2021年函数的单调性练习题(含答案)

函数的单调性练习
欧阳光明（2021.03.07）
一、选择题：
1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）
A ．y =2x ＋1
B ．y =3x 2＋1
C ．y =x 2
D ．y =2x 2＋x ＋1
2．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增
函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于（ ）
A ．－7
B ．1
C ．17
D ．25
3．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)
的递增区间是（ ）
A ．(3，8)
B ．(－7，－2)
C ．(－2，3)
D ．(0，5)
4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实
数a 的取值范围是（ ）
A ．(0，21)
B ．( 21
，＋∞)
C ．(－2，＋∞)
D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，
则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ）
A ．至少有一实根
B ．至多有一实根
C ．没有实根
D ．必有唯一的实根
6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那
么函数g (x )（ ）
A ．在区间(－1，0)上是减函数
B ．在区间(0，1)
上是减函数
C ．在区间(－2，0)上是增函数
D ．在区间(0，2)
上是增函数
7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)
是其图象上的两点，那么不等式|f (x ＋1)|＜1的解集的补集是（ ）
A ．(－1，2)
B ．(1，4)
C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）
D ．(－∞，－1)∪[2，＋
∞）
8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调
递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是（ ）
A ．f (－1)＜f (9)＜f (13)
B ．f (13)＜f (9)＜f (－1)
C ．f (9)＜f (－1)＜f (13)
D ．f (13)＜f (－1)＜f (9)
9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是
（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞
C ．]1,(),,0[-∞+∞
D ),1[),,0[+∞+∞
10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函
数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．a ≤3
B ．a ≥－3
C ．a ≤5
D ．a ≥3
11．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且
a ＋
b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ）
A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］
B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )
C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］
D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )
12．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且
y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则（ ）
A ．f (－1)＜f (3)
B ．f (0)＞f (3)
C ．f (－1)=f (－3)
D ．f (2)
＜f (3)
二、填空题：
13．函数y =(x －1)-2的减区间是____．
14．函数y =x －2x -1＋2的值域为_____．
15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y f x =-的单调递
减区间为.
16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__．
三、解答题：
17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (y
x ) = f (x )－f (y )
（1）求f (1)的值．
（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x 1) ＜2 ． 18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果
具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．
19．试讨论函数f (x )=
21x -在区间［－1，1］上的单调性．
20．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为
单调函数．
21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m
－1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．
22．已知函数
f (x )=x a x x ++22，x ∈［1，＋∞］ （1）当a =21时，求函数
f (x )的最小值； （2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．
参考答案
一、选择题： CDBBD ADCCA BA
二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞，
⎥⎦⎤ ⎝
⎛-∞-21, 三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．
②在等式中令
x=36，y=6则
.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：
),36()1()3(f x f x f <-+即f [x (x ＋3)]
＜f (36)，
又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，
故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x x x
18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，
证明如下：
设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．
f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43
x 22］．
∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋
22x )2＋43
x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．
∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．
19.解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．
f (x 1)
－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211)
)((x x x x x x -+-+-
∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)．
当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)． 故f (x )=
21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数．
20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则
f (x 1)－f (x 2)=
121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212
221+++-x x x x －a (x 1－x 2)
=(x 1－x 2)(11222
12
1++++x x x x －a )
(1)当a ≥1时，∵112
22121++++x x x x ＜1， 又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2) ∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数．
(2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在
x 1=0，x 2=212a a
-，满足f (x 1)=f (x 2)=1
∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数
注： ①判断单调性常规思路为定义法；
②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；
③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的
单调性，这也是数学严谨性的体现．
21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数
∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )
∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的
取值范围是(－32,21)
22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x 21
＋2，x ∈1，＋∞)
设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋
1122121x x x --=(x 2－x 1)＋212
12x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x )
∵x 2＞x 1≥1，
∴x 2－x 1＞0，1－2121
x x ＞0，则f (x 2)
＞f (x 1)
可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27．
(2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=
x a
x x ++22＞0恒成立
⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立 设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数，
当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。