF人进行全排列，
有23
2312
A A=种排法，排好后有4个空位，
②在4个空位中任选2个，安排C、D，有2412
A=种情况，
则有1212144
⨯=种不同的排法.
故答案为：144.
例21．将5个相同的小球放入3个不同的盒子，盒子不空，有________种投放方法.
【解析】
5个相同的小球产生4个空，插入两块隔板，共有246
C=种投放方法.
故答案为：6.
例22．高三2011级某班的12名班委合影留念，他们先站成了前排4人，后排8人的队形.现在摄影师准备保留前排顺序不变，从后排中调两个不相邻的同学，相邻地站在前排，则不同的调整方法种数是（用数值作答）________.
【解析】
第一步：从后排8人中，抽取2个不相邻的同学共有：65432121
+++++=种选法；
第二步：将所抽取的两名同学捆绑，共有222
A=种方法；
第三步：将所抽取的两名同学插入前排4人形成的5个空档中，共有155
C=种方法，
由分步乘法计数原理可知，共有2125210
⨯⨯=种调整方法.
故答案为：210.
8。