高考数学总复习高考达标检测(三十九)抛物线命题3角度-求方程、研性质、判关系理(2021学年)

2０18年高考数学总复习高考达标检测（三十九）抛物线命题３角度-求方程、研性质、判关系理
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高考达标检测(三十九）抛物线命题3角度-—求方程、研性质、判关系
一、选择题
１.(２0１７·江西九校联考)若点Ｐ到直线x=-１的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为( )
A．圆 B.椭圆
C．双曲线ﻩＤ.抛物线
解析：选D 依题意,点P到直线x=－2的距离等于它到点（２,０)的距离,故点P的轨迹是抛物线.
2．(20１６·运城期末)已知抛物线x２＝ａy与直线y＝2x-2相交于M,N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线方程为( )
A.x2=错误!ｙﻩB．x2=6y
Ｃ．x2＝-3yＤ．ｘ2＝３ｙ
解析:选D 设点M（x1，y１),N（x2,y2）.
由错误!消去ｙ，得x2-2ａx+2ａ＝0，
所以错误!=错误!＝３,即a=3,
因此所求的抛物线方程是x2=3ｙ。

3.设F为抛物线y2=2x的焦点,A、B、Ｃ为抛物线上三点,若F为△ABC的重心，则|错误!｜＋｜错误!｜＋｜错误!|的值为（）
Ａ.1 ﻩB．2
Ｃ.3 D．４
解析：选Ｃ依题意,设点Ａ（x１，y1），B(x2，ｙ2），C(ｘ３,ｙ３）,又焦点F错误!,x1+x2+x3
＝3×＼f(1,2)=３
2
,则|错误!｜+|错误!｜+｜错误!|＝错误!+错误!＋x３＋错误!=(x１+x2＋x３)＋
＼f(3,2）=错误!＋错误!=3。

４．(2０14·全国卷Ⅰ）已知抛物线C:y2＝ｘ的焦点为Ｆ,Ａ(x0，y0)是C上一点,｜AF|=＼ｆ(5,4)x
０
,则x0＝( )
A．1 ﻩＢ．2
Ｃ．4 D．8
解析:选Ａ由题意知抛物线的准线为x＝－错误!.因为|AF|＝错误!ｘ0,根据抛物线的定义可得x0+错误!=｜AＦ｜=错误!ｘ0,解得ｘ0＝1，故选Ａ.
５．(201７·铜川一模）已知抛物线y2=2ｘ的弦AB的中点的横坐标为＼f（3,2），则｜
ＡB|的最大值为( )
Ａ．1 ﻩB．２
C．３ﻩ D.4
解析：选D 设A（x1,ｙ1），B(ｘ2，y2）,则x1＋x2＝3,利用抛物线的定
义可知，|ＡF|+|BF|=x1+x2+1＝４，由图可知｜AF｜＋|BF|≥｜AB｜⇒
|AB|≤4，当且仅当直线ＡB过焦点Ｆ时,|AB|取得最大值4.
6.(2０16·长春一模)过抛物线y2＝2px(p〉0）的焦点F且倾斜角为1２0°的直线ｌ与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点,则错误!的值等于（ ) A。

错误! B.错误!
C。

错误! D.错误!
解析：选Ａ记抛物线y2=2pｘ的准线为l′,
如图,作AＡ１⊥l′,BB1⊥ｌ′，ＡC⊥BB1,垂足分别是Ａ1,B１，C,
则有cos∠AＢB1=|ＢC|
|ＡＢ|
=＼f(|BB1|-｜AA1|,|AF|+｜BＦ｜）＝
＼ｆ(|BＦ|－|AF｜,|AＦ|+|BF|),
即coｓ60°=错误!＝错误!，由此得错误!=错误!。

二、填空题
7.已知F是抛物线y2＝x的焦点，A,Ｂ是该抛物线上的两点，若｜AF｜＋|ＢF|=5，则线段AB的中点到ｙ轴的距离为___＿___＿．
解析：设A(x1,y１），B（x2，ｙ2),则由抛物线定义可得｜AＦ｜+|BF|＝5,即x１＋＼ｆ(1,4)＋x２+错误!=5,解得x1＋x2＝错误!,所以线段AB的中点到y轴的距离为错误!=错误!。

答案:＼f(9,4)
8.（20１７·长春二模)过抛物线ｙ2=4x的焦点作倾斜角为45°的直线l交抛物线于A,Ｂ两点,Ｏ为坐标原点，则△OＡB的面积为_＿___＿__．
解析:由题意知,抛物线焦点为(１，0),直线l的方程为y＝x-１,与抛物线方程联立,得错误!消去ｘ,得y2-4ｙ-4=0,设Ａ,B的坐标分别为(x１,y1),(x2,y2）,则y１+y2＝4，y1y2=－４,|y1-ｙ
２
｜=错误!＝4错误!，从而△ＯAＢ的面积为错误!×错误!×|y１－ｙ2｜＝２错误!.
答案:２错误!
9.过抛物线y2=４x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,若|ＡF|=5,则|BF｜＝___＿__＿
_.
解析:由题意,设A(x1,ｙ1），B（ｘ2，y2),则|AＦ|=x1＋1＝５⇒x1＝4，y错误!=４x1＝16，根
据对称性,不妨设y1＝4,∴直线ＡB:y=4
3
x-错误!，代入抛物线方程可得,4ｘ2-17x＋４=0，∴x
2
＝＼f（1，４）,∴｜BＦ|＝x2+1＝错误!
答案:错误!
三、解答题
１０．已知抛物线ｙ２＝4ｐｘ（p>０）的焦点为F,圆W:(x＋p)2＋ｙ2＝p2的圆心到过点Ｆ的直线ｌ的距离为p．
(1)求直线ｌ的斜率;
（2）若直线l与抛物线交于A,B两点，△WＡB的面积为8，求抛物线的方程．
解：（1)易知抛物线y２=４px（p>0)的焦点为F(ｐ,０）,
依题意直线l的斜率存在且不为0,
设直线l的方程为x＝my＋p，
因为Ｗ(-p,0),
所以点W到直线l的距离为错误!=p，
解得m=±错误!,
所以直线l的斜率为±
3
3
．
(2）由(1）知直线l的方程为x=±＼r(３)y＋p，
由于两条直线关于x轴对称,不妨取ｘ＝3ｙ+p,
联立错误!消去x得ｙ２－４错误!py-4p2=0，
设A(x1,y１）,B(x2,ｙ２),则y１＋y2＝4＼r（３）p,y1ｙ2＝－4p２,
所以｜AB｜＝错误!·错误!=16p,
因为△WAB的面积为8,
所以错误!p×1６p=8，得ｐ＝1，
所以抛物线的方程为ｙ2=4x。

11．(2０17·绵阳南山中学月考）已知抛物线C：y2=2px(p>0)，F为抛物线Ｃ的焦点，A 为抛物线C上的动点，过A作抛物线准线l的垂线，垂足为Q．
（1）若点P（0，２）与点F的连线恰好过点A，且∠PQＦ=９０°，求抛物线的方程;
（2)设点M(m，0）在ｘ轴上,若要使∠MAF总为锐角,求m的取值范围.解：(1)由题意知｜ＡQ|＝｜AＦ｜，
∵∠ＰQF＝90°，
∴Ａ为PF的中点．
∵Ｆ错误!,
∴Ａ错误!,且点Ａ在抛物线上，
∴1＝2p·＼f（ｐ，4）,
解得p=错误!，
∴抛物线的方程为y2＝2２x。

(2)设A（x,y),则y2＝2ｐx,
由∠MAF为锐角得错误!·错误!>０且m≠错误!。

又错误!=（ｍ-x，-ｙ)，错误!＝错误!,
∴错误!·错误!>0,
即(x-m)错误!＋y2>０，
即ｘ2-错误!x+错误!+y２>0,
∵y2=２px,
∴x２＋错误!x+错误!＞0对任意的x≥0都成立.
令f(ｘ)=x2＋错误!x＋错误!，
则f(x）=错误!2+错误!－错误!2＞0对任意的x≥0都成立．
当＼f(ｍ,2)－错误!≥0,即ｍ≥错误!时,
只要使错误!-错误!２＞0成立,
整理得4m2－20mｐ＋9p2<０，
解得错误!<ｍ＜错误!，且m≥错误!，
∴错误!≤m＜错误!．
当错误!-错误!<0，即ｍ<错误!时，
只要使＼ｆ(mp,２)>0成立,得m＞0,
∴0＜m<3p 2。

综上可得m的取值范围是错误!∪错误!。

12.已知抛物线E:x2＝2pｙ（p>0）,直线y=kx+2与E交于A，B两点,且错误!·错误!＝2,其中O为原点.
（1)求抛物线E的方程；
(2)点C的坐标为（0，－2)，记直线ＣＡ，CB的斜率分别为k1，ｋ2，证明:ｋ错误!＋k错误! -2ｋ2为定值．
解：(１)将y=kx＋2代入x２＝2py,
得x２-２pｋx-４p=０,
其中Δ＝4p２k2＋１6p>0．
设A(x１,ｙ1），B(x2,y2）,
则x1+ｘ２=2pk,x1x2＝－4p。

错误!·错误!=x1x2＋ｙ1y2＝x1x2＋错误!·错误!＝－4p+4。

由已知可得-4p+4＝2,
解得p=＼f(1，2）,
所以抛物线Ｅ的方程为x2=y。

(２)证明:由(1）知，x1＋x2＝k，x1x2＝－2.
k
＝错误!＝错误!=错误!＝ｘ１－x2,
1
同理ｋ2＝x2－x1，
所以k错误!+ｋ错误!-2k2＝2（x1-x2)2－2（ｘ１＋ｘ２)2
=-8x1x2＝1６。

即k错误!＋ｋ错误!-2k2为定值,为16。

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