黑龙江大庆实验中学10-11学年高二数学上学期期中考试 理 新人教A版

大庆实验中学2022—2022学年度上学期期中考试高二年级数学试题
（理科）
一、选择题（每题5分共60分）
1．已知椭圆
116
252
2=+y x 上的一点到一个焦点的距离为,则到另一焦点距离为 A 9 B 7 C 5 D 3
2．若p q ∨为真命题，则下列命题中，为真命题的个数有
①p q ∧ ②p ③q ⌝ ④()()p q ⌝∨⌝
A 0个
B 1个
C 2个
D 3个
3．命题“若1x =，则10x -=”的“否命题”与“命题的否定形式”分别为
①若1x ≠，则10x -≠； ②若1x =，则10x -≠ ③x ∀∈R ，10x -≠ A ①① B ①② C ①③ D ②③
4．若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（ ） A ． B ．5 C ． D ．2 5．已知a b c 、、是直线，是平面，、⊆，则“平面”是“b a ⊥且c a ⊥”
的 （ ） A ．充要条件． B ．充分非必要条件． C ．必要非充分条件． D ．非充分非必要条件． 6．6-=a 是直线()031:1=--+y a ax l 和直线()()02321:2=-++-y a x a l 垂直的（ ）
A 充分条件
B 必要条件
C 充要条件
D 既非充分也非必要条件 7．入射光线沿直线-23=0射向直线: =被直线反射后的光线所在的方程是 A 2-3=0 B 23=0 C 2--3=0 D 2-3=0．
8．若R k ∈，则方程
12
32
2=+++k y k x 表示焦点在轴上的双曲线的充要条件是（ ） A ．23-<<-k B ．3-<k C ．3-<k 或2->k D ．2->k 9已知命题R x ∈∃，022
≤++a ax x 若命题是假命题，则实数的取值范围是 A (,0]
[1,)-∞+∞ B [0,1] C (,0)(1,)-∞+∞ D (0,1)
10．抛物线x y 42
=上的点p 到抛物线的准线的距离为1d ,到直线0943=+-y x 的距离为
2d ,则21d d +的最小值为
B 56 D 125
11．若点(0,0)O 和点(2,0)F -分别是双曲线22
21(a>0)a
x y -=的中心和左焦点,点
D C B
A
OP FP ⋅[3-23,)+∞[323,)
++∞7
[-,)4+∞7
[,)4
+∞22(0)
y px p =>2222
1(,0)x y a b a b
-=>AF x ⊥(0,)4π(,)64ππ(,)43ππ(,)32ππ
122=+my x y 的值为______________
14．圆心为1,2且与直线51270x y --=相切的圆的方程为_____________
15．已知抛物线x y 42
=焦点F 恰好是双曲线12222=-b
y a x 的右焦点，且双曲线过点),23(2
b a 则该双曲线的渐近线方程为
16、如图,以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ,且//AB CD 若双曲线以A 、B 为焦点,且过C 、D 两点,则当梯形的周长最大时, 双曲线的离心率为___________
二、解答题（共70分）
17（本题10分）直线l 经过两条直线1l ：0852=+-y x 和
2l 01232=-+y x 的交点，且分这两条直线与x 轴围成的三角形面积为2:3两部分，求直线l 的一般式方程。

18（本题10分） 已知点P 是⊙O ：229x y +=上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ,动点Q 满足2
3
DQ DP =。

（1）求动点Q 的轨迹方程；
（2）已知点(1,1)E ，在动点Q 的轨迹上是否存在两个不重合
的两点M 、N ，使1
()2
OE OM ON =
+ O 是坐标原点，若存在，求出直线MN 的方程，若不存在，请说明理由。

19（本题12分） 如图，正方形ABCD 所在平面与圆O 所在平面相交于CD ，线段CD 为圆O 的弦，AE 垂直于圆O 所在平面，垂足E 是圆O 上异于C 、D 的点，3AE =，圆O 的直径为9．
（1）求证：平面ABCD ⊥平面ADE ； （2）求正方形的边长；
（3）求二面角D BC E --的平面角的正切值．
20（本题12分）如图所示，已知圆,8)1(:2
2
=++y x C 定点A （1，0），M 为圆上一动点，点上，点N 在CM 上，且满足0,2=⋅=AM NP AP AM ，点N 的轨迹为曲线E 。

•
1
F 2
F •
Q
x
y
A
O
（1）求曲线E 的方程；
（2）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于G 、H 不同的两点，求此直线斜率的取值范围；
（3）若点G 在点F 、H 之间，且满足λλ求,FH FG =的取值范围。

21（本题13分）
设椭圆：)0(122
22>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为，过点与垂直的
直线交轴负半轴于点，且02221=+Q F F F ．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若过、、三点的圆恰好与直线
：033=--y x 相切，求椭圆的方程；
（III ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于、两点，在轴上是否存
在点)0,(m P 使得以PN PM ,为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围，如果不存在，说明理由．
22（本题13分） 已知点()0,1F ，直线l ：1y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP QF FP FQ =． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）已知圆M 过定点()0,2D ，圆心M 在轨迹C 上运动，且圆M 与x 轴交于A 、B 两
点，设1DA l =，2DB l =，求
12
21
l l l l +的最大值． 大庆实验中学2022—2022学年度上学期期中考试
高二理科数学参考答案
一．选择题（每题5分共60分）
BABAB ACADD BD
二．填空题（每题5分共20分） 13
41 14 22
(1)(2)4x y -+-= 15 x y 4
2±
= 16 31
三．解答题（共70分）17（本题10分）
解:由⎩⎨
⎧=-+=+-0
12320852y x y x 得两直线交点的坐标)25
,49(P ﹍﹍2分
A （－4,0），
B （6,0）﹍﹍4分
又由题意知S 1：S 2=2：3或3：2所以
2
3
32或=MB AM
M0,0或M （2,0 ﹍﹍6 分 所以所求直线的一般式方程是020100910=--=-y x y x 或﹍﹍10分
18（10分）（1）设()00(,),,P x y Q x y ，依题意，则点D 的坐标为0(,0)D x
∴00(,),(0,)DQ x x y DP y =-= ………………………2分
19．（本题12分）
（1）证明：∵AE 垂直于圆O 所在平面，CD 在圆O 所在平面上，
∴AE ⊥CD ．
在正方形ABCD 中，CD AD ⊥，
∵AD
AE A =，∴CD ⊥平面ADE ．
∵CD ⊂平面ABCD ，
∴平面ABCD ⊥平面ADE ． ……… 4分 （2）∵CD ⊥平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，
∴．
∴为圆O 的直径，即9CE =． 设正方形ABCD 的边长为a ，
在Rt △CDE 中，2
2
2
2
81DE CE CD a =-=-， 在Rt △ADE 中，2
2
2
2
9DE AD AE a =-=-， 由2
2
819a a -=-，解得，35a = ……… 8分 （3）． 过点E 作EF AD ⊥于点F ，作FG
AB 交BC 于点G ，连结GE ，
由于AB ⊥平面ADE ，EF ⊂平面ADE ，
∴EF AB ⊥．∵AD AB A =，
∴EF ⊥平面ABCD ．∵BC ⊂平面ABCD ，∴BC EF ⊥． ∵BC FG ⊥，EF FG F =，∴BC ⊥平面EFG ．
∵EG ⊂平面EFG ，∴BC EG ⊥．
∴FGE ∠是二面角D BC E --的平面角． ……………… 10分 在Rt △ADE 中，35AD =3AE =，226DE AD AE =-=
∵AD EF AE DE ⋅=⋅，∴65
535
AE DE EF AD ⋅=
==
． 在Rt △EFG 中，35FG AB == ∴2
tan 5
EF EGF FG ∠==． 故二面角D BC E --的平面角的正切值为
2
5
． ………………12分
20（本题12分）解：（1）.0,2=⋅=AM NP AP AM
∴N 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|……………………1分
又,22||||=+NM CN .222||||>=+∴AN CN ……………………2分
CD DE
⊥CE
∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆……………………3分 且椭圆长轴长为.22,222==c a 焦距.1,1,22===
∴b c a ……………………5分
∴曲线E 的方程为.12
22
=+y x ……………………6分 （2）当直线GH 斜率存在时，
设直线GH 方程为,12
,22
2=++=y x kx y 代入椭圆方程
得.034)2
1
(
22=+++kx x k ……………………7分 由.2302
>
>∆k
得κκ∴><……………………8分 （3）设21122122112
13
,214),,(),,(k x x k k x x y x H y x G +=
+-=
+则 又
,
FH FH λ= )
2,()2,(2211-=-∴y x y x λ,
21x x λ=∴2
2
21221,)1(x x x x x x λλ=+=+∴ λ
λ212
2221)1(
x x x x x ==++∴ ,2
13))
1(214(222
2λλk k k +=++-
整理得λλ2
2)1()121(316+=+k ……………………10分
,2
3
2>
k .3163231642<+<∴k .33
1
.31621
4<<<
++
<∴λλ
λ解得 又,10<<λ
.13
1
<<∴λ……………………12分 又当直线GH 斜率不存在，方程为.3
1,31,0==
=λFH FG x
,131<≤∴λ即所求的取值范围是)1,31[
……………………12分 21．（本题13分）（Ⅰ）解：设Q （0，0），由（c ，0）,A （0，b ）
知),(),,(02b x AQ b c A F -=-=
c
b x b cx AQ A F 2
02
02,0,-==--∴⊥ ，
由于02221=+Q F F F 即为中点．
故c c c
b 22
-=+-22223c a c b -==∴ 故椭圆的离心率21
=
e …………………4分 （Ⅱ）由⑴知,21=a c 得a c 21=于是（21，0） Q )0,2
3
(a -，
△AQF 的外接圆圆心为（-21，0），半径r=2
1
|FQ|=
所以a a =--2
|321
|，解得=2，∴c =1，b=，
所求椭圆方程为13
42
2=+y x …………………8分 （III ）由（Ⅱ）知)0,1(2F
：)1(-=x k y
⎪⎩
⎪⎨⎧=+
-=134)
1(2
2
y x x k y 代入得01248)43(2222=-+-+k x k x k …………………9分
设),(11y x M ，),(22y x N
则2
221438k k x x +=+，)2(2121-+=+x x k y y ……………10分
=-+-=+),(),(2211y m x y m x PN PM ),2(2121y y m x x +-+
由于菱形对角线垂直，则⋅+)(PN PM 0=MN
故02)(2121=-+++m x x y y k 则02)2(21212
=-++-+m x x x x k
)2438(22-+k k 0243822=-++m k
k
由已知条件知0≠k 且R k ∈ 431
4322
2+=+=∴k
k
k m 4
10<
<∴m 故存在满足题意的点P 且的取值范围是4
1
0<<m ．…………………13分
22（本题13分）
………………8分
由①、②解得，2x a =±． 不妨设()2,0A a -，()2,0B a +， ∴()
2
124l a =
-+()
2
224l a =
++
∴22212124211264
l l l l l l l l a ++==
+ ()
2
22448162
216464a a a a +==+++ ③…………11分
当0a ≠时，由③得，
1222121616
2121226428l l l l a a
+=++=⨯+≤
当且仅当22a =± 当0a =时，由③得，
12
21
2l l l l +=． 故当22a =±时，
12
21
l l l l +的最大值为22 …………………13分。