全等三角形的判定教案人教版八年级数学上册

12.2 全等三角形的判定
教学目标
1．了解三角形的稳定性，会应用“边边边”“边角边”判定两个三角形全等．(重点)
2．经历探索“边边边”“边角边”判定全等三角形的过程。

3．在复杂的图形中进行三角形全等条件的分析和探索．(难点)
教学过程
导学一：利用“边边边”判定全等三角形
一、情境导入
问题提出：一块三角形的玻璃损坏后，只剩下如图①所示的残片，你对图中的残片作哪些测量，就可以割取符合规格的三角形玻璃，与同伴交流．
方法如下：可以将图①的玻璃碎片放在一块纸板上，然后用直尺和铅笔或水笔画出一块完整的三角形．如图②，剪下模板就可去割玻璃了．
从刚才的实践我们可以发现：只要两个三角形三条对应边相等，就可以保证这两块三角形全等．这种说法对吗？
【验证】画一画：如图 , 是△ ABC ，请根据下列步骤画出图形，并说说所画图形与已知△ABC 的关系. （1）画出 B ’C ’=BC ；
（2）分别以点 B ’，C ’为圆心，线段 AB ，AC 长为半径画弧，两弧相交于点 A ’； （3）连接线段 A ’B ’，A ’C ’ .
结论： 分别相等的两个三角形全等．（可以简写成“ ”或“SSS ”）
例：在三角形ABC 和三角形DEF 中，已知，AB=DE, BC=EF, AC=DF ，求证▲ABC ≌ ▲DEF 【证明书写格式规范】 证明：在▲ABC 和▲DEF 中
⎪⎩
⎪
⎨⎧===EF BC DF AC DE AB ∵ DEF ABC ∆≅∆∴（SSS)
注意点：（1）用花括号罗列出全等所需的3个条件
（2）ABC ABC ∆≅∆∴下了两个三角形全等的结论后，要在结论后边注明判定条件（SSS)
探究点：三角形全等的判定方法——“边边边”
【类型一】利用“SSS”判定两个三角形全等
例题1：如图，AB＝DE，AC＝DF，点E、C在直线BF上，且BE＝CF.求证：△ABC≌△DEF.
【类型二】“SSS”与全等三角形的性质结合进行证明或计算
例题2：如图所示，△ABC是一个风筝架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证：AD⊥BC.
【类型三】利用“SSS”解决探究性问题
例题3：如图，AD＝CB，E、F是AC上两动点，且有DE＝BF.
(1)若E、F运动至图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF.
(2)若E、F运动至图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？
(3)若E、F不重合，AD和CB平行吗？说明理由．
导学二：利用“边角边”判定全等三角形 一、情境导入
小伟作业本上画的三角形被墨迹污染了，他想画一个与原来完全一样的三角形，他该怎么办？请你帮助小伟想一个办法，并说明你的理由．
想一想：要画一个三角形与小伟画的三角形全等，需要几个与边或角的大小有关的条件？只知道一个条件(一角或一边)行吗？两个条件呢？三个条件呢？
【验证】画一画：如图是△ ABC，请根据下列步骤画出图形，并说说所画图形与已知△ABC 的关系. （1） 画∠DA’E=∠A；
（2） 在射线 A’D 上截取 A’B’=AB，在射线 AE 上截取 A’C’=AC； （3） 连接线段 B’C’ .
结论： 和 分别相等的两个三角形全等．（可以简写成“ ”或“SAS ”）
例：在三角形ABC 和三角形DEF 中，已知，AB=DE, ∠A=∠D, AC=DF ，求证▲ABC ≌ ▲DEF 证明：在▲ABC 和▲DEF 中
⎪⎩
⎪
⎨⎧==DF AC DE AB D ∠=A ∠∵
∴（SAS)
∆
≅
DEF
ABC∆
探究点一：应用“边角边”判定两三角形全等
【类型一】利用“SAS”判定三角形全等
例题1：如图，A、D、F、B在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC.求证：△AEF≌△BCD.
探究点二：全等三角形判定与性质的综合运用
【类型一】利用全等三角形进行证明或计算
例题2：已知：如图，BC//EF，BC＝BE，AB＝FB，∠1＝∠2，若∠1＝45°，求∠C的度数．
【类型二】全等三角形与其他图形的综合
例题3：如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG.求证：(1)AE＝CG；(2)AE⊥CG.
导学三：利用“角边角”“角角边”判定全等三角形
一、情境导入
如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去？
点拨：显然仅仅带①或②是无法配成完全一样的玻璃的，而仅仅带③则可以，为什么呢？
【验证】
1、画一画：如图是△ ABC，请根据下列步骤画出图形，并说说所画图形与已知△ABC 的关系.
（1）画 A’B’=AB ；
（2）在 A’B’的同旁画∠DA’B’=∠A ，∠EB’A’=∠B ，A’D ，B’E 相交于点 C’.
结论： 和 分别相等的两个三角形全等．（可以简写成“ ”或“ASA ”）
2、请补全下列步骤：如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D ，∠B=∠E ，BC=EF.求证△ABC ≌△DEF ． 证明：在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠C=180°-∠A-∠B
同理∠F=180°-∠D-∠E ，又∠A=∠D ，∠B=∠E ， ∴∠
=∠
在▲ABC 和▲DEF 中
⎪⎩
⎪
⎨⎧=F ∠=C ∠E ∠=B ∠EF BC ∵ DEF ABC ∆≅∆∴（ASA)
推论： 和 分别相等的两个三角形全等．（可以简写成“ ”或“ AAS ”）
二、考点题型
探究点一：应用“角边角”、“角角边”判定三角形全等
【类型一】应用“ASA”判定两个三角形全等
例题1：如图，AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，求证：△ADF≌△CBE.
【类型二】应用“AAS”判定两个三角形全等
例题2：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于E.AD与BE交于F，若BF＝AC，求证：△ADC≌△BDF.
【类型三】灵活选用不同的方法证明三角形全等
例题3：如图，已知AB＝AE，∠BAD＝∠CAE，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，这个条件可以是______________．
探究点二：运用全等三角形解决有关问题
例题4：已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.求证：(1)△BDA≌△AEC；(2)DE＝BD＋CE.
导学四：利用“斜边、直角边”判定全等三角形
一、情境导入
舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．
(1)你能帮他想个办法吗？ (2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？
【验证】画一画：如图12.2-4 是 Rt△ ABC，请根据下列步骤画出图形，并说说所画图形与已知Rt△ABC 的关系.
（1）画∠MC’N=90°； （2）在射线 C’M 上截取 B’C’=BC； （3）以点 B’为圆心，AB 长为半径画弧，交射线 C’N
结论： 和 分别相等的两个三角形全等．（可以简写成“ ”或“ AAS ”） 例：在Rt ▲ABC 和Rt ▲DEF 中，已知，AB=DE,BC=EF ，求证Rt ▲ABC ≌ Rt ▲DEF 证明：在▲ABC 和▲DEF 中
⎩
⎨
⎧==DE AB EF
BC ∵ ∴Rt ▲ABC ≌ Rt ▲DEF （HL)
二、考点题型
探究点一：应用“斜边、直角边”判定三角形全等
例题1：如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE ＝CF.求证：Rt△ABF≌Rt△DCE.
探究点二：“斜边、直角边”判定三角形全等的运用
【类型一】利用“HL”判定线段相等
例题2：如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.
【类型二】利用“HL”判定角相等或线段平行
例题3：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2.
【类型四】综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等
例题4：如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE，CD交于O点，且AO平分∠BAC.求证：OB＝OC.
四、综合训练
1、如图，中，，，则由“”可以判定（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．以上答案都不对
2、如图，在ABC △和DCB △中，AB DC =，AC 与BD 相交于点E ，若不再添加任何字母与辅助线，要使ABC DCB △≌△，则还需增加的一个条件是（ ）
A.AC=BD
B.AC=BC
C.BE=CE
D.AE=DE
3、如图，已知AB=AC ，BD=DC ，那么下列结论中不正确的是（ ）
A ．△ABD ≌△ACD
B ．∠ADB=90°
C ．∠BA
D 是∠B 的一半 D ．AD 平分∠BAC
4、如图，AB=AD ，CB=CD ，∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD 的度数是( )
A.120°
B.125°
C.127°
D.104°
5、如图，线段AD 与BC 交于点O ，且AC=BD ，AD=BC ， 则下面的结论中不正确的是( )
A.△ABC ≌△BAD
B.∠CAB=∠DBA
C.OB=OC
D.∠C=∠D
ABC △AB AC =EB EC =SSS ABD ACD △≌△ABE ACE △≌△BDE CDE △≌△E D
C
B A 第1题图 第2题图 第3题图
第4题图 第5题图
6、如图，AB=AC，AD=AE，欲证△ABD≌△ACE，可补充条件( )
A.∠1=∠2
B.∠B=∠C
C.∠D=∠E
D.∠BAE=∠CAD
7、能判定△ABC≌△A′B′C′的条件是（）
A．AB=A′B′，AC=A′C′，∠C=∠C′
B. AB=A′B′，∠A=∠A′，BC=B′C′
C. A C=A′C′，∠A=∠A′，BC=B′C
D. AC=A′C′，∠C=∠C′，BC=B′C
8、如图，AD=BC，要得到△ABD和△CDB全等，可以添加的条件是( )
A. AB∥CD
B. AD∥BC
C. ∠A=∠C
D. ∠ABC=∠CDA
第6题第8题图第9题图第10题图
9、如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组
条件是（）
A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC
C．BC=DC，∠A=∠D D．AC=DC，∠A=∠D
10、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共
有（）
A．1对B．2对C．3对D．4对
11. 如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△A BD ≌△ACD 的条件是（ ）
A. AB=AC
B. BD=CD
C. ∠B=∠C
D.∠BDA=∠CDA
12、如图，给出下列四组条件：
①AB DE BC EF AC DF ===，，；②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，；
③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，；④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，．
其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（ ）
A ．1组
B ．2组
C ．3组
D ．4组
13、已知：如图，∠ABC=∠DCB ，BD 、CA 分别是∠ABC 、∠DCB 的平分线．求证：AB=DC
14、在△ABC 中,AB=CB,∠ABC=90º,F 为AB 延长线上一点,点E 在BC 上,且AE=CF.
(1)求证: Rt △AB E ≌Rt △CBF;
(2)若∠CAE=30º,求∠ACF 度数. 第12题图
第13题图。