黑龙江省哈尔滨市新第三中学高二数学文下学期期末试卷含解析

黑龙江省哈尔滨市新第三中学高二数学文下学期期末试卷含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 复数，则
A.1
B.
C.
D.
参考答案：
B
略
2. 已知双曲线，M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，k1k2≠0，若|k1|+|k2|的最小值为1，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】先假设点的坐标，代入双曲线方程，利用点差法，可得斜率之间为定值，再利用|k1|+|k2|的最小值为1，即可求得双曲线的离心率．
【解答】解：由题意，可设点M（p，q），N（﹣p，﹣q），P（s，t）．
∴，且．
两式相减得．再由斜率公式得：k1k2=．
∵|k1|+|k2|
根据|k1|+|k2|的最小值为1，可知
∴
故选B．
【点评】本题以双曲线为载体，考查双曲线的性质，关键是利用点差法，求得斜率之积为定值．
3. “”是“” 的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
参考答案：
A
4. 若函数是偶函数，定义域为R,且时，，则满足的实数m的取值范围是（）
A. [0，1)
B. (-1，1)
C. [0，2)
D. (-2，2)
参考答案：
B
【分析】
根据题意，分析得函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，计算得f（1）＝1，则原不等式可以转化为||＜1，解可得m的取值范围，即可得答案．
【详解】根据题意，当x≥0时，f（x）＝，
则函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
且f（1）＝log22＝1，
则?||＜1，
即﹣1＜m＜1，
故选：B
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数f（x）的单调性及特殊值．5. 老师给出了一个定义在R上的二次函数f(x)，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质：
甲：在(－∞,0]上函数f(x)单调递减；
乙：在[0,+∞)上函数f(x)单调递增；
丙：函数f(x)的图象关于直线对称；
丁：f(0)不是函数f(x)的最小值．
若该老师说：你们四个同学中恰好有三个人说法正确，那么你认为说法错误的同学是( )
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
参考答案：
B
如果甲，乙两个同学回答正确，
∵在上函数单调递增；
∴丙说“在定义域上函数的图象关于直线对称”错误．
此时是函数的最小值，
所以丁的回答也是错误的，与“四个同学中恰好有三个人说的正确”矛盾，
所以只有乙回答错误．
故选．
6. 在△ABC中，，则BC边上的高为（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】解三角形．
【分析】在△ABC中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2﹣2AB?BCcosB可求AB=3，作AD⊥BC，则在
Rt△ABD中，AD=AB×sinB．
【解答】解：在△ABC中，由余弦定理可得，
AC2=AB2+BC2﹣2AB?BCcosB，
把已知AC=，BC=2，B=60°代入可得，7=AB2+4﹣4AB×，
整理可得，AB2﹣2AB﹣3=0，
∴AB=3．
作AD⊥BC垂足为D，
Rt△ABD中，AD=AB×sin60°=，
即BC边上的高为．
故选C．
7. 执行如图所示的程序框图，输出的值为（）
A． B． C． D．参考答案：
C
8. 设F1，F2是双曲线的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，
的值为（）
A．2 B．3 C．4 D．6
参考答案：
B
【考点】双曲线的应用．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求得双曲线的焦点坐标，利用△F1PF2的面积为2，确定P的坐标，利用向量的数量积公式，即可求得结论．
【解答】解：双曲线的两个焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0）
设P的坐标为（x，y），则
∵△F1PF2的面积为2
∴
∴|y|=1，代入双曲线方程解得|x|=
∴=（﹣2﹣x，﹣y）（2﹣x，﹣y）=x2﹣4+y2=3
故选B．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查向量的数量积运算，确定P的坐标是关键．
9. 四名同学报名参加三项课外活动，每人限报其中一项，不同报名方法共有（）
A．12 B．64 C．81 D．7
参考答案：
C
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【分析】根据题意，易得四名同学中每人有3种报名方法，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：四名同学报名参加三项课外活动，每人限报其中一项，
每人有3种报名方法；根据分计数原理，可得共有3×3×3×3=81种不同的报名方法；
故选：C．
10. 已知函数，则函数f(x)的图象在处的切线的斜率为（）
A. －21
B. －27
C. －24
D. －25
参考答案：
A
【分析】
由导数的运算可得：，
再由导数的几何意义，即函数的图象在处的切线的斜率为，求解即可.
【详解】由题得，所以，解得，所以. 故选A
【点睛】本题考查了导数的运算及导数的几何意义，属基础题.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知向量与的夹角为60°，||=2，||=2，则|﹣|= ．
参考答案：
2
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】利用平面向量的模长平方与其平方相等，将所求平方展开，利用数量积计算平方值，然后开方求值．
【解答】解：由已知向量与的夹角为60°，||=2，||=2，则|﹣|2==4+4﹣4=4；
所以|﹣|=2；
故答案为：2．
【点评】本题考查了向量的模长计算；利用了向量的模长平方与其平方相等．
12. 定义在上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{a n}，仍是等比数列，则称f(x)为“等比函数”.现有定义在.(－∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数：①；
②；③；④，则其中是“等比函数”的f(x)的序号
为
参考答案：
（3）（4）
13.
我校女篮6名主力队员在最近三场训练赛中投进的三分球个数如下表所示：
队员i
1
2
3
4
5
6
三分球个数
如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框里应
填 ，输出的s= ．
参考答案：
，输出； 14. 已知
，则
____．
参考答案：
1 【分析】
令展开式中的x=0,可得，令x=1,可得
的值，从而可得答案.
【详解】已知,
令x=0,可得，令x=1,可得
，
则
，
故答案为：1
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，一般在求解有二项式关系数的和等问题时通常会将二项式展开式中的未知数x 赋值为1或0或者是-1进行求解．
15. 为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：
理科 文科 合计 男
13
10[学优
23
女 7 20 27 合计
20
30
50
已知P (K 2≥3. 841)≈0.05，P (K 2≥5.024)≈0.025.
根据表中数据，得到K 2的观测值k ＝≈4.844，则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为__________．
参考答案：
5%
略
16. 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
（l ）甲不站两端； （2）甲、乙必须相邻； （3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人； （5）甲不站左端，乙不站右端．
参考答案：
略
17. 函数
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知坐标平面上点M (x ，y )与两个定点M 1(26,1)，M 2(2,1)的距离之比等于5. (Ⅰ)求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
(Ⅱ)记(Ⅰ)中的轨迹为C ，过点M (－2,3)的直线l 被C 所截得的线段的长为8，求直线l 的方程．
参考答案：
解：(Ⅰ)由题意，得＝5.
＝5，化简，得x2＋y2－2x－2y－23＝0.
即(x－1)2＋(y－1)2＝25. ∴点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25，
轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆．
(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时，l：x＝－2，此时所截得的线段的长为2＝8，∴l：x＝－2符合题意．
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，圆心到l的距离d＝，由题意，得()2＋42＝52，解得k＝.
∴直线l的方程为x－y＋＝0，即5x－12y＋46＝0.
综上，直线l的方程为x＝－2，或5x－12y＋46＝0.
略
19. （1）已知，求的值
（2）求=
参考答案：
（1）-3；（2）1.
20. 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，椭圆与抛物线在第一象限的交点为，．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的直线与椭圆相交于、两点，求使成立的动点
的轨迹方程；
（3）若点满足条件（2），点是圆上的动点，求的最大值．
参考答案：.
又，且
，…………… 4分
解得.
∴椭圆的方程为
. (5)
分[z|zs|]
解法2: 抛物线的焦点的坐标为，
设点的坐标为,.
∵,
∴. ①
…………… 1分
∵点在抛物线上,
∴. ②
解①②得,.
∴点的坐标为
. …………… 2分
∵点在椭圆上，∴. …………… 3分
又，且
，…………… 4分
解得.
∴椭圆的方程为
. (5)
分
(2)解法1：设点、、，
则.
∴.
∵ ,
∴. ①
…………… 6分
∵、在椭圆上，∴
上面两式相减得.②
把①式代入②式得. [中+国教+育出+版网]
当时，得
. ③…………… 7分
设的中点为，则的坐标为.
∵、、、四点共线，
∴, 即. ④ (8)
分
把④式代入③式，得，
化简得
. (9)
分
当时，可得点的坐标为，
经检验，点在曲线上.
∴动点的轨迹方程为. …………… 10分解法2：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由消去，得.
设点、、，
则,
②
…………… 7分[]
①②得
，③ (8)
分
把③代入②化简得. (*) (9)
分
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为,
依题意, 可得点的坐标为，
经检验，点在曲线上.
∴动点的轨迹方程为. …………… 10分
∴当时,, …………… 13分此
时,. ……………略
21. 已知两个定点，动点满足.设动点P的轨迹为曲线E，直线
.
（1）求曲线E的轨迹方程；
（2）若l与曲线E交于不同的C，D两点，且（O为坐标原点），求直线l的斜率；（3）若，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM，QN，切点为M，N，探究：直线MN是否过定点.
参考答案：
（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）设点P坐标为（x，y），运用两点的距离公式，化简整理，即可得到所求轨迹的方程；（2）由，则点到边的距离为，由点到线的距离公式得直线的斜率；（3）由题意可
知：O，Q，M，N四点共圆且在以OQ为直径的圆上，设，则圆的圆心为运用直径式圆的方程，得直线的方程为，结合直线系方程，即可得到所求定点．
【详解】（1）设点的坐标为
由可得，，
整理可得
所以曲线的轨迹方程为.
（2）依题意，，且，则点到边的距离为
即点到直线的距离，解得
所以直线的斜率为.
（3）依题意，，则都在以为直径的圆上
是直线上的动点，设
则圆的圆心为，且经过坐标原点
即圆的方程为，
又因为在曲线上
由，可得
即直线的方程为
由且可得，解得
所以直线是过定点.
【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，注意运用两点的距离公式，考查直线和圆相交的弦长公式，考查直线恒过定点的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
22. 已知函数．
（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；
（2）当时，求证：；
（3）设函数，其中b为实常数，试讨论函数的零点个数，并证明你的结论．参考答案：
（1）（2）见证明；（3）见解析
【分析】
（1）根据题意求出函数的导函数，表示出切点的纵坐标，根据导数的几何意义列出方程，由此即可求出切点的横坐标；
（2）设，求出函数的导函数，令，列出表格，观察即可判断出函数的最小值，从而证明；（3）根据题意，构造出函数，求出函数的导函数，分情况讨论b的取值范围，当b≤0，根据与0的关系判断出的零点个数；其次当b>0时，结合x的范围判断出函数的
单调性，这里要注意当x>2时，根据b的范围即、和来判断的零点，由此即可知的零点个数.
【详解】（1）．因为切线过原点，
所以，解得：．
（2）设，则．
令，解得．
在上变化时，的变化情况如下表
所以当时，取得最小值．
所以当时，，即．
（3）等价于，等价于．注意．
令，所以．
（I）当时，，所以无零点，即在定义域内无零点．
（II）当时，（i）当时，，单调递增；
因为在上单调递增，而，
又，所以．
又因为，其中，
取，表示的整数部分．所以，，由此．
由零点存在定理知，在上存在唯一零点．
（ii）当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以当时，有极小值也是最小值，．
①当，即时，在上不存在零点；
②当，即时，在上存在唯一零点2；
③当，即时，由有，
而，所以在上存在唯一零点；
又因为，．
令，其中，，，，
所以，因此在上单调递增，从而，
所以在上单调递增，因此，
故在上单调递增，所以．
由上得，由零点存在定理知，在上存在唯一零点，即在上存在唯一零点．
综上所述：当时，函数的零点个数为0；
当时，函数的零点个数为1；
当时，函数的零点个数为2；
当时，函数的零点个数为3．
【点睛】本题考查导数在研究函数中的作用，比如利用导数证明不等式，利用导数研究函数的零点个数等等，结合单调性和零点存在性定理是解决本题的关键.。