解三角形中的边角互换导学提纲
解直角三角形 (1)导学提纲
九年级班姓名：“1.4 解直角三角形（1）”导学提纲①主备课人：实验中学邢乃先王明新新元中学于保波刘海波学习目标：1.初步了解解直角三角形的意义.2.合理地选择关系式，用两条边解直角三角形，会用一条边和一个锐角解直角三角形.3.经历运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.教学过程：Array一.自主探究：1. Rt⊿ABC中，∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c你知道该三角形中的下列边角关系吗？请你填空：（1）两锐角之间的关系：；（2）三边之间的关系：；（3）角与边之间的关系：（不只一个关系式呀！在下边的空白地方全部写出呀）②2.观察1的各关系式，思考问题：你写出的每一个关系式中，涉及到几个量，已知几个量，就可以求出关系式中另外的量(课本中称为“元素”)？二.合作交流，成果展示：1.交流一中的2题.③2. Rt⊿ABC中，∠C=90°（1）已知a=15，b=5，求∠A；④（2）已知a=15，∠A=60°，求b2，求∠A；（4）已知c=15，∠B =60°，求a.（3）已知a=2，c=23.思考一下：怎样的情况下，选择正弦？选择余弦？选择正切？思考后与小组同学交流.⑤三.应用规律，巩固新知：1.Rt⊿ABC中，∠C=90°，a=4、b=8，求c，∠A，b.2.点明“解直角三角形”的含义.⑥3. Rt ⊿ABC 中，∠C =90°，c =128、∠B =60°，解这个直角三角形.4. Rt ⊿ABC 中，∠C =90°，a =1，∠A =37°，解这个直角三角形.（结果精确到0.1， 其中sin37°≈0.60，cos37°≈0.80, tan37°≈0.75）⑦5. Rt ⊿ABC 中，∠C =900，a +c =10，∠B = 45°，求b .四.自我评价，检测反馈：1.本节课你有哪些收获？你还有哪些质疑？2 . Rt ⊿ABC 中，∠C =900,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，判断下列算式的正误：（1）a =c sin A ( ) (2) b =a tan A ( ) (3) c =a cos B ( )3. Rt ⊿ABC 中，∠C =900，b =12、∠A =30°，解这个直角三角形.五.课外自评：Rt ⊿ABC 中，∠C =900,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，ABC S =23,∠A =30°,求a 、b 、c .六.教（学）后反思“1.4 解直角三角形 （1）”导学提纲设计意图与教学建议①依据等式的性质对等式进行变形，对于九年级的同学来说，已经达到较为熟练的程度.例如，依据关系式：sin A =ca ，（1）“已知a 、c ，求∠A ”， （2）“已知a 、∠A ，求c ”， （3）“已知c 、∠A ，求a ”.选择是同样的一个关系式：sin A =c a .某个已知条件何所求结论简单互换位置，对解题思路并无大的影响.鉴于上述原因，将课本上的P15-18中两课时内容合并为一课时，适当时可增加一下练习巩固.②角与边的关系的关系是本节课的重点，通过学生的思考写出全部三角函数关系式，为下边选择关系式提供方便.教师可提醒学生：P15 (3)可写成如下形式，以便让学生清楚，解直角三角形时，有8个关系式可供选择：sin A =c a 、cos A =c b 、tan A =b a 、sin B =c b 、cos B =c a 、tan B =ab ③、④对①的意图的贯彻，领会：关系式的选择是由已知条件何所求结论共同确定，④的（1）、（2）两小题是这一思想的具体实践.⑤ 发展学生的观察能力、概括归纳能力，发展有条理的表达能力，将三角函数关系式的选择方法系统化.⑥解题方法是关键，“解直角三角形”说法提出的早晚并不是太关键.⑦避免学生停留在几何定理的运用上，而忽略了三角函数式子的应用.。
三角形的三边关系导学提纲
9.1.3三角形的三边关系
导学提纲
大石桥乡一中刘振超
一.简要提示：
通过本课学习，理解并掌握三角形三条边之间的关系，会初步应用它们来解决实际问题.通过实践感受三角形的稳定性，体会数学知识在实际生活中的应用，增强应用意识.
二.认识与探究：
1.知识性问题：①三角形的三边关系是什么？
②什么是三角形的稳定性？
2.探究性问题：
①如何画一个边长为7厘米、5厘米、4厘米的三角形？以7厘米、4厘米、2厘米的线段为边，能否画一个三角形？以9厘米、5厘米、4厘米的线段为边，能否画一个三角形？
②任意画一个三角形，用测量的方法验证“三角形的任何两边的和大于第三边”.
③三角形的任何两边的差与第三边是什么关系？
④举例说明三角形稳定性在生产生活中的应用.
三.反馈与梳理：
1.反馈训练：
①下列长度的各组线段能否组成一个三角形？
(1)15cm、10cm、7cm (2) 4cm、5cm、10cm
(3)3cm、8cm、5cm (4) 4cm、5cm、6cm
②一木工有两根长分别为40厘米和60厘米的木条，要另找一根木条，钉成一个三角形木架，问第三根木条的长度应在什么范围内？
③下列图中具有稳定性有（ ）
A 1个
B 2个
C 3个
D 4个
④如图A 、B 、C 、D 为四个村庄，现在这四个村打算造个学校，为了使学校到四个村庄的距离之和最小，请
问校址选在哪里？
2.知识与方法的梳理：
①通过本课学习，你学到了什么知识？
②通过本课学习，你学到了哪些解决问
题的办法？
A B。
第28讲 三角恒等变形一一常值代换、角的变换、辅助角的妙用(解析版)-高考数学二轮复习
第28讲 三角恒等变形一一常值代换、角的变换、辅助角的妙用一、知识与方法专题一十七讲的是同角三角函数式的化简，求值，证明，本专题把同角拓展为复角，把公式由同角三角比的基本关系式拓展到两角和与差的三角比、倍角、半角三角比，万能置换公式以及积化和差、和差化积.解题方法更为丰富多彩.三角恒等变形的常用方法有：1)切割化弦；2)积化和差，和差化积；3)平方降次；4)异角化同角、异次化同次，异名化同名.除此之外还会有一些特殊的技巧，如常值代换，角的变换，辅助角的妙用.求值问题的解决离不开化简的过程，三角恒等式证明的过程通常也是有目标的化简过程.所以三角恒等变形的关键是化简,化简三角式是为了更清楚地显示式中所含的量之间的关系,以便于应用.化简三角式的要求是“能求出值的应求出值”和“四个尽量”,即(1)使三角比种类尽量少;(2)使项数尽量少;(3)尽量使分母不含三角比;(4)尽量使被开方数不含三角比.三角恒等式的证明包括无条件恒等式的证明和有条件的恒等式的证明.(1)无条件的恒等式的证明常用综合法(执因索果)和分析法(执果索因).证明的手段有化繁为简、左右归一、变更论证等,不论采用何种证法,都要认真分析等式两边三角式的特点、进行辨析、寻找证明的突破口.（2）有条件的恒等式证明,如何构造条件和欲证等式之间的关联,灵活使用条件,变形解证.二、典型例题【例1】(1)求函数()4422sin cos sin cos 2sin2x x x x f x x ++=-的最小正周期、最大值和最小值;(2)求函数()332sin3sin cos3cos sin2cos 2x x x xf x x x+=+的最小值. 【分析】先必须把解析式化简,本例两小题所给出的三角函数解析式即是分式函数且次数较高,若变形时出现22sin cos x x +的形式则可以用常数“1"来代替,降常的效果立刻出现了.如第(1)问,由所给式子4422sin cos sin cos x x x x ++,可联想到()2221sin cos x x=+.第(2)问,通过积化和差出现22sin cos x x +的形式则用“1"代入.高次顿时化为低次,可见在解三角题的过程中,常值代换是一种有效的解题“手段".【解析】()()()()()2222222sin cos sin cos 1sin cos 1?22sin cos 21sin cos 111 1sin cos sin2242x x x xx xf x x xx x x x x +--==--=+=+∴函数f(x)的最小正周期是π,最大值是34,最小值是14.()()()()()()()()()33222222223 2sin3sin cos3cos sin3sin sin cos3cos cos 1 cos2cos4sin cos2cos4cos 21 sin cos cos2cos sin cos421 cos2cos2cos421 cos21cos4cos 22x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x +=+⎡⎤=-++⎣⎦⎡⎤=++-⎣⎦=+=+=32cos 2sin2cos2sin22cos 24x y x x x x x π⎛⎫∴=+=+=+ ⎪⎝⎭ 当sin 214x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时,y的最小值为. 【例2】(1)已知353sin ,cos 41345ππαβ⎛⎫⎛⎫+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且3044ππαβ<<<<,则()cos αβ+=________.(2)已知45cos ,sin 25213βααβ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且,022ππαπβ<<<<,则cos 2αβ+的值为________.(3)已知()11tan ,tan 27αββ-==-,且(),0,αβπ∈,则2αβ-的值为________. (4)已知()tan 2,tan 5ααβ=+=且30,22ππαπαβ<<<+<,则cos β=________. (5)若10,0,cos ,cos 2243423ππππβαβα⎛⎫⎛⎫<<-<<+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭()B.-D.【分析】巧用角的变换是解答本趗的关键,也就是说运用“凑角”,即将“所求角”用“所给角”表示出来.第()1问,3;442πππαβαβ⎛⎫⎛⎫+=+---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第()2问,2β+=a ;22a βαβ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第(3)问,()()22,a αβββααββ-=-+=-+;第(4)问,()βαβ=+-;α第(5)问,()()2,2442a a βππβαβαβα⎛⎫⎛⎫=++-+=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】(1)观察已知角3,44ππαβ+-与所求角αβ+的关系,得出34παβα⎛⎫+=+-⎪⎝⎭()42cos cos 442333 sin sin cos cos sin 444444ππβπππαβαβππππππαβαβαβ⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=+--+⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦再由3044ππαβ<<<<得33,04424ππππαπβ<+<-<-< 由353sin 2,cos 41345ππβ⎛⎫⎛⎫+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得3124cos 2,sin 41345ππβ⎛⎫⎛⎫+=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()33cos 65αβ∴+=-(2).222αββααβ+⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵,0,,,,2224224ππβπαππαπβαπβ⎛⎫⎛⎫<<<<∴-∈-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴312sin ,cos 25213βααβ⎛⎫⎛⎫-==-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故coscos cos cos 22222αββαβααβαβ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=---⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin(α−β2)sin(β−α2)=(−45)×1213−35×513=−6365(3)∵()()()()tan2tan tan 2tan 2,1tan2tan αββαβαββαββ-+⎡⎤-=-+=⎣⎦--又()()()22tan 4tan21tan 3αβαβαβ--==--()4137tan 2141137αβ-∴-==+⨯,而()()1tan tan ,,0,3ααββαβπ⎡⎤=-+=∈⎣⎦04πα∴<<由13tan ,.20,2724ππββππαβαβ=-∴<<∴-<-<∴-=- (4)由221cos,0,tan 21tan 2a πααα=<<=+,得cos αα==.由()()()2213cos ,,tan 51tan 2παβπαβαβαβ+=<+<+=++得()cos αβ+=()αβ+=()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα⎡⎤∴=+-=+++⎣⎦⎛⎛=+= ⎝⎝(5)cos ?cos 2442cos cos sin sin 44244230,? ,sin 244443a a a a βππβαππβππβπππππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫<<<+<∴+= ⎪⎝⎭则0,? ,sin2442242πππβππββ⎛⎫-<<<-<∴-= ⎪⎝⎭又则， 1cos ? C.?233βα⎛⎫∴+=+= ⎪⎝⎭故选 【例3】(1)已知函数()cos (0),f x wx wx w x =+>∈R ,在曲线()y f x =与直线1y =的交点中,若相邻交点距离的最小值为3π,则()f x 的最小正周期为（） A.2π B.23π C.πD.2π(2)已知函数()()22sin cos cos fx x x x x x =--∈R ,求()f x 的最小正周期及单调递增区间;若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时的最大值与最小值. 【分析】第(1)问,研究如()sin cos f x a x b x =+函数的性质,需要利用辅助角公式将函数变形为()()sin (0)f x A x A ϕ=+>的形式.推导过程如下：sin cos a x b x x x ⎫+=+⎪⎭今cos ϕϕϕ==的值也可由tan baϕ=确定）.ϕ称为辅助角,其所在象限由,a b 的符号确定.原式)()sin cos cos sin x x x ϕϕϕ=+=+第(2)问,首先对公式化为一个角的一种三角函数,即()12cos2sin222f x x x ⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭,可化为正弦型函数()2sin2cos cos2sin2sin 2666f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,或化为余弦型函数()f x =2cos2cossin2sin2cos 2332x x x πππ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再进一步求解.【解析】)()cos 2sin (0)6f x wx wx wx w π⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭由2sin 16wx π⎛⎫+= ⎪⎝⎭得1sin 62wx π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 266wx k πππ∴+=+或()5266wx k k πππ+=+∈Z . 令0k =,得121252,,0,66663wx wx x x wπππππ+=+=∴==. 由123x x π-=,得2,233w w ππ=∴= 故()f x 的最小正周期22T ππ==. (2)由22cos2cos sin x x x =-与sin22sin cos x x x =得()cos22sin 26f x x x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭()f x ∴的最小正周期是π.由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππππ+++∈Z ,解得263k x πππ++(),,k k f x π∈∴Z 的单调递增区间是()2,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .若02x π,则72666x πππ+,则1sin 2126x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.当262x ππ+=,即6x π=时,()min []2f x =-;当7266x ππ+=,即2x π=时,()max []1f x =. 若原解析式运用辅助角公式化为余弦型函数()2cos 23f x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭,则当02xπ时,22333x πππ--,则1cos 2123x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭.当2233x ππ-=,即2x π=时,()max []1f x =;当203x π-=,即6x π=时,()min []2f x =-.三、易错警示【例1】已知,αβ为锐角,且()821sin ,cos 1729ααβ=-=,求cos β的值. ()1520:?:,?,?,,cos ,sin .?221729ππαβαβααβ∴-<-<∴=-=±错解为锐角 ()()()15218cos cos cos cos sin sin 172917βααβααβααβ⎡⎤∴=--=-+-=⨯+⨯⎣⎦ 20475155,? cos ? cos .?29493493ββ⎛⎫±== ⎪⎝⎭于是或 评析及正解虽然可以由,αβ为锐角,推出一22ππαβ<-<,但是由于8sin 17α=已经明确给出,尽管题设中α的范围是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭,然而可以再精确些,因为81sin 172α=<,所以α的范固应是06πα<<,从而26ππαβ-<-<.这时由()21cos 29αβ-=<,再由2π-6παβ<-<得-26ππαβ<-<-,因此()20sin 29αβ-=-,于是155cos 493β=. 【例2】已知226sinsin cos 2cos 0,,2παααααπ⎡⎤+-=∈⎢⎥⎣⎦,求sin 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【错解】由已知,得()()3sin 2cos 2sin cos 0αααα+-=,则3sin 2cos 0αα+=或2sin cos αα-=20,tan 3α∴=-或1tan 2α=.1 sin 2sin2cos cos2sin sin2cos233322πππααααα⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭又222tan 1tan 1tan 21tan αααα-=+⋅++①222221233 tan ?(1)?sin 2332221133παα⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭∴=-+=+= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将代人式得61326-+2221111422 tan ?(1)?sin 22321011112παα⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎝⎭=+=+= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎝⎭⎝将代人式得6 sin 2 sin 23133ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即或评析及正解上述解法中忽视了题设条件提供的角α的范围,2παπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,因为,2παπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以1tan 0,tan 2αα<=应舍去,因此,原题只有一解,即6sin 2313πα⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭【正解】本题还可以有如下正解：由226sinsin cos 2cos 0αααα+-=知cos 0,sin 0αα≠≠.,? ,.?22a ππαπαπ⎛⎫∴≠≠∈ ⎪⎝⎭且因而 ()()2 6tan tan 20,? 3tan 22tan 10.?αααα+-=+-=则即2222222tan 0,tan .312tan 1tan sin 2sin2cos cos2sin 33321tan 1tan 221633 13221133ααπππααααααα<∴=--⎛⎫∴+=+=⨯ ⎪++⎝⎭⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=-⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭四、难题攻略【例】已知向量()(cos ,sin ,3,3,a x x b ==-,[]0,.x π∈(1)? //,? ;?a b x 若求的值()() (2)? ,? .?f x a b f x x =⋅记求的最大值和最小值以及对应的的值 【分析】本题的创新之处有两点:(1)把向量共线、数量积的概念和运算与三角函数知识结合起来,这是高考命题的一个交汇点;(2)给出x 的范围，求三角函数的条件最值.运用辅助角公式是关键步聚,若在指定的x 范围内对所得的三角函数性质认识不清,很容易出错,应尽量结合三角函数的图像求解最值,当然,若运用导数求三角函数的最值,也是一种很好的解法. 【解析】 (1)()()cos ,sin ,3,3,//,3cos 3sin .a x x b a b x x ==-∴-=若cos 0x =,则sin 0x =,与22sin cos 1x x +=矛盾,故cos 0x ≠,于是tan x =.又[]50,,6x x ππ∈∴=(2)【解法一】()()([]cos ,sin 3, 3cos 6730,,,,? 1cos 66662f x a b x x x x x x x x ππππππ=⋅=⋅⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫∈∴+∈-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭从而于是当66x ππ+=,即0x =时,()f x 取到最大值3;当6x ππ+=,即56x π=时,()f x 取到最小值-. 【解法二】()()(cos ,sin 3,f x a b x x =⋅=⋅)[]3cos 320,,,,?sin 13333x x x x x x ππππππ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫∈∴-∈-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭从而于是当33x ππ-=-,即0x =时,()f x取到最大值3;当32x ππ-=,即56x π=时,()f x 取到最小值- 【解法三】()3cos f x a b x x =⋅=,则()3sin 6f x x x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭',由()0f x '=得56x π=.∴当506x π时,()()0,f x f x '在区间50,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递减; 当56x ππ<时,()()0,f x f x '>在区间5,6ππ⎛⎤⎥⎝⎦内单调递增.又()()03, 3.f f π==-∴当56x π=时,()f x 取到最小值-当0x =时,()f x 取到最大值3. 五、强化训练1 已知3cos ,,41024x x πππ⎛⎫⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (1)求sin x 的值;(2)求sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. ⑴解法一：3(,),(,).24442x x πππππ∈∴-∈于是sin()410x π-== sin sin ()sin()cos cos()sin 444444x x x x ππππππ⎡⎤=-+=-+-⎢⎥⎣⎦4.5=+=1cos sin ,5x x x x +=+=即 且222sin cos 1.25sin 5sin 120,x x x x +=--=得解得43sin sin .55x x ==-或 34(,),sin .245x x ππ∈∴=(2)33(,),cos .245x x ππ∈===-故 2247sin 22sin cos ,cos 22cos 1.2525x x x x x ==-=-=-sin(2)sin 2cos cos 2sin 333x x x πππ∴+=+= 2.已知()()tan 4,tan 7αβαβ+=-=,求tan2,tan2αβ的值.【解析】[]tan()tan()4711tan 2tan ()().1tan()tan()14727a a a a αβαβαββββ++-+=++-===--+--⨯[]tan()tan()473tan 2tan ()().1tan()tan()14729a a a a a ββββββαβ+---=+--===-++-+⨯ 3(1)已知1sin 2sin 2,,44442ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,求212sin tan 1tan ααα+--的值; (2)是否存在整数k 和锐角α,使得能够将2213sin cos 4cos 2x x x x k ++-写成()sin 2x α+的形式?若存在,求出它们的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由sin(2)sin(2)sin(2)cos(2)4444a a a a ππππ+-=++ 11115sin(4)cos 4cos 4.(,),.222424212a a ππππααα=+===∈∴=得又 于是2221sin cos 2sin tan 1cos 2tan sin cos a a a a a ααα-+--=-+ 2cos 2252cos 2()(cos 2)(cos )5sin2tan 26tan6a a απαπα=-+-=-+=-+(=-= （2）2211cos 23sin cos 4cos3222x x x x x k x -+++-=⨯++ 1cos 211432cos 2sin(2) 3.2226x k x x k x k π+⨯+-=+++=+++ 将其写成(2)sin x α+的形式，需30,3,2().6k k a n n Z ππ+==-=+∈即 故存在整数k 和锐角α满足题目要求3,.6k πα=-=。
高中数学解题方法系列：解三角形题中边与角的3种转化策略
高中数学解题方法系列：解三角形题中边与角的3种转化策略解答一些解三角形的题目，常常需要运用正弦定理、余弦定理及三角形内角和定理等知识，将已知条件中的边的关系转化为角的三角函数关系式或将角的三角函数关系式转化为边的关系式，下面谈谈解三角形题中的边与角转化的常见策略﹒一、将角的正（余）弦关系式转化为边的关系式例1在⊿ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知5sin sin sin 4A C B +=，1=b ，14ac =﹒求,a c 的值﹒分析：运用正弦定理将三个角的正弦关系“5sin sin sin 4A CB +=”转化为三条边的关系“b c a 45=+”，联立“45=+c a ”与“14ac =”，解方程组即可求出a 、c ﹒解：由题设并利用正弦定理，得⎪⎩⎪⎨⎧==+4145ac c a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==411c a ，或⎪⎩⎪⎨⎧==141c a ﹒点拨：运用正弦定理将角关系“5sin sin sin 4A C B +=”转化为边关系“b c a 45=+”是解本题的关键﹒例2在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++﹒求A 的大小﹒分析：本题已知条件“2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++”是一个边角混合等式，对于这种等式，一般有两种转化思路可考虑：一是将边转化为角；二是将角转化为边﹒本题若将边转化为角，即将已知等式转化为“C B C B C B A sin )sin sin 2(sin )sin sin 2(sin 22+++=”，再化简求A 比较困难﹒而将角化成边“c b c b c b a )2()2(22+++=”，化简得：22b a =bc c ++2，再利用余弦定理很容易求出A ﹒解：由已知，根据正弦定理得c b c b c b a )2()2(22+++=，即bc c b a ++=222．由余弦定理得：A bc c b a cos 2222-+=﹒故1cos 1202A A =-= ，﹒点拨：运用正弦定理，将已知的边角混合关系式转化为只含边的关系式是解决本题的切入点、突破口﹒二、将边的关系式转化为角的三角函数关系式解答有关解三角形的问题，有时需要运用正（余）弦定理，将已知条件中边的关系转化为角的三角函数关系式例3设ABC △的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且3cos cos 5a B b A c -=．求tan tan A B 的值﹒分析：根据本题要求的结论tan tan A B ，本题应将已知条件的边角混合关系式“3cos cos 5a B b A c -=”中的边a 、b 、c 转化为A sin 、B sin 、C sin ，再根据)sin(sin B A C +=，进一步化简即可求出tan tan A B ﹒解：根据3cos cos 5a B b A c -=以及正弦定理，可得33sin cos sin cos sin()55A B B A c A B -==+，333sin cos sin cos sin sin cos cos sin 555A B B A c A B A B -==+﹒因此，有B A B A sin cos 58cos sin 52=，tan 4tan A B =﹒点拨：运用正弦定理将已知的边角混合关系式转化为只含角的关系式是解决本题的关键﹒例4设ABC △的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且cos 3a B =，sin 4b A =．求边长a ﹒分析：本题是一道求边长的题目，先将两个已知等式“sin 4b A =”和“cos 3a B =”整合，即将两个等式左、右两边分别相除，再用正弦定理将a b 转化为AB sin sin ，化简求出B tan ，再进一步求出B cos 、a ﹒解：将cos 3a B =、sin 4b A =两式相除，有4sin sin sin tan 3cos sin cos b A B A B a B A B===，又通过cos 3a B =知：cos 0B >，则3cos 5B =，5a =．点拨：解本题有两个关键点：1.将两个已知条件等式整合，相除；2.运用正弦定理将a b 转化A B sin sin ．前面分别谈了将角转化为边与将边转化为角两种思路．事实上，一些题目用两种转化方法都可以求解，有时还要综合运用上面两种转化方法，下面举一例说明．例5在ABC △中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知cos 2cos 2cos A C c a B b --=，求sin sin C A 的值．思路1：将边转化为角．运用正弦定理将2c a b -转化为B A C sin sin sin 2-．解法1：在ABC △，由cos 2cos 2cos A C c a B b --=及正弦定理可得cos 2cos cos A C B -=B A C sin sin sin 2-，即B A B C B C B A cos sin cos sin 2sin cos 2sin cos -=-，则B C B C B A B A sin cos 2cos sin 2cos sin sin cos +=+，)sin(2)sin(B C B A +=+，而π=++C B A ，则A C sin 2sin =，即2sin sin =AC ．思路2：将角转化为边．直接运用余弦定理将A cos 、B cos 、C cos 转化为边，得到边的关系式a c 2=，再运用正弦定理将边的关系转化为角的关系，即可求出sin sin C A 的值．解法2：在ABC △，由cos 2cos 2cos A C c a B b--=可得B a B c C b A b cos cos 2cos 2cos -=-．由余弦定理可得cb c a a b c a a c b a c a c b 22222222222222-+--+=-+--+．整理可得a c 2=，由正弦定理可得2sin sin ==ac A C ．三、三角形三个内角之间的转化根据三角形内角和定理及已知条件，用已知角来表示待求角，也是解三角形问题中常用的转化策略．例6在ABC ∆中，A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知C b B c A a cos cos cos 3+=.（1）求A cos 的值；(2)若332cos cos =+C B ，求C sin 的值．分析：题目所给已知条件关系式是边、角混合式，（1）小题若运用余弦定理化角为边，求解较难．适宜运用正弦定理化边为角，得到关系式：)sin(cos sin cos sin cos sin 3C B C B B C A A +=+=，再根据三角形内角和定理)sin(C B +将转化为A sin ，便可容易求出A cos ．（1）小题已求出A cos ，A 为已知角，C 为待求角，关键是要运用三角形内角和定理将B 转化为)(C A --π，化简332cos )cos(=+--C C A π得C C sin 2cos +=3，再根据平方关系1cos sin 22=+C C ，便可求出C sin ．解：（1）由C b B c A a cos cos cos 3+=及正弦定理得)sin(cos sin cos sin cos sin 3C B C B B C A A +=+=A A A sin cos sin 3=，所以31cos =A ．（2）322cos 1sin 2=-=A A ．由332cos cos =+C B 得332cos )cos(=+--C C A π，展开易得C C sin 2cos +=3．又1cos sin 22=+C C ，所以1sin )sin 23(22=+-C C ．化简整理得02sin 3(2=-C ，02sin 3=-C ，36sin =C ．点拨：注意角之间的转化，将)sin(C B +转化为A sin ，B cos 转化为)cos(C A --π是成功解答本题的关键．练习：1.ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．若)cos cos c A a C -=，则cos A =．2.ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，6π=A ，b c 2)31(=+．求C ．3.△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，asinAsinB+bcos 2a，求b a．答案：1.33；2.4π；3.2．。
解三角形中的边角互化，就是这么简单！
解三⾓形中的边⾓互化，就是这么简单！⼩数⽼师说先给⼤家通告⼀个好消息，⾼中数学终于具有原创功能了，以后⼤家可以随时在下⾯评论了哈！感谢平台上的各位家长，同学以及⽼师的帮助与⽀持，以后⼩数⽼师还是会⼀如既往的原创好内容，帮助⼤家⼀起成长！谢谢！⾼中阶段的解三⾓形⼀共有3个定理，正弦定理，余弦定理与三⾓形的⾯积公式，没有三⾓函数的公式多，但是考试时⼀般会考察这3个定理的变形，所以，同学们必须对这3个定理⾮常熟悉，才能解题。
变形中，最常⽤的就是“边⾓互化”，下⾯⼩数⽼师重点来介绍⼀下这个应⽤。
例1、（2016桂林⼀模）在△ABC中，⾓A、B、C的对边分别是a,b,c，，，若b∈[1,3]，则c的最⼩值为（）A、2B、3C、D、分析：从题⽬条件看，第⼀个式⼦很明显要进⾏转化，可以发现此式是关于“边”的齐次式，所以可以把边化成⾓，也就是a变为sinA，但是，变完之后就会发现，式⼦⿇烦，⽽且我们也没见过，，式⼦越来越复杂，所以放弃；继续观察，等号左边的分式分⼦分母都含有这⼏个⾓的正弦，但是并不是齐次式，分⼦是1次，分母是2次，能统⼀都变了吗？我们可以稍微试⼀下，先把分⼦上的正弦变为对应的边，分母只能变⼀个，会发现式⼦变为或者是，那到底选择哪个呢？我相信同学们已经有判断了，等号左边的分⼦与余弦定理很像，再联系⼀下余弦定理，我们知道，肯定选择前⾯的式⼦，往余弦定理去扣就可以了。
答案：选择B.注：齐次式，齐次”从字⾯上解释是“次数相等”的意思。
例2、（2016重庆校级模拟）在△ABC中，内A、B、C的对边长别是a,b,c，已知，且sin(A-C)=2cosAsinC，则b=( )A、6B、4C、2D、1分析：本题有2个式⼦，两个式⼦都不是齐次式，好像不能变形，所以，很多同学就没有了思路，但是，第2个式⼦是可以进⾏化简的，左边的式⼦进⾏展开即可，化简为：SinAcosC-cosAsinC=2cosAsinC，所以sinAcosC =3 cosAsinC，此时就可以进⾏边⾓互化了，把正弦值化为边，余弦值也化为边，可以得到边之间的关系，，化简可得：，与第⼀个式⼦联⽴，可以得出b值。
2013《直角三角形的边角关系》复习提纲
《直角三角形的边角关系》复习提纲一,.锐角三角函数的概念如图，在△ABC 中，∠C=90° ① 锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即casin =∠=斜边的对边A A② 锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即cbcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b atan =∠∠=的邻边的对边A A A④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即abcot =∠∠=的对边的邻边A A A例：（2012连云港，3，3分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的 矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点E 处，还原后，再沿过 点E 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点F 处，这样就可以求出67.5°的角的正切 值是 （ ）【解析】注意折叠后两点对称，也就是说△ABE 和△AEF 都是等腰三角形。
得到67.5°的角为∠FAB 。
【答案】设AB=x,则BE=x,在直角三角形ABE 中，用勾股定理求出于是BF=）x.在直角三角形ABF 中，tan ∠FAB=BF AB =67.5°.选B 。
【点评】根据折叠得到A 、E 关于折痕对称，从而根据轴对称的性质得到等腰三角形。
求出两线段的长。
二,特殊角的三角函数值（重点）根据正弦、余弦和正切的定义，可以得到如下几个常用的特殊角的正弦、余弦和正切值。
例1:（2012，湖北孝感，14，3分）计算：cos245°+tan30°·sin60°=_____________．【解析】分别把cos45°的值，tan30°的值，sin60°的值代入进行计算即可．答案=1。
【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．例2:（2011甘肃兰州，21，7分）已知α是锐角，且sin(α+15°，114cos( 3.14)tan3απα-⎛⎫--++ ⎪⎝⎭的值。
高一《三角形中边角关系的转化》教案
在数学教学中渗透转化与化归的数学思想教育广东汕头华侨中学 林一平 邮编515041转化与化归的数学思想是最重要的数学思想方法，几乎所有的数学问题都必须通过转化为更简单的或者我们所熟悉的数学问题加以解决．所以我们在日常教学中，必须坚持不懈、潜移默化地向学生渗透转化与化归的数学思想教育，使学生能正确地分析数学问题和解决数学问题．下面通过一个数学课例，谈谈在教学中如何渗透这种数学思想的教育．在高中《解三角形》一章书中，正、余弦定理是解三角形问题的基本定理，也是三角形中边角关系定理．我在教完这两个定理之后，引导学生进行归纳：．外接圆直径为 正弦定理： )2(2sin sin sin ABC R R Cc B b A a ∆=== ． 变式：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== ,cos 2222A bc c b a -+=余弦定理：,cos 2222B ca a c b -+=．C ab b a c cos 2222-+=．变式： abc b a C ca b a c B bc a c b A 2cos ,2cos ,2cos 222222222-+=-+=-+= 从上述可以看到，正、余弦定理是含有三角形的边角关系的定理，但从变式又可以得到，等式的两边各仅含有三角形的边或角，从而应用变式在解三角形问题中进行边角转化，可以将隐蔽的条件明显化，复杂的问题简单化，从而达到解决问题的目的．接着，我出示例题，对题目进行分析、引导，并与学生一起完成例题的解答．例1 在ABC ∆中，若,cos cos A b B a =试判断这个三角形的形状．分析：由于给出的已知条件含有三角形的边角关系，所以可以考虑应用正、余弦定理转化为只含有边或只含有角的关系，使隐蔽的条件明显化．解法一：∵,cos cos A b B a =由正弦定理，得,cos sin 2cos sin 2A B R B A R =∴.0sin cos cos sin =-B A B A ∴0)sin(=-B A ．∵A 、B 为三角形的内角， ∴π-<B A -<π．∴．0=-B A ∴．B A =∴ABC ∆是等腰三角形．解法二：∵,cos cos A b B a =由余弦定理，得bca cb b ca b ac a 22222222-+⋅=-+⋅． ∴,222222a c b b a c -+=-+∴2222b a =．`∴.b a =∴ABC ∆是等腰三角形．变式1： 在ABC ∆中，若Bb A a cos cos =，试判断这个三角形的形状． 解：∵Bb A a cos cos =， ∴A b B a cos cos =显然是例1的变形． 变式2: 在ABC ∆中，若Cc B b A a cos cos cos ==,试判断这个三角形的形状． 解：由变式1易知,C B A ==∴ABC ∆是等边三角形．例2在ABC ∆中，,222bc c b a ++=,32c b =193=a ，求ABC ∆的面积． 分析：本题要求三角形的面积，而给出的条件是三边关系，可以求出三条边的长，再求一个内角，应用三角形面积公式得解．但联想到余弦定理的形式，可以考虑直接从已知条件转化为求出一个角，使解题简化．解：∵,222bc c b a ++=∴bc a c b -=-+222．由余弦定理，得2122cos 222-=-=-+=bc bc bc a c b A ． ∵,0π<<A ∴.32π=A 又∵,193=a ⎩⎨⎧==++,32,17122c b bc c b 由 ∴⎩⎨⎧==.6,9c b ∴232732sin 6921sin 21=⨯⨯⨯==∆πA bc S ABC ． ∴ABC ∆的面积为2327．问:如果角A 不是特殊角,本题应该如何解?答:可以应用同角三角函数关系求出A sin 的值．问:若将条件()()bc c b a c b a bc c b a -=--++++=改为222应该如何求解? 答：由()()bc c b a c b a -=--++，可得()[]()[]bc c b a c b a -=+-++ ， ∴．bc c b a -=+-22)(∴．bc c bc b a -=---2222∴．bc c b a ++=222∴改变后的条件与原条件等价．例3 在ABC ∆中，bb c B A -=2t an t an ,求A 的值． 分析:本题要求A 的值,而给出的条件是三角形的边角关系,可以考虑转化为只含有角的关系．解: ∵,2tan tan b b c B A -=∴BB C B B A A sin sin sin 2sin cos cos sin -=⋅． ∴.sin cos cos sin 2cos sin B A A C B A -= ∴.cos sin 2sin cos cos sin A C B A B A =+ ∴A C B A cos sin 2)sin(=+．∵,sin )sin()sin(C C B A =-=+π ∴A C C cos sin 2sin =．,0π<<C 又∴0sin ≠C ． ∴22cos =A ． 而,0π<<A ∴4π=A 为所求．评注:本题若将已知条件转化为只含有边的关系,则转化后的式子太繁,又与所求不合，所以做数学题要审时度势．例4 在ABC ∆中, 232cos 2cos 22b A c C a =+，求证:a 、b 、c 成等差数列．分析:本题即证c a b +=2,而已知条件给出三角形的边角关系,可以考虑转化为只含有边的关系．证明: ∵232cos 2cos 22b A c C a =+， ∴23)cos 1(21)cos 1(21b A c C a =+++． 由余弦定理，得,232121)21(21222222b bc a b c c ab c b a a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++-++ ∴b ba b c c b c b a a 322222222=-+++-++． ∴b bb c a 3222=++． ∴c a b +=2． ∴a 、b 、c 成等差数列．评注：注意到c a b +=2应用正弦定理可以等价转化为,sin sin sin 2C A B +=所以本题也可以将已知条件转化为只含角的关系得以证明．留给学生作练习．通过本节的学习，向学生指出三角形中边角关系的相互转化，能使隐蔽的问题明显化，复杂的问题简单化．实质上，一般的数学问题，几乎都要经过转化才能得以解决，从这个意义上讲，转化与化归的数学思想方法是最重要的数学思想方法，所以我们要认真领会、掌握、应用这种数学思想方法，并通过观察、联想、等价转化这三个环节去解决数学问题．数学思想方法是数学思维的基本方法．数学教学内容始终反映着数学基础知识和数学思想方法这两个方面，没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包含数学思想方法的数学知识．而在数学课上，由于能力、心理发展的限制，学生往往只注意了数学知识的学习，而忽视了联结这些知识的线索，以及由此产生的解决问题的方法与策略．所以，我们在教学中应以具体数学知识为载体，重视数学思想方法的渗透，通过精心设计的学习情境与教学过程，引导学生领会蕴含在其中的数学思想方法，揭示它们的本质与内在联系．但由于数学思想只表现为一种意识，没有一种外在的固定形式，因此，我们必须坚持长期渗透，才能使学生在潜移默化中达到理解和掌握．。
高三第一轮复习边角互化问题及三角形的形状判定
边角互化问题及三角形的形状判定【提纲挈领】主干知识归纳ABC ∆的6个基本元素：C B A c b a ,,,,,.其中三内角C B A ,,所对边边长分别为c b a ,,.1．正弦定理及其变式R CcB b A a 2sin sin sin ===（其中R 是ABC ∆的外接圆的半径）变式1：C R c B R b A R asin 2,sin 2,sin 2===变式2：C B A c b a sin :sin :sin ::=变式3：Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin===2．余弦定理及其变式A bc c b a cos 2222-+=，B ca a c b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=. 变式：abc a b C ac b a c B bc a c b A 2cos ,2cos ,2cos 222222222-+=-+=-+=.3.三角形中的一些重要结论 （1）内角和定理及其相关结论：π=++C B A ，)cos(cos ),sin(sin C B A C B A +-=+=，.2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A +=+= （2）大边对大角，大角对大边，即B A B A b a sin sin >⇔>⇔>.（3）A 为锐角00cos 1222>-+⇔>≠⇔a c b A ；A 为钝角00cos 1222<-+⇔<≠-⇔a cb A .方法规律总结1.解三角形问题边角互化：（1）若已知等式（或不等式）中左右均有齐次边，一般利用正弦定理将边化为角； （2）若已知等式（或不等式）中左右均有角的正弦，也可利用正弦定理将角化为边； （3）遇到222,,c b a等，一般用余弦定理求角（范围）.2判定三角形形状主要有下面两种途径：（1）“角化边”：把已知条件（一般是边的一次式、角的正弦或余弦）转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得到边的关系，从而判断三角形形状；.（2）“边化角”：把已知条件（一般是边的二次式或两边之积、角的余弦）转化为内角的三角函数关系，通过三角恒等变换得到内角的关系，从而判断三角形形状.【指点迷津】【类型一】角化边【例1】在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．则A 的取值范围是 ( )A ．（0，6π] B ．[6π，π）C ．（0，3π] D ．[3π，π） 【解析】:由题意正弦定理22222222211cos 023b c a a b c bc b c a bc A A bc π+-≤+-⇒+-≥⇒≥⇒≥⇒<≤【答案】C【例2】【2015北京，理12】在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．【答案】1【例3】在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.求证:a,b,c 成等差数列.[解析]：由已知得sinAsinB+sinBsinC+1-2sin 2B=1.故sinAsinB+sinBsinC=2sin 2B ，因为sinB 不为0,所以sinA+sinC=2sinB ，再由正弦定理得a+c=2b,所以a,b,c 成等差数列.【类型二】边化角【例1】在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2asinB=3b .则角A= . 【解析】：利用正弦定理将条件化为B B A sin 3sin sin 2=,且),2,0(π∈B所以,0sin ≠B 所以23sin =A ,且),2,0(π∈A 所以3π=A .答案：3π【例2】[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .【解析】：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ，故3tan A cos C ＝2sin C . 因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ，所以tan C ＝12.所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°.【例3】[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．【解析】：(1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )． (2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 由余弦定理得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12， 当且仅当a ＝c 时等号成立，∴cos B 的最小值为12.【类型三】三角形的形状判定【例1】（2012年上海理）在ABC ∆中,若C B A 222sin sin sin <+,则ABC ∆的形状是 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定[解析]: 由条件结合正弦定理,“角化边”得222c b a <+,再由余弦定理,得0cos 2222<=-+abc b a C ,所以C 是钝角,选C. 答案：C【例2】（2013年陕西理）设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=,则△ABC 的形状为（ ） (A) 锐角三角形(B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定【解析】：由条件结合正弦定理,“边化角”得A B C C B 2sin cos sin cos sin =+，再由三角恒等变换得A A C B 2sin sin )sin(==+，所以1sin =A ，所以 A 是直角,选B.【答案】B【例3】在ABC ∆中，若)sin()cos(21)sin(C A C B B A +++=-，则ABC ∆的形状一定是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．不含060等腰三角形D ．钝角三角形【解析】：由条件可得0901sin )sin(sin cos 21)sin(=⇔==+⇔-=-C C B A B A B A,所以选B. 答案：B【同步训练】【一级目标】基础巩固组 一、选择题1. 在ABC ∆中，若5:4:3sin :sin :sin =CB A ，则ABC ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【解析】：由5:4:3sin :sin :sin =C B A 及正弦定理得a:b:c=3:4:5，由余弦定理得0432543cos 222=⨯⨯-+=c ，所以角C 为直角.又易知两直角边不相等，选B. 答案：B.2.在ABC ∆中，已知C B A cos sin 2sin =，则ABC ∆一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解析】：从角考虑：⇔=+⇔=C B C B C B A cos sin 2)sin(cos sin 2sin0)sin(0sin cos cos sin =-⇔=-C B C B C B ,所以C B =,选A.角化边：c b c b abc b a b a C B A =⇔=-⇔-+⨯=⇔=022cos sin 2sin 22222. 答案：A3．在ABC ∆中，若2cos2cos2cosC c B b A a ==，则ABC ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等边三角形【解析】：由正弦定理“边化角”和二倍角公式得：⇔==2cossin 2cos sin 2cos sin C CB B A A 2sin 2sin 2sinCB A ==，又)2,0(2,2,2π∈C B A ，所以2A =2B =2C,所以A=B=C. 答案：D 4. （2013年课标Ⅰ文）已知锐角ABC∆的内角,,A B C的对边分别为,,a b c ,223cos cos 20A A +=,7a =,6c =,则b =（）A ．10B ．9C ．8D ．5[解析]：由223cos cos 20A A +=得251cos 252=A ，又A 为锐角，所以51cos =A ，由余弦定理有bb 127651222-+=0651252=--⇔b b ，解得5=b . 【答案】D5．在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠= （ ） A.6π B.3πC.23π D.56π【解析】：将条件用正弦定理“边化角”得B A B C C B A sin 21cos sin sin cos sin sin =+，进而有21sin =B，又a b >，所以=B 6π【答案】A二、填空题6．[2014·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．[解析]： ∵2sin B ＝3sin C ，∴2b ＝3c .又∵b －c ＝a 4，∴a ＝2c ，b ＝32c ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝94c 2＋c 2－4c 22×32c ×c＝－14. 答案：－147．（2013年安徽理）设ABC ∆的内角,,A B C所对边的长分别为,,a b c .若2b c a +=,则3sin 5sin ,A B =则角C =_____.【解析】:由题意正弦定理有b a 53=，所以a b 53=，又2b c a +=，所以a c 57=，由余弦定理有 21)56()2515(2cos 22222-=÷-=-+=a a ab c a b C ，又),0(π∈C ，所以32π=C .【答案】32π=C8．[2014·广东卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab＝________．【解析】：利用正弦定理，将b cos C ＋c cos B ＝2b 化简得sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ，即sin(B ＋C )＝2sin B ．∵sin(B ＋C )＝sin A ，∴sin A ＝2sin B ，利用正弦定理化简得a ＝2b ，故ab＝2.答案：2三、解答题 9．在ABC∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a、b、c，已知222a c b-=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b.【解析】法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）. 法二:由余弦定理得: 2222cos ac b bc A -=-.又222a c b -=,0b ≠.所以2cos 2b c A =+…………………………………①又sin cos 3cos sin A CA C =，sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C =由正弦定理得sin sin bBC c=，故4cos b c A =………………………② 由①，②解得4b =. 答案：4b =10. （2009全国卷Ⅱ文）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，23cos )cos(=+-B C A ,ac b =2，求B. 【解析】：由cos （A -C ）+cosB=32及B=π-（A+C ）得cos （A -C ）-cos （A+C ）=32，cosAcosC+sinAsinC -（cosAcosC -sinAsinC ）=32,sinAsinC=34.又由2b =ac 及正弦定理得2sin sin sin ,B A C =故23sin4B =，所以3sin B =或3sin B=（舍去），于是 B=3π 或 B=23π，又由2b ac =知a b ≤或c b ≤，所以B =3π. 答案：B=3π【二级目标】能力提升题组一、选择题1．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=ab( ) （A ）23 （B ）22（C 3（D 2[解析]：将条件用正弦定理“边化角”得A A B B A sin 2cos sin sin sin 22=+，进而有A B sin 2sin =，所以2sin sin =A B ，再由正弦定理“角化边”得2sin sin ==ABa b .答案：D2．已知C a b sin =，B a c cos =，则ABC ∆一定是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解析】:“边化角”：B A B A B A C B a c cos sin )sin(cos sin sin cos =+⇔=⇔=0sin cos =B A ，又因为0sin ≠B ，所以0cos =A ，所以2π=A ；C A B C a b sin sin sin sin =⇔=，又2π=A ，所以B=C ，综上ABC ∆是等腰直角三角形.“角化边”：2222222cos a c b ac b c a a c B a c =+⇔-+⨯=⇔=，所以2π=A ，后略.【答案】D 二、填空题3．(2016年上海9)已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________[解析]：不妨设7,5,3===c b a ，则1433sin 1413752375cos 222=⇒=⨯⨯-+=A A ，由正弦定理有3373314sin 2=⇒==R A a R.【答案】337． 三、解答题4. (2009湖南卷理)在ABC ∆，已知2233AB ACAB AC BC ⋅=⋅=，求角A ，B ，C 的大小.【解析】：设,,BC a AC b AB c ===,由23AB AC AB AC ⋅=⋅得2cos 3bc A bc =，所以3cos 2A =， 又(0,),A π∈因此6A π=，233AB AC BC ⋅=得23bc a =，于是23sin sin 3C B A ⋅=，所以53sin sin()6C C π⋅-=，133sin (cos )2C C C ⋅=，因此22sin cos 233,sin 2320C C C C C ⋅+=-=，既sin(2)03C π-=，由A=6π知506C π<<，所以3π-，4233C ππ-<，从而20,3C π-=或2,3C ππ-=，既,6C π=或2,3C π=故2,,,636A B C πππ===或2,,663A B C πππ===. 【答案】2,,,636A B C πππ===或2,,663A B C πππ===. 【高考链接】1. （2010上海文数18）若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC（A ）一定是锐角三角形 （B ）一定是直角三角形（C ）一定是钝角三角形 (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 [解析]：由sin :sin :sin 5:11:13A B C=及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得0115213115cos 222<⨯⨯-+=c ，所以角C 为钝角 答案：C2. （2016年四川理17）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B Ca b c+=. （I ）证明：sin sin sin A B C =； （II ）若22265bc a bc +-=，求tan B .【解析】：（Ⅰ）根据正弦定理，可设===k (k >0)．则a =k sin A ，b =k sin B ，c =k sin C ．代入+=中，有+=，变形可得sin A sin B =sin A cos B +cos A sin B =sin(A +B )．在△ABC 中，由A +B +C =π，有sin(A +B )=sin(π–C )=sin C ， 所以sin A sin B =sin C ．（Ⅱ）由已知，b 2+c 2–a 2=bc ，根据余弦定理，有cos A ==．所以sin A ==．由（Ⅰ），sin A sin B =sin A cos B +cos A sin B ，所以sin B =cos B +sin B ，故tan B ==4．3. （2016全国I ，17）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ；（II ）若7=c ，ABC ∆33，求ABC ∆的周长． 【解析】：（1）“边化角”，由条件可得C A B B A C sin )cos sin cos (sin cos 2=+21cos sin )sin(cos 2=⇔=+⇔C C B A C ，所以3π=C .“角化边”可得⇔=-+⨯+-+⨯⨯-+⨯c bc a c b b ca b a c a ba c a b )22(22222222222 ba c a b c c ba c a b =-+⇔=⨯-+222222，所以212cos 222=-+=ab c a b C ，所以3π=C .(II)由已知，233sin 21=C ab ，又3π=C ，所以6=ab ，由已知及余弦定理得7cos 222=-+C ab b a ，故1322=+b a ，从而525)(2=+⇒=+b a b a ，所以ABC ∆的周长为75+.。
《直角三角形的边角关系》导学案(定稿).doc
1.1.1从梯子的倾斜程度谈起（1） 学习目标：1. 探索直角三角形中边角关系.理解止切的意义和与现实生活的联系.2. 能够WJtanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正 切进行简单的计算. 学习重点：1. 从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2. 理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学•牛活的联系. 学习难点：理朋正切的意义，并用它來表示两边的比. 学习过程：情景导入：1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 一、自主学习，整体感知⑴如图：梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的?二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题） （DRtAABjCi 和 RtAAB 2C 2^什么关系？⑵邑5和邑£1有什么系？AC 〕 AC 2⑷山此你得出什么结论?正切的定义：在 RtAABC 中，ZC=90° 的正切，记做tanA,即tanA=⑶如果改变B 2在梯子上的位置（如B3C3）呢? 锐角A 的对边与邻边的比叫做ZA⑵以下三组中, B ZA 的对•边定义中应该注意的几个问题:（1）.tanA是在直角三角形中定义的,ZA是一个锐角（注意数形结合，构造直角三角形）.（2）.tanA是一个完整的符号，表示ZA的止切，习惯省去“Z”号；tanA不表示“tan”乘以“A".（3）.tanA是一个比值（直角边之比）.注意比的顺序，且tanA > 0,无单位.（4）.tanA的大小只与ZA的大小有关，而与直角三角形的边长无关.（5）角相等，则止切值相等；两锐角的止切值相等贝J这两个锐角相等.例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个白动扶梯比较陡?例2如图，拦水坝的坡度i= 1 :, 翻高BC=20米，求坝血AB的长。
三.课内检测，巩固提高1、如图，AABC是等腰直和三介形，伤〈能根据图中所给数据求出tanC吗?2、如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B,已知点B到山脚的垂直距离为55m, 求山的坡度•（结杲精确到0.001）3> 在RtAABC 屮，ZC=90°,AB=3,BC=lJliJ tanA= __________tanA= _____ .在AABC 中,AB二AC=3,BC=4,则tanC= ___ .乙☆巩固练习a、如图，在AACB 中，ZC = 90° ,1)tanA = ； tanB = ；2)若AC = 4, BC = 3, Ml] tanA =；tanB =3)若AC = 8, AB = 10,贝ij tanA =；tanB =tanA的值越大，梯子越陡二、合作交流，文本探究B D•在△ABC4、若某人沿坡度i = 3： 4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高米四.拓展延伸，迁吻升华3如图，在AACB 屮，ZC = 90° , AC = 6, tan B =-,求BC、AB 的长。
直角三角形的边角关系复习导学案
课题：直角三角形的边角关系复习一、复习目标：1、理解锐角三角函数的概念，能熟练地应用sinA，cosA，tanA表示直角三角形(其中有一个锐角是A)中的两边的比,并会进行一些简单的运算。
2、理解、熟记特殊角的三角函数值,培养学生的数形结合的能力。
3、利用三角函数的知识解决相关的实际问题。
二、复习重点及难点1、重点：①理解锐角三角函数的概念，并利用锐角三角形的概念解决有关的计算问题。
②理解、熟记特殊角的三角函数值③利用三角函数的知识解决相关的实际问题2、难点：①灵活运用三角函数知识解决实际问题②体会数、形之间的联系，培养学生利用数形结合的思想分析问题和解决问题。
三、课时安排：一课时四、学习方式：总结归纳合作探究五、复习过程：（一）创设情境，导入新课同学们好，我们通过一周的学习已经掌握了直角三角形的边角关系．．．．．．．．．．，．今天我们一起来总结一下这一章知识，好不好？（二）、提纲导学，自主学习知识点一、锐角三角函数的概念及有关计算学生活动:阅读教材P1---9，完成上述填空在Rt△ABC中，∠C=90°,△ABC的对边分别为a、b、c，(1) ∠A的正切：叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝（2）∠A的正弦：叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝(3) ∠A的余弦：叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA＝B Cabc知识点二、特殊角的三角函数值2、在自己的一副三角板上用笔标记，再次记忆。
(三)相互交流 合作探究直角三角形的边角关系的应用例题学习在玉树地震灾区，抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30︒，B 村的俯角为60︒（．如图7）．求A 、B 两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数据1.414 1.732==）同学们交流合作，提出解决问题的方案。
思路一： 思路二：(四)、登台展示，点评点拨 (五)当堂训练，巩固提升1、在Rt △ABC 中，∠C=90°,△ABC 的对边分别为a 、b 、c ，若a=12，c=13，求∠A 的正切、正弦、余弦。
解三角形题中的边及的转化策略
sin A sin C 5 sin B ， b 1， ac 1 ﹒求 a, c 的值﹒
4
4
分析：运用正弦定理将三个角的正弦关系“ sin A sin C 5 sin B 〞转
4
化为三条边的关系“ a c 5 b 〞，联立“ a c 5 〞与“ ac 1 〞，解方程
4
4
4
组即可求出 a 、 c ﹒
解：由题设并利用正弦定理，得
aacc154
4
，解得
a c
1 1
4
，或
a c
1
4 1
﹒
点拨：运用正弦定理将角关系“ sin A sin C 5 sin B 〞转化为边关系
4
“ a c 5 b 〞是解此题的关键﹒
4
例 2 在△ABC 中， a 、 b 、 c 分别为角 A 、 B 、 C 的对边，且
2asin A (2b c)sin B (2c b)sin C ﹒求 A 的大小﹒
分析：此题条件“ 2asin A (2b c)sin B (2c b)sin C 〞是一个边角混合
等式，对于这种等式，一般有两种转化思路可考虑：一是将边转化为
角；二是将角转化为边﹒此题假设将边转化为角，即将等式转化为
分析：此题是一道求边长的题目，先将两个等式“ bsin A 4 〞和
“ a cos B 3〞整合，即将两个等式左、右两边分别相除，再用正弦定
理将 b 转化为 sin B ，化简求出 tan B ，再进一步求出 cos B 、 a ﹒
a
sin A
解：将 a cos B 3、 b sin A 4 两式相除，有
z.
-
“ 2sin 2 A (2sin B sin C) sin B (2sin C sin B) sin C 〞，再化简求 A 比拟困
三角形边角互换条件
三角形边角互换条件
1. 嘿，你知道吗，三角形的边角互换可有条件呢！就好像你想要跟朋友换个玩具，那也得人家愿意呀！比如在直角三角形中，直角所对的边最长，这可是铁打的规则呀！
2. 哇塞，三角形边角互换条件可重要啦！这就好比一场游戏的规则，不能随便乱来呀！像等腰三角形，两腰相等，那对应的角不也就相等啦！
3. 哎呀呀，三角形的边角互换条件得好好搞清楚呀！这就跟你找对钥匙才能打开锁一样关键呢！比如说等边三角形，三边相等，那三个角不也都相等嘛！
4. 嘿哟，三角形边角互换条件可不是闹着玩的！这就像你要去一个地方，得知道走哪条路一样呀！像直角三角形中，知道一个锐角，就能算出另一个锐角的度数啦！
5. 哇哦，三角形的边角互换条件真的很神奇呢！就好像变魔术一样，有它特定的门道哦！比如知道三角形的两个角和一条边，就能求出其他的边和角啦！
6. 哎呀，三角形边角互换条件你可不能小瞧呀！这就跟你掌握了一项技能一样重要呢！像知道了等腰三角形的顶角，就能算出底角的度数呀！
7. 嘿，三角形边角互换条件真的很有意思呢！这就像你和小伙伴玩猜谜游戏，得找到线索才行！比如三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，这多有趣呀！
8. 哇，三角形边角互换条件可是很有讲究的呢！这就像你搭配衣服，得搭对了才好看呀！像三角形中大边对大角，这不是显而易见嘛！
9. 哎呀呀，三角形边角互换条件真的要牢记呀！这就像你每天要记得刷牙一样重要呢！比如知道三角形的三条边长度，就能判断它是什么类型的三角形啦！
10. 嘿哟，三角形边角互换条件真的不简单呢！这就像解一道难题，得慢慢琢磨呀！像三角形中角平分线会把角分成相等的两部分，这多神奇呀！
我的观点结论：三角形边角互换条件是非常重要且有趣的知识，只有掌握了这些条件，我们才能更好地理解和运用三角形呀！。
高中数学边角互换定理教案
高中数学边角互换定理教案
一、教学目标：
1. 了解边角互换定理的概念和含义；
2. 熟练运用边角互换定理解题；
3. 培养学生的逻辑推理和解题能力。
二、教学重点：
1. 边角互换定理的理解；
2. 边角互换定理的应用。
三、教学难点：
1. 如何正确运用边角互换定理解题；
2. 如何理解边角互换定理在几何图形中的运用。
四、教学过程：
1. 概念导入（10分钟）
通过举例说明两个三角形的对边与对角相等的现象，并引出边角互换定理的概念。
2. 理论讲解（15分钟）
介绍边角互换定理的定义和原理，让学生明白边角互换定理的表达形式及其作用。
3. 练习演练（20分钟）
在黑板上出示一道边角互换定理的题目，让学生自行解题，并与同桌交流讨论，加深对边角互换定理的理解。
4. 拓展延伸（10分钟）
引导学生思考边角互换定理在其他图形中的应用，让学生自行发现并解答相关问题。
5. 归纳总结（5分钟）
总结本节课学习的内容，强化学生对边角互换定理的理解。
六、作业布置：
1. 完成课堂练习题。
2. 自主学习边角互换定理相关知识，做好笔记。
七、教学反思：
在教学过程中，注重引导学生发现边角互换定理在不同几何图形中的应用，激发学生的思维能力和解决问题的能力。
同时，通过练习演练和拓展延伸，巩固和拓展学生对边角互换定理的理解，提高学生的解题能力。
在教学中要善于引导学生提出问题，并及时纠正学生的错误，促进学生的理解和掌握。
三角恒等变换教学提纲
大一轮复习 数学（理）
2．在锐角△ABC 中，如何确定 sin Asin B 和 cos Acos B 的大小 关系？
提示：因为角 C 为锐角，所以 cos C＝－cos(A＋B) ＝sin Asin B－cos Acos B＞0， 所以 sin Asin B＞cos Acos B.
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大一轮复习 数学（理）
第二节 三角恒等变换
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大一轮复习 数学（理）
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教材细梳理
1．三角恒等变换中常用的公式 (1)两角和与差的三角函数公式 sin(α＋β)＝ sin αcosβ＋cos αsin β ； sin(α－β)＝sin αcos β － cos αsin β. cos(α＋β)＝ cos αcosβ－sin αsin β ； cos(α－β)＝cos αcos β ＋ sin αsin β.
2．常用的公式变形
(1)辅助角公式 asin α＋bcos α＝ a2＋b2sin(α＋φ)，
其中 cos φ＝ a2a＋b2，sin φ＝ a2b＋b2.
(2)两角和与差的正切公式的变形 tan α＋tan β＝tan(α＋β) (1－tan αtan β) tan α－tan β＝ tan(α－β)(1＋tan αtan β)
3．(必修 4·习题 3.1A 组 T5 改编)已知 cosπ6＋α＝－45，π3＜α
＜56π，则 cos α＝
.
解析：因为π3＜α＜56π，
所以π2＜α＋π6＜π，又 cosπ6＋α＝－45，
4.备课资料(1.1.3 解三角形的进一步讨论)
备课资料一、正、余弦定理的边角互换功能对于正、余弦定理,同学们已经开始熟悉,在解三角形的问题中常会用到它,其实,在涉及到三角形的其他问题中,也常会用到它们.两个定理的特殊功能是边角互换,即利用它们可以把边的关系转化为角的关系,也可以把角的关系转化为边的关系,从而使许多问题得以解决.【例1】已知A 、B 为△ABC 的边,A 、B 分别是A 、B 的对角,且23sin sin =B A 求b b a +的值解：∵Bb A a sin sin =,∴ba B A =sin sin又32sin sin =B A (这是角的关系)，∴23=b a (这是边的关系).于是,由合比定理得 25223=+=+b b a 【例2】已知△ABC 中,三边A 、B 、C 所对的角分别是A 、B 、C ,且a 、b 、c 成等差数列求证:sin A +sin C =2sin B证明:∵a 、b 、c 成等差数列，∴a +c =2B (这是边的关系).①又Cc B b A a sin sin sin == ∴BC b a sin sin =,②BC b c sin sin =.③ 将②③代入①,得b B C b B A b 2sin sin sin sin =+=2B整理得sin A +sin C =2sin B (这是角的关系 二、正、余弦定理的巧用某些三角习题的化简和求解,若能巧用正、余弦定理,则可避免许多繁杂的运算,从而使问题较轻松地获得解决,现举例说明如下【例3】求sin 220°+co s 280°+3sin20°co s80°的值解：原式=sin 220°+sin 210°-2sin20°sin10°co∵∴20°、10°、150°可看作一个三角形的三个内角设这三个内角所对的边依次是A 、B 、C ,由余弦定理得a 2+b 2-2abco s150°=C 2而由正弦定理知A =2Rsin20°,B =2Rsin10°,C =2Rsin150°,代入(*)式得sin 220°+sin 210°-2sin20°sin10°co s150°=sin 2150°=41 ∴原式=41三、构造正三角通常，我们使用标尺作正三角形．以标尺作正三角形，只需相异两点A、B，再配合工具即可．分别以A、B点为圆心，AB长为半径作圆，两圆相交于C点，△ABC就是正三角形了．因为，圆A中，AB=AC半径)；而且圆B中，BA=BC(半径)，所以AB=BA=AC．(参见上图)如果没了圆规，我们要如何作出正三角形呢？再者连标尺也没了，那么万能的双手又要如何作出正三角形呢？这时我们可以考虑折纸来协助完成．取适当大小的矩形纸张，先对折，取得一边的中垂线；再以A点为基点，将此边向内翻折，并使得顶点落在中垂线上B点；最后再将B点和A、C点连成三角形(参见右图)，就是正三角形了．因为，AC=AB，又B点在中垂线上，所以，BA=BC，因此，AB=BC=CA．。
鲁教版初中数学九年级上册《解直角三角形(3)》导学提纲
“2.4 解直角三角形 （3）”导学提纲学习目标：1.能够应用解直角三角形的知识解决有关的问题；2.经历把非直角三角形问题转化为解直角三角形问题的过程，发展分析和解决问题的能力. 学习过程： 一. 自主探究：1.如图1， Rt △ADC 中，∠ADC =90°，∠A =60°, AC =12,求AD 和CD 的长.①2.如图2， Rt △ADB 中，∠BDC =90°，∠B =45°, CD =36,求BD 的长. ①3.如图3，△ABC 中，∠A =60°，∠B =45°，AC =12,CD ⊥AB 于D ，你能迅速说出AB 的长吗？①4. 如图4，△ABC 中，∠A =60°，∠B =45°，AC =12, 如何求AB 的长？试写出解题步骤.②二. 合作交流，成果展示：1. 交流上面各题，说说是怎样把锐角△ABC 的问题转化为解直角三角形的？图1B 图2B图3B图42. 一中4题，作△ABC 的高AH （如图5），试一试根据原题条件求AB 如何？3.交流:含有特殊角的三角形，怎样添加辅助线把它转化为直角三角形来解决？三.应用规律，巩固新知：1. △ABC 中，∠A =105°，∠B =45°，AC =12,求AB 的长？2.P45 随堂练习 1、2、33. △ABC 中，∠A =120°，∠B =15°，AC =2, 求AB 的长？③四.自我测评，检测反馈：1.本节课你有哪些收获？你还有那些疑惑？2.当堂检测： ①P45 习题2.8 1②如图，△ABC 中，∠ABC =120°，tan C =21，BC =11, 求AB 的长？④B图5CC3.课外自评：P45 习题2.8 联系拓广五.教（学）后反思“4 解直角三角形（3）”导学提纲设计意图与教学建议①承接上一课时，将学生自然引入到本课时内容.②对①的三问题的概括集结，学生在该探究过程中，很自然体会辅助线分割在解决问题过程中的重要性.③引进方程思想，解题中三角函数关系式确定不同线段间的数量关系，布列简单的方程，解方程求得未知数的值，进而解决问题.④通过本题，让学生认识到特殊角的特殊在于其三角函数值是确定的，添加辅助线是为了形成含确定三角函数值的锐角的直角三角形.。
三角形的三边关系导学提纲
b=b=b=
c=c=c=
a+bc;a+bc;a+bc;
a+cb;a+cb;a+cb;
b+ca;b+ca;b+ca;
c-ab;c-ab;c-ab;
b-ac;b-ac;b-ac;
c-ba;c-ba;c-ba;
三角形的两边之和第三边；三角形的两边之差第三边.
三、主体互动，研究问题
教学过程
一、教师主导，提出问题
1、填空：（1）三角形的内角和等于； （2）直角三角形的两锐角；
2、能根据三角形的内角大小将三角形进行分类，是否能根据三角形的边进行分类呢？
二、学生探究，发现问题
分别量出教科书第85页图4-14中三个三角形三边的长度，并计算任意两边之和以及任意两边之差，再与第三边作比较，你发现了什么？
A、1 B、2 C、3 D、4
7、等腰三角形的周长为14，其中一边长为3，求腰长.
8、已知等腰三角形一边长为24cm，腰长是底边的2倍，求这个三角形的周长。
1、下列长度的各组线段能否组成一个三角形？
（1）15cm、10 cm、7 cm；（2）4 cm、5 cm、10 cm；
（3）3 cm、8 cm、5 cm；（4）4 cm、5 cm、6 cm.
2、等腰三角形的一边长为3㎝，另一边长是5㎝，则它的第三边长为
3、已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm，则第三边长X的取值范___________．
问题一：能否利用已学的数学知识来解释这两个结论呢？
两点的连线中最短
问题二：如果要使得第三条线段c与原来的两条线段a、b组成三角形，那么它的长度取值范围是什么？
三角函数提纲知识点
三角函数提纲知识点
三角函数是数学中的一门重要科目，它研究三角形中各个角度之间的关系，以及这些角度和边长之间的联系。
以下是三角函数的基础知识提纲：
1. 角度和弧度的概念：角是由两条射线或线段的公共端点所形成的图形，可以用度数或弧度来表示。
2. 三角函数的定义：三角函数包括正弦、余弦和正切等，它们是定义在直角三角形或单位圆上的函数。
3. 特殊角的三角函数值：例如，sin(0°)=0，sin(90°)=1，cos(0°)=1，cos(90°)=0，tan(0°)=0，tan(90°)不存在等。
4. 三角函数的周期性和对称性：例如，正弦和余弦函数的周期都是2π，正切函数的周期是π。
此外，正弦、余弦和正切函数都分别具有不同的对称性。
5. 三角恒等式：是指一些与三角函数相关的等式，它们可以通过三角函数的定义和基本运算得到。
6. 三角函数的应用：三角函数在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用，例如，利用三角函数解决直角三角形中的角度和边长问题、求解振动和波动问题等。
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1 解三角形中的边角互换导学提纲
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学习目标：1．在三角形中考查三角函数式变换，是近几年高考的热点，它是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它重要性：一是作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其二，它毕竟是三角形变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，是使问题获得解决的突破口。
2．在解三角形时，要注意正弦定理和余弦定理的本质就是揭示了三角形角与边的
关系，利用正余弦定理可将将角换成边，边换成角。
重点：利用正（余弦）定理实现角边互换。
难点：正（余）弦定理的角边互换的灵活运用。
导学流程：
例1．在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若，，则A=( )
（A ） （B ） （C ） （D ）
【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力。
【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化。
【规范解答】选A ，根据正弦定理及得：（角换边）。
【方法技巧】根据所给边角关系，选择使用正弦定理或余弦定理，将三角形的边转化为角。
例2在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且 （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求的最大值.
【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值。
【思路点拨】（I ）根据正弦定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定
理求角
（II ）由（I ）知角C ＝60°-B 代入sinB+sinC 中，看作关于角B 的函数，进而求出最值
【规范解答】（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得
即 由余弦定理得 故 ，A=120° 22a b -=sin C B =03006001200
150sin C B =c =222222()cos 22b c a c a c A bc bc +---==== 0000180,30A A <∴= 2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++sin sin B C +22(2)(2)a b c b c b c =+++222a b c bc =++2222cos a b c bc A =+-1cos 2
A =-
2
故当B ＝30°时，sinB+sinC 取得最大值1。
【方法技巧】
(1)利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用a 替换sinA ，用b 替换sinB,用c 替换sinC 。
sinA,sinB,sinC 的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分。
(2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用，象本例中B+C ＝60° 例3.在中，内角A 、B 、C 的对边长分别为、、，已知，且
求b
【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理的灵活运用。
【思路点拨】此题事实上比较简单,但学生不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)
过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而做不出来.
【规范解答】法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:⇒（实现角边互换,从而找到解题突破口） 化简并整理得：.又由已知.解得. 法二：由余弦定理得: .又,.
所以 ①
又，
∴，即
由正弦定理得，故 ② 由①，②解得.
评析：从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.
当堂练习：1.设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．
（Ⅰ）求B 的大小； （Ⅱ）若a =5c =，求b ．
2.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若
()C a A c b cos cos 3=-，则=A cos _________________。
3.在△ABC 中，角ABC 的对边分别为a 、b 、c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B ,则角B 的值为( )
A. 6π
B. 3π
C.6π或56π
D. 3π或23π
sin(60)
B =︒+AB
C ∆a b c 222a c b -=sin cos 3cos sin ,A C A C =222a c b -=sin cos 3cos sin ,A C A C =ABC ∆sin cos 3cos sin ,A C A C = 222222
3,22a b c b c a a c ab bc
+-+-= 2222()a c b -=222a c b -=24b b ∴=40(b b ==或舍）2222cos a c b bc A -=-222a c b -=0b ≠2cos 2b c A =+sin cos 3cos sin A C A C =sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=sin()4cos sin A C A C +=sin 4cos sin B A C =sin sin b B C c
=4cos b c A =4b =
3。