最新江西省中等学校招生考试数学信息题及答案一.doc

江西省2016年中等学校招生考试
数学信息训练试题(一)
一、选择题
1.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（）
A.矩形
B.菱形
C.对角线互相垂直的四边形
D.对角线相等的四边形
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）
A. B. C. D.
3.已知点(-1,y1),(2,y2),(3,y3)在反比例函数的图象上.下列结论中正确的是（）
A.y1＞y2＞y3
B.y1＞y3＞y2
C.y3＞y1＞y2
D.y2＞y3＞y1
4.将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（）
A.45°
B.60°
C.75°
D.90°
第4题图第5题图第7题图
5.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,E、F分别是CD、AD上的点,且CE=AF．如果∠AED=62°，那么∠DBF=（）
A.62°
B.38°
C.28°
D.26°
6.设0＜k＜2，关于x的一次函数y=kx+2（1﹣x），当1≤x≤2时的最大值是（）
A.2k﹣2
B.k﹣1
C.k
D.k+1
7.如图,两个全等的直角三角形重叠在一起,将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置,AB=10,DO=4,平移距离为6,则阴影部分面积为（）
A.48
B.96
C.84
D.42
8.如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下
的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是（）
A. B.
C. D.
9.现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．用小莉掷A立方体朝上的数字为x小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P（x，y），那么它们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=﹣x2+4x上的概率为（）
A. B. C. D.
10.如图,延长RT△ABC斜边AB到点D,使BD=AB,连接CD,若tan∠BCD=,则tanA=（）
A. B.1 C. D.
第10题图第12题图
11.对于一次函数y=kx+k﹣1（k≠0），下列叙述正确的是（）
A.当0＜k＜1时，函数图象经过第一、二、三象限
B.当k＞0时，y随x的增大而减小
C.当k＜1时，函数图象一定交于y轴的负半轴
D.函数图象一定经过点（﹣1，﹣2）
12.如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则（）
A.S1=S2
B.S1=S2
C.S1=S2
D.S1=S2
13.如图，△ABC内接于⊙O，BC=8，⊙O半径为5，则sinA的值为（）
A. B. C. D.
第13题图第14题图第15题图
14.太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是
，则皮球的直径是（）
A. B.15 C.10 D.
15.如图,将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB绕O点顺时针旋转90°得△A′OB′.已知∠AOB=30°，∠B=90°，AB=1,则B′点的坐标为（）
A. B. C. D.
16.如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB 相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为（）
A.12
B.9
C.6
D.4
第16题图第17题图第18题图
17.如图,边长为12的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（）
A.60
B.64
C.68
D.72
18.如图,扇形AOB的半径为1,∠AOB=90°，以AB为直径画半圆,则图中阴影部分的面积为（）
A. B. C. D.
19.已知实数a,b分别满足a2﹣6a+4=0,b2﹣6b+4=0,且a≠b,则的值是（）
A.7
B.﹣7
C.11
D.﹣11
20.如图,正方形PQMN的边PQ在x轴上,点M坐标为(2,1),将正方形PQMN沿x轴连续翻转,则经过点（2015,）的顶点是（）
A.点P
B.点Q
C.点M
D.点N
第20题图第21题图
21.函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示,有以下结论：①b2﹣4c＞0;②b+c+1=0;③3b+c+6=0;
④当1＜x＜3时，x2+（b-1）x+c＜0.其中正确的个数为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
22.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=6cm,动点P从点A出
发,沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动;同时,动点Q从
点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动,将△PQC
沿BC翻折，点P的对应点为点P′.设Q点运动的时间为t秒,若四
边形QP′CP为菱形,则t的值为（）
A. B.2 C. D.3
23.已知二次函数y=x2+bx+c过点（0，﹣3）和（﹣1，2m﹣2）对于该二次函数有如下说法：
①它的图象与x轴有两个公共点；
②若存在一个正数x0，使得当x＜x0时，函数值y随x的增大而减小，则m＞0；若存在一个负数x0，使得当x＞x0时，函数值y随x的增大而增大，则m＜0；
③若将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=﹣1；
④若当x=2时的函数值与x=2012时的函数值相等，则当x=20时的函数值为﹣3．
其中正确的说法的个数是（）
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题
24.分解因式：xy2﹣25x= ．
25.若函数，则当函数值y=8时，自变量x的值是
26.如图,在△ABC中，∠B=50°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= ．
第26题图第27题图第28题图
27.如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为．
28.如图，PA、PB是⊙O的切线，Q为弧AB上一点，过点Q的直线MN与⊙O相切，已知
PA=4，则△PMN周长= ．
29.双曲线y1、y2在第一象限的图象如图，过y1上的任意
一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，若S△AOB=1，
则y2的解析式是．
30.如图，直线l∥x轴，分别与函数和的
图象相交于点A、B，交y轴于点C，若AC=2BC，则k= ．
第30题图第31题图第32题图
31.如图,在正方形ABCD内有一折线段,其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且AE=6,EF=8,FC=10,则
正方形的边长为．
32.如图,已知点A（1,1）,B（3,2）,且P为x轴上一动点,则△ABP周长的最小值为．
33.如图,正方形ABCD的边长为4,∠DAC的平分线交DC于点E,若点P、Q分别是AD和AE
上的动点,则DQ+PQ的最小值是．
第33题图第34题图第35题图
34.如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转
后得到△ACE，则AE的长度为．
35.如图,已知在Rt△OAC中,O为坐标原点,直角顶点C在x轴的正半轴上,反比例函数
（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B,交AC于点D,连接O D.若△OCD∽△ACO,则直线OA的解析式为．
36.如图1，正方形ABCD中，点P从点A出发，以每秒2厘米的速度，沿A→D→C方向运
动，点Q从点B出发，以每秒1厘米的速度，沿BA向点A运动，P、Q同时出发，当点P运动到点C时，两动点停止运动，若△PAQ的面积y（cm2）与运动时间x（s）之间的函数图象为图2，若线段PQ将正方形分成面积相等的两部分，则x的值为．
三、解答题
37.甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方
向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：
（1）港口A与小岛C之间的距离；（2）甲轮船后来的速度．
38.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．
求证：（1）∠AOC=2∠ACD；（2）AC2=AB•A D．
39.如图，AB是⊙O直径,∠DAC=∠BAC,CD⊥AD,交AB延长线于点P，
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若tan∠BAC=，PB=2，求⊙O半径．
40.如图,已知在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与边BC交于点D,与边AC交于点E,
过点D作DF⊥AC于F．
（1）求证：DF为⊙O的切线;（2）若DE=,AB=,求AE的长．
41.如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）连结OC交DE于点F，若sin∠ABC=，求的值．
42.谷歌人工智能AlphaGo机器人与李世石的围棋挑战赛引起人们的广泛关注，人工智能完胜李世石，某教学网站开设了有关人工智能的课程并策划了A，B两种网上学习的月收费方
设小明每月上网学习人工智能课程的时间为小时，方案，的收费金额分别为A元，y B 元．
（1）当x≥50时，分别求出y A，y B与x之间的函数关系式；
（2）若小明3月份上该网站学习的时间为60小时，则他选择哪种方式上网学习合算？
43.九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：
已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元.
(1)请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是__________元；②月销量是__________件（直接写出结果）
(2)若设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？
44.如图,已知AB是⊙O的直径,点C为圆上一点,点D在OC的延长线上,
连接DA,交BC的延长线于点E,使得∠DAC=∠B．
（1）求证:DA是⊙O切线;
（2）求证:△CED∽△ACD;
（3）若OA=1,sinD=,求AE的长．
45.如图,某处有一座信号塔AB,山坡BC的坡度为1:,现为了测量
塔高AB,测量人员选择山坡C处为一测量点,测得∠DCA=45°，然后
他顺山坡向上行走100米到达E处,再测得∠FEA=60°．
（1）求出山坡BC的坡角∠BCD的大小；
（2）求塔顶A到CD的铅直高度A D．
46.如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），
动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．（1）求直线AB的解析式；
（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
（3）当t为何值时，△APQ的面积为个平
方单位？
47.如图,某大楼的顶部树有一块广告牌CD,小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：
，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）
（1）求点B距水平面AE的高度BH；
（2）求广告牌CD的高度．
48.为了提高中学生身体素质，学校开设了A：篮球、B：足球、C：跳绳、D：羽毛球四种体育活动，为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，在全校随机抽取若干名学生进行问卷调查某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．
（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？
（3）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13000元，请分析合理的方案共有多少种？并确定获利最大的方案以及最大利润．
49.如图，抛物线y=x2﹣2mx﹣3m2（m为常数，m＞0），与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，
（1）用m的代数式表示：点C坐标为，AB的长度为；
（2）过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D,将△ACD沿x轴翻折得到△AEM,延长AM交抛物线于点N.
①求的值；
②若AB=4，直线x=t交线段AN于点P，交抛物线于点Q，连接AQ、NQ，是否存在实数t，使△AQN的面积最大？如果存在，求t的值；如果不存在，请说明理由．
数学信息训练试题参考答案
一、选择题
1. C
2. B
3. B
4. C
5. C
6. C
7. A
8. D
9. B 10. A 11. C 12. C 13. B
14. B 15. D 16. B 17. C 18. C 19. A 20. A 21. B 22. B 23. B
二、填空题
24. x（y+5）（y﹣5）25. 4或﹣26. 65 27. 228. 8 29. y2=．30.﹣1
31. 432.33. 234. 2 35. y=2x 36. 3．
三、解答题
37.解：（1）作BD⊥AC于点D，如图所示：
由题意可知：AB=30×1=30海里，∠BAC=30°，∠BCA=45°，
在Rt△ABD中，∵AB=30海里，∠BAC=30°，∴BD=15海里，
AD=ABcos30°=15海里，
在Rt△BCD中，∵BD=15海里，∠BCD=45°，∴CD=15海里，BC=15海里，
∴AC=AD+CD=15+15海里，即A、C间的距离为（15+15）海里．
（2）∵AC=15+15（海里），轮船乙从A到C的时间为，由B到C的时间为+1﹣1=，
∵BC=15海里，∴轮船甲从B到C的速度为（海里/小时）．
38.证明：（1）∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，即∠ACD+∠ACO=90°．①
∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∴∠AOC=180°﹣2∠ACO，即∠AOC+2∠ACO=180°，
两边除以2得：∠AOC+∠ACO=90°．②
由①，②，得：∠ACD﹣∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD；
（2）如图，连接B C．∵AB是直径，∴∠ACB=90°．
在Rt△ACD与Rt△ABC中，∵∠AOC=2∠B，
∴∠B=∠ACD，∴Rt△ACD∽Rt△ABC，∴，即AC2=AB•A D．
39.（1）证明：∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，又∠DAC=∠BAC，
∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，又CD⊥AD，
∴∠OCP=90°，∴PC是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接BC，
∵PC是⊙O的切线，∴∠PCB=∠PAC，∵∠BPC=∠CPA，∴△PBC∽△CPA，∴
，
∵tan∠BAC==，∴PC2=PB•PA，PA=2PC，
∴PC2=2PB•PC，PC=2PB=4，
设⊙O半径为x，则OP=x+2，在RT△OPC中，OP2=OC2+PC2，即（x+2）2=x2+42，解得x=3，∴⊙O半径为3．
40.（1）证明：连接AD，OD；∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC；
∵AB=AC，∴BD=D C．∵OA=OB，∴OD∥A C．∵DF⊥AC，∴DF⊥O D．
∴∠ODF=∠DFA=90°，∴DF为⊙O的切线．
（2）解：连接BE交OD于G；
∵AC=AB，AD⊥BC，ED=BD，∴∠EAD=∠BA D．∴弧DE=弧B D．
∴ED=BD，OE=O B．∴OD垂直平分E B．∴EG=BG．
又AO=BO，∴OG=AE．在Rt△DGB和Rt△OGB中，
BD2﹣DG2=BO2﹣OG2∴
解得：OG=．∴AE=2OG=．
41.（1）证明：连接O D．∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，即∠ODE=90°．
∵AB是⊙O的直径，∴O是AB的中点．又∵D是BC的中点，．∴OD∥A C．
∴∠DEC=∠ODE=90°．∴DE⊥AC；
（2）解：连接A D．∵OD∥AC，∴．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=∠ADC=90°．
又∵D为BC的中点，∴AB=A C．∵sin∠ABC=，故设AD=3x，则AB=AC=4x，OD=2x．
∵DE⊥AC，∴∠ADC=∠AED=90°．∵∠DAC=∠EAD，∴△ADC∽△AE D．∴．
∴AD2=AE•A C．∴．∴．∴．
42.解：（1）当x≥50时，y A与x之间的函数关系式为：y A=7+（x﹣25）×0.6=0.6x﹣8，
当x≥50时，y B与x之间的函数关系式为：y B=10+（x﹣50）×0.8=0.8x﹣30．
（2）当x=60时，y A=0.6×60﹣8=28，y B=0.8×60﹣30=18，∴y A＞y B．
故选择B方式上网学习合算．
44.（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°，
∵∠DAC=∠B，∴∠CAB+∠DAC=90°．∴AD⊥A B．
∵OA是⊙O半径，∴DA为⊙O的切线；
（2）解：∵OB=OC，∴∠OCB=∠B．∵∠DCE=∠OCB，∴∠DCE=∠B．
∵∠DAC=∠B，∴∠DAC=∠DCE．∵∠D=∠D，∴△CED∽△ACD；
（3）解：在Rt△AOD中，OA=1，sinD=，∴OD==3，∴CD=OD﹣OC=2．
∵AD，又∵△CED∽△ACD，∴，∴DE=，
∴AE=AD﹣DE=2﹣=．
45.解：（1）依题意得：tan∠BCD=，∴∠BCD=30°；
（2）方法1：作EG⊥CD，垂足为G．在Rt△CEG中，CE=100，∠ECG=30°，∴
EG=CE•sin30°=50，
CG=CE•cos30°=50，设AD=x，则CD=AD=x．∴AF=x﹣50，EF=x﹣50，
在Rt△AEF中，=tan60°，∴．解得：x=50+50≈136.5（米）．
答：塔顶A到CD的铅直高度AD约为137米．
方法2：∵∠ACD=45°，∴∠ACE=15°．∵∠AEF=60°，∴∠EAF=30°．
∵∠DAC=45°，∴∠EAC=∠DAC﹣∠EAF=15°，∴∠ACE=∠EA C．∴AE=CE=100．
在Rt△AEF中，∠AEF=60°，∴AF=AE•sin60°=50（m），
在Rt△CEG中，CE=100m，∠ECG=30°，∴EG=CE•sin30°=50m．
∴AD=AF+FD=AF+EG=50+50≈136.5(米) 答：塔顶A到CD的铅直高度AD约为137米
46.解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得，
所以，直线AB的解析式为y=﹣x+6；
（2）由AO=6，BO=8得AB=10，所以AP=t，AQ=10﹣2t，
①当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AO B．所以，解得t=（秒），
②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AO B．所以，解得t=（秒）；
∴当t为秒或秒时，△APQ与△AOB相似；
（3）过点Q作QE垂直AO于点E．在Rt△AOB中，sin∠BAO=，
在Rt△AEQ中，QE=AQ•sin∠BAO=（10﹣2t）•=8﹣t，
S△APQ=AP•QE=t•（8﹣t）=﹣t2+4t=，解得t=2（秒）或t=3（秒）．
∴当t为2秒或3秒时，△APQ的面积为个平方单位.
47.解：（1）过B作BG⊥DE于G，
Rt△ABH中，i=tan∠BAH=，∴∠BAH=30°，∴BH=AB=5；
（2）∵BH⊥HE，GE⊥HE，BG⊥DE，∴四边形BHEG是矩形．
∵由（1）得：BH=5，AH=5，∴BG=AH+AE=5+15，
Rt△BGC中，∠CBG=45°，∴CG=BG=5+15．
Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，∴DE=AE=15．
∴CD=CG+GE﹣DE=5+15+5﹣15=20﹣10≈2.7m．答：宣传牌CD高约2.7米．48.解：（1）设每台空调的进价为m元，则每台电冰箱的进价为（m+400）元，
根据题意得：，解得：m=1600经检验，m=1600是原方程的解，
m+400=1600+400=2000，答：每台空调的进价为1600元，则每台电冰箱的进价为2000元．（2）设购进电冰箱x台（x为正整数），这100台家电的销售总利润为y元，
则y=（2100﹣2000）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=﹣50x+15000，…
根据题意得：，解得：33≤x≤40，∵x为正整数，
∴x=34，35，36，37，38，39，40，∴合理的方案共有7种，
即①电冰箱34台，空调66台；②电冰箱35台，空调65台；③电冰箱36台，空调64台；
④电冰箱37台，空调63台；⑤电冰箱38台，空调62台；⑥电冰箱39台，空调61台；
⑦电冰箱40台，空调60台；∵y=﹣50x+15000，k=﹣50＜0，∴y随x的增大而减小，
∴当x=34时，y有最大值，最大值为：﹣50×34+15000=13300（元），
答：当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元．
49.解：（1）令x=0，则y=﹣3m2，即C点的坐标为（0，﹣3m2），
∵y=x2﹣2mx﹣3m2=（x﹣3m）（x+m），∴A（﹣m，0），B（3m，0），
∴AB=3m﹣（﹣m）=4m，故答案为：（0，﹣3m2），4m；
（2）①令y=x2﹣2mx﹣3m2=﹣3m2，则x=0（舍）或x=2m，∴D（2m，﹣3m2），
∵将△ACD沿x轴翻折得到△AEM，∴D、M关于x轴对称，∴M（2m，3m2），
设直线AM的解析式为y=kx+b，
将A、M两点的坐标代入y=kx+b得：，解得：，∴直线AM的解析式为：y=mx+m2，
联立方程组：，解得：（舍）或，∴N（4m，5m2），
∴；
②如图：
∵AB=4，∴m=1，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，直线AM的解
析式为y=x+1，
∴P（t，t+1），Q（t，t2﹣2t，﹣3），N（4，5），A（﹣1，0），
B（3，0）
设△AQN的面积为S，则：
∴t=，S最大．。