固体物理晶格非简谐效应

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15、非简谐效应自由能

2、晶体热传导系数
把声子系统看成声子气体
1 k Cv v 3
(1)
如果采用德拜模型，声子的平均速度是一常数，热导系数与温度的关
系完全取决于比热和平均自由程与温度的依赖关系。
由关系式
v z
1 z
平均自由程反比于单位时间内的平均碰撞次数z 而z与声子的浓度n成正比，因此因此
z n
第 15 页
§3.7 晶格振动的非简谐效应
Hale Waihona Puke Page 16在T→ 0时，晶体中主要激发波长很长的声子
U过程出现的几率很小边界散射成为主要因素，因而热导系数变成晶体线度L的函数：
k
1 Cv v 3
k
1 Cv vL 3
由于低温下，
Cv T 3
所以边界散射热导系数与温度的关系为
k T3
第 23 页
§3.7 晶格振动的非简谐效应
2、考虑非简谐效应下的计算
考虑势能展式中三次方项的非简谐项的贡献，则U（r）可写为
U (r )
1 1 2 3 ( 6 ) 2 6
作代换
d 3U ( r ) ( 7 ) 3 dr r0 1 2 b ( 8 ) 1 c 6
§3.7 晶格振动的非简谐效应一．非简谐效应
讨论晶格振动
取简谐近似
等效成相互独立的3N（N是原子数目）个简正振动一旦一种模式（声子）被激发，它将保持不变不把能量传递给其他模式的简正振动。问题：简谐近似下，把温度不相同的两晶体接触后，它们的温度不会
达到同一个温度，各自保持温度不变。这与事实不符。温度最终达到平衡必须由晶格振动的非简谐效应解释。固体的热传导：电子导热和声子（晶格）导热

晶格振动的非简谐效应之一热传导(xiugai)

两个声子通过非简谐项的作用，而产生第三个声子，这可以看成是两个声子相互碰，最后变成第三个声子。声子的这种相互作用可用下面的物理图象来理解:一个声子的存在将在晶体中引起周期性的弹性应变，由于非简谐项的影响，晶体的弹性模量不是常数，而受到弹性应变的调制，由于弹性模量的变化，将使第二个声子受到散射而产生第三个声子.声子间的相互作用，还必须遵守能量守恒定律和动量守恒定律。
v 代表声子的平均速率，把(3-99)式与（3-93）
相比较，热导系数x可写成:
x 1 Cvl 3
(3-100)
上式和气体的热导系数形式上是一样的。
• (3-100)式中，声子的平均自由程L，在高温下l T 1 ，主要由它们的碰撞过程决定。
• 计入原子间相互作用的非简谐项，可以从理论上导出，在高温下l eB/T ，而在低温下。
把(3-94)式代入(3-95)式，则：
Q
Cvxl
dT dx
（3-96）
而自由路程l可表成: l vx
其中τ代表声子两次碰撞间相隔的时间，把上式代入(3-96)式得：
Q
Cvx2
dT dx
（3-97）
这里应是对所有声子的平均值，由
能量均分定理可知:
2
vx
1
2
x
3
（3-98）
因此(3-97)式可表成： Q 1 Cvl dT （3-99） 3 dx
决定，在这种情形下，(3-100)式变成：
x 1 CvD 3
(3-101)
此处D是晶体的线度尺寸，是一个常数，因此这时x与温度的关系主要决定于热容量C对温度的关系，在3.4节中已经知道在低温下，C T 3 ，所以在低温下，品体的热传导将按T3变化。

固体物理学：第四章晶格振动与晶体的热学性质1

第四章晶格振动4.1 晶格振动的经典理论4.2 晶格振动的量子化－声子4.3 固体热容的量子理论4.4 非简谐效应：晶体的热膨胀和热传导4.5晶格振动的实验研究原子或离子是不可能严格的固定在其平衡位置上的，而是在固体温度所控制的能量范围内在平衡位置附近做微振动。

只有深入地了解了晶格振动的规律，更多的晶体性质才能得到理解。

如：固体热容，热膨胀，热传导，融化，声的传播，电导率，压电现象，某些光学和介电性质，位移性相变，超导现象，晶体和辐射波的相互作用等等。

•19 世纪初人们就通过Dulong-Petit 定律：认识到：热容量是原子热运动在宏观上的最直接表现；1907年，Einstein 利用Plank量子假说解释了固体热容为什么会随温度降低而下降的现象；1912年玻恩(Born，1954年Nobel物理学奖获得者)和冯卡门（Von-Karman)发表了论晶体点阵振动的论文，首次使用了周期性边界条件；Debye热容理论1935年Blakman才重新利用Born和Von-Karman近似讨论晶格振动，发展成现在的晶格动力学理论；1954年黄昆和Born共同写作的《晶格动力学》一书已成为该领域公认的权威著作4.1 晶格振动的经典理论一. 一维单原子链的振动运动方程：考虑N个质量为m 的同种原子组成的一维单原子链的。

设平衡时相邻原子间距为a（即原胞大小），在t 时刻第n 个原子偏离其平衡位置的位移为µn设在平衡时，两原子的相互作用势为V(a)，产生相对位移（例如）后势能发生变化是V(a+δ) ，将它在平衡位置附近做泰勒展开：首项是常数，可取为能量零点，由于平衡时势能取极小值，第二项为零，简谐近似下，我们只取到第三项，即势能展开式中的二阶项（δ2项），而忽略三阶及三阶以上的项，显然，这只适用于微振动，即δ值很小的情况。

此时，恢复力：如只考虑最近邻原子间的相互作用，第n 个原子受到的力：于是第n个原子的运动方程可写为：一维原子链上的每个原子，忽略边界原子的区别，应有同样的方程，所以它是和原子数目相同的N个联立的线性齐次方程。

复旦固体物理讲义-28非简谐效应

本讲要解决的问题及所涉概念•简谐近似*相互作用势能只保留到二次项，晶格振动为一系列线性独立的谐振子，不发生相互作用，也不交换能量*这样，声子不能把能量传递给其他频率的声子*与此有关的物理现象，比如热膨胀、热传导，就不能用简谐近似来描述•非简谐效应*热膨胀*热传导声子气体http://10.107.0.68/~jgche/非简谐效应2第28讲、非简谐效应1.简谐近似的局限2.热膨胀3.Grueneisen状态方程4.热膨胀与Grueneisen常数5.热传导6.晶格振动的相互作用（声子语言）7.晶体热传导系数http://10.107.0.68/~jgche/非简谐效应31、简谐近似的局限•修正绝热近似时，曾作两个假定以简化问题1.微小振动：原子虽然不是固定在它们的平衡位置，但是偏离平衡位置的距离很小2.简谐近似：离子之间的相互作用势能展开式只保留到二次项，即力常数与位移的一次项成正比•但是，固体中的很多重要的物理性质不能用简谐近似解释，如*热膨胀*热传导http://10.107.0.68/~jgche/非简谐效应42、热膨胀•严格的简谐振动为什么不会产生热膨胀？•热胀冷缩*温度升高，晶体体积膨胀*？•温度升高？——晶格振动能量增大•晶体体积膨胀？*→原子平均间距或晶格常数增加*→但是严格的简谐近似为什么不能产生热膨胀？http://10.107.0.68/~jgche/非简谐效应65、热传导•固体导热*电子贡献+？•晶体中原子的热运动•晶格振动！*但是，原子仅仅是在平衡位置附近振动，*而且晶格振动是一种集体的振动！•热传导就是振动的传播•格波的传播？*但是，简谐近似格波独立，因此格波之间不能交换能量http://10.107.0.68/~jgche/非简谐效应20简谐振动热传导?•与温度有关的声子分布的均匀过程如何建立？•靠相互作用，靠碰撞？•简谐近似：格波独立，声子间没有相互作用！•必须考虑非简谐效应——声子与声子之间的碰撞，各个格波之间有相互作用http://10.107.0.68/~jgche/非简谐效应236、晶格振动相互作用（声子语言）•一个声子的存在会引起周期性弹性应变•这种弹性应变如果较大，则不能再用简谐近似来描写•这样，非简谐弹性应变对晶体的弹性常数产生空间和时间上的调制•第二个声子感受到这种弹性常数的调制，受到散射而产生第三个声子http://10.107.0.68/~jgche/非简谐效应24声子气•将有限温度下的晶体想象成包含声子气的容器•不同模式的声子具有不同的动量，能量•速度，按Debye近似，声速•声子间的相互作用就象气体间分子的碰撞一样，交换动量、能量简谐近似下不可能•虽然当作气体分子处理，但注意：声子是晶格振动的能量量子，是一种元激发，不具有质量，声子数也不守恒，可以产生和湮灭•声子描写的是整个晶格的振动！现局域！远大于晶格常数，仍可看成这个区域整体的振动http://10.107.0.68/~jgche/非简谐效应25http://10.107.0.68/~jgche/非简谐效应27平均自由程取决于声子碰撞•理论分析非常复杂：取决于声子与声子之间的碰撞，还有声子与杂质的碰撞，声子与样品边界的碰撞•声子与声子之间碰撞：三声子碰撞过程的动量、能量守恒关系（K 是倒格矢）Kq q q +=+=+321321ωωωhttp://10.107.0.68/~jgche/非简谐效应29正常过程：K 等于零•常称N 过程(Normal process)，对应q 1和q 2较小•声子的动量没有发生变化，因此，N 过程只改变声子的动量分布•如果声子的总动量为零，就没有热流•在热平衡下，由于()()q q -=ωω•因此，N 过程由于只改变声子的动量分布，而基本上不影响热流的方向==∑ii q Qhttp://10.107.0.68/~jgche/非简谐效应31翻转过程：K 不等于零•对应q 1和q 2较大，与B 区的尺度可比才能发生，能量大的格波参与才能发生•这种格波数随温度下降很快，因此，U 过程可改变声子数的分布•这种过程对热导率的下降十分有效•常称U 过程(Umklapp Process)•声子总的动量改变了一个非零的倒格矢的动量≠=∑ii q Q关键是改变声子分布！•看上去是平均自由程，关键是改变声子数分布•晶体中存在这样的机制，使声子分布可以局域地趋于平衡。

固体物理基础第四章晶格振动和晶体的热性质4.7-非简谐效应

两个声子通过非简谐项的作用, 产生了第三个声子, 这可以看成是两个声子碰撞之后变成了第三个声子.
声子的这种相互作用可以理解为: 一个声子的存在将在晶体中引起周期性的弹性应变, 由于非简谐项的影响, 晶体的弹性模量不是常数, 而受到弹性应变的调制.
由于弹性模量的变化，将使第二个声子受到散射而产生第三个声子。
流的声子分布一旦建立,将不随时间变化(表明弛
豫时间为无穷大),这意味着无限大的热导率.
1 3
cV vl
1 3
cV v2
所以，用简谐近似理论不能解释晶体的热膨胀和热传导现象。
实际上，原子间的相互作用力(恢复力)并非严格地与原子的位移成正比。
当在晶体的势能展开式中，考虑3次方及其以上的高次项时，则晶格振动就不能描述为一系列严格线性独立的谐振子.
h1 h2 h3
hqv1 hqv2 hqv3
v hGh
qv1
qv2
qv3
v Gh
实际情况确实存在上述两种对应关系. 比如在研究热阻时，发现两个同向运动的声子相互碰撞，产生的第三个声子的运动方向与它们相反，即运动方向发生倒转。因此两个声子的碰撞过程可以满足
h1 h2 h3
qv1 qv2 qv3
所以，T<<ΘD时，晶格热导率满足 T3eA/T。显然T→0时，声子的平均自由程→∞，从而导致晶
格热导率→∞。
实际上热导系数并不会趋向无穷大，因为在实际晶体中存在杂质和缺陷，声子的平均自由程不会非常大。
对于完整的晶体，即不存在杂质和缺陷的
这种声子态之间的跃迁常称为声子-声子相互作用，或声子之间的碰撞或散射。声子间的相互作用遵循能量守恒和准动量守恒。
非简谐作用中的势能三次方项对应于三声子过程，如两个声子碰撞产生另一个声子或一个声子劈裂成两个声子；非简谐作用中的势能四次方项对应于四声子过程。

第二章4 固体物理

3N
1 3 N 2U uu i j 2 i , j 1 ui u j 0
uu i j 0
简谐近似，势能为抛物线，两边对称
线性变换引入简正坐标
ui
1 mi
a Q
j 1 ij
3N
j
动能项和势能项没有交叉项，意味着每个简谐振动模式（声子）之间没有相互作用
1、简谐近似的不足
在简谐近似下，相互作用势能只保留到二次方项，晶格振动为一系列线性独立的谐振子（格波）。互相独立的格波既不发生相互作用，也不交换能量。这样的声子既不能把能量传递给其它频率的声子，也不能处于热平衡。
U 1 3 N 2U U U0 ui 2 i , j 1 i 1 ui 0 ui u j
• 没有热膨胀（原子的平衡位置不依赖于温度）；
• 力常数和弹性常数不依赖于温度和压力；
• 高温时热容量是常数（Dulong-Petit定律）； • 等容热容和等压热容相等（CV=Cp）； • 声子间不存在相互作用，声子的平均自由程和寿命都是无限的，或者说，两个点阵波之间不发生相互作用，单个波不衰减或不随时间改变形式； • 没有杂质和缺陷的简谐晶体的热导是无限大的； • 对完美的简谐晶体而言，红外吸收峰、Raman和 Briiouin散射峰以及非弹性散射峰宽应为零。
运动方程解得形式为
0 A cos t cos 2t
这里只考虑了Fourier展开式中的头三项，所以只有2项，如果考虑3项，则会有3的项。
将方程的解代入运动方程，并假定sA<<1，有
0 sA2 0 2 02 1 s 2 A2
1 3N 2 T Qi 2 i 1

晶体中晶格振动频谱的非谐性效应探究

晶体中晶格振动频谱的非谐性效应探究晶体是由排列有序的原子、离子或分子构成的固体。

在晶体中，晶格振动频谱是描述晶体内原子或离子围绕其平衡位置振动的频率分布。

传统的晶格振动频谱假设晶体中原子或离子的振动是谐振子，即其振动是线性的，并且与晶体中其他原子或离子的振动无关。

然而，实际晶体中的晶格振动往往受到非谐性效应的影响，这导致了晶格振动频谱的一些特殊行为。

非谐性效应来源于晶体中原子或离子间的相互作用，这种相互作用本质上是非线性的。

在非谐性振动中，晶格振动的幅度会随着振动的能量增加而变化，这容易导致晶格结构的失稳现象。

非谐性振动可通过分析原子间势能函数的非线性项来建模。

最简单的非线性势能函数是二次谐振子势能函数的修正，其形式为：V(x) = (1/2)kx^2 + (1/3)γx^3 + (1/4)δx^4其中，V(x) 是势能函数，k 是线性弹性常数，γ 是非谐性常数，δ 是更高阶非线性常数。

这个势能函数能够描述晶体中原子或离子振动的非谐性行为。

非谐性振动导致晶体中振动模式的频率发生变化。

传统的谐振子模型中，振动频率只与弹性常数 k 相关。

而在非谐性振动中，振动频率会因为非线性项的存在产生偏移。

随着振动幅度增加，振动频率随之发生改变，呈现出蓝移或红移的现象。

此外，非谐性效应还会引起晶体中的声子相互作用。

声子是描述固体中振动的量子，对于任何晶体，都存在一系列不同的声子模式。

在非谐性振动中，声子之间可以发生相互转化，例如三声子相互作用过程。

这些声子相互作用直接影响晶体的热传导性质和声学性质。

非谐性振动的实验观测可以通过许多技术手段进行，例如拉曼光谱、中子散射和红外光谱等。

这些实验方法可以用来研究晶体中声子的频率和幅度。

通过分析实验结果，可以确定晶体中非谐性效应的程度和影响。

对于晶体中晶格振动频谱的非谐性效应进行深入研究，不仅可以帮助我们更全面地理解晶体的结构和性质，还可以为设计新型材料和开展热传导研究提供有价值的参考。

固体物理学§3.13 第三章晶格振动与晶体的热学性质总结

• 在长波极限下, 声学波的色散关系退化为________, 与弹性波在连续介质中传播一样。 ω=cq
• 复式晶格的长_____波振动中, 原胞质心保持不动。光学
21
固体物理
固体物理学
• 三维晶体中有 N 个原胞, 每个原胞有 n 个原子, 描写它振动的色散关系有____支。
3n
• 条件同上, 每一个波矢对应_____个不同的频率。 3n
声子具有能量 j ，也具有准动量 qj，它的行为类似于电子
或光子，具有粒子的性质。但声子与电子或光子是有本质区别的，声子只是反映晶体原子集体运动状态的激发单元，它不能脱离固体而单独存在，它并不是一种真实的粒子。将这种具有粒子性质，但又不是真实物理实体的概念称为准粒子。所以，声子是一种准粒子。
二项表示电场 E 附加了极化。
8
固体物理
固体物理学
2.LST关系
2 T
0
2 L0
s
(1) s , Lo To
光频介电常量
---著名的LST关系
静电介电常量
3.极化声子和电磁声子因为长光学波是极化波，且只有长光学纵波才伴随着宏观
的极化电场，所以长光学纵波声子称为极化声子。
长光学横波与电磁场相耦合，它具有电磁性质，称长光学横波声子为电磁声子。
Gn0， q1 q2 q3 Gn
q3
Gn q1
— 翻转过程或U过程（Umklapp Processes）
0
q2
q1+q2
在U过程中，声子的准动量发生了很大变化，从而破坏了热流的方向，限制了声子的平均自由程，所以U 过程会产生热阻。
17
固体物理
固体物理学
• 一维双原子链色散关系有光学波和声学波二支。其中光学波频率 ____声学波频率, 处于远红外波段。

《固体物理学》讲义(34章)

第三章晶体振动和晶体的热学性质（12学时）晶体内的原子并非在各自的平衡位置上固定不动，而是围绕其平衡位置作振动，并且由于原子之间存在着相互作用力，因而各个原子的振动是相互联系着的，这样在晶体中就形成了各种模式的机械波。

晶格振动对固体的比热、热膨胀、热导等性质有重要的影响。

本章将向大家介绍晶格振动的一般性质。

基本要求：掌握一维晶体振动模式的色散关系，晶格振动的量子化、声子的概念。

爱因斯坦模型和德拜模型解释固体的比热性质。

了解非谐效应，确定振动谱的实验方法以及晶格的自由能。

基本内容：1、一维原子链的振动，色散关系、格波2、晶格振动的量子化、声子，长波近似3、固体比热，爱因斯坦模型和德拜模型4、非简谐效应5、确定振动谱的实验方法，晶格的自由能重点：一维晶体振动模式的色散关系，晶格振动的量子化、声子的概念，爱因斯坦模型和德拜模型。

难点：晶格振动的量子化、声子的概念。

§3.1 一维原子链的振动晶格振动最简单的情形就是一维晶格的振动，本节将介绍一维原子链的振动情况及其色散关系。

通过简单情形的讨论，把所得的一些主要结论和主要方法加以推广，应用到复杂的三维晶格的振动。

一、一维简单格子的情形1、一维简单格子的振动晶体内的原子围绕其平衡位置在不停地振动，由于原子间存在着相互作用力，各个原子之间的振动相互关联，从而在晶体中形成了各种模式的机械波。

（1）、简谐近似和最近邻近似一维简单格子是最简单的情形，考虑一个一维原子链，每个原子具有相同的质量m，平衡时原子间距为a。

由于热运动各原子离开了平衡位置，用x n代表第n个原子离开平衡位置的位移，第n个和第n+1个原子间的相对位移就为x n+1-x n，和第n-1个原子间的相对位移就为x n-x n-1。

只考虑最近邻原子间的简谐相互作用，其恢复力常数为。

（2）、运动方程对第n 个原子进行受力分析，列牛顿定律方程可得运动方程为:)()(1122-+---=n n n n nx x x x dtx d m ββ )2(1122n n n nx x x dtx d m -+=-+β（n=1、2、…、N ）式中β为原子间简谐相互作用的恢复力常数。

5非简谐效应

4.5 非简谐效应（Anharmonicity):
晶体的热膨胀和热传导
一.
二. 三. 四.
简谐近似的不足
非简谐下的解绝缘体的热导率晶格状态方程和热膨胀
一、简谐近似的不足；非简谐项和热膨胀效应。
在简谐近似下，我们描述了晶体原子的热运动，并以此图像解释了固体热容、离子晶体的光学及介电性质，还用来解释辐射波和晶体的相互作用问题。简谐近似下的晶体，每个简正振动模将完全独立于所有其它振动模而传播，并且可以应用叠加原理，这样的晶体我们可称作简谐晶体。但这种简谐晶体的一些性质却和实际晶体完全不同，是我们过于理想化的结果。
0
2 0
s 0
2 0 2 0 2
①
s
g0 0 20
其解的形式为：
v0 A(cos t cos2t )
③
这里只考虑了Fourier 展开式中的头三项，所以只有2ω 项，如果考虑 3 项，则会有 3ω 的项。将③ 式代入 ①求解，并假定 sA<<1，有：
低温下λ 随T下降指数增长
T TD , e
TD T
2 3 之间的数字
低温下平均自由程迅速增长的原因是因为U过程决定着λ ，但能参与U 过程的高q 声子随温度下降迅速减少所致。
晶体尺寸、不均匀性、杂质和缺陷也都影响平均自由程，成为影响晶体热导率的因素，晶体尺寸越小、杂质和缺陷越多，声子被散射的几率越大，热导率越小。晶体热容也是温度的函数，高温下接近一个不变的常数，低温下与温度成三次方关系： C T 3
dT j dx
负号表示热能传输总是从高温到低温。
固体中，可以通过自由电子传热，也可以通过格波来传热，本节只讨论绝缘体的热导，即晶格热导：热能以格波群速度在固体中传播。简谐近似下无杂质、无缺陷的晶体其热导率应该趋于无穷，这与事实不符，在考虑了格波与晶体边界、杂质原子、缺陷及格波之间的相互作用后，绝缘体的热导率可以得到很好的理解。

固体物理-徐智谋-非简谐振动

..
x M 2 n x 2 n 1 x 2 n 1 2 x 2 n
x ..
m 2n1 x 2 n 2 x 2 n 2 x 2 n 1
x2n 1A e it 2n 1aq

O
A
x2n Beit2na q
晶体比热
1.固体比热的实验规律 (1)在高温时，晶体的比热为3NkB； (2)在低温时，绝缘体的比热按T3趋于零。
2.频率分布函数
定义：计算：
()
n
li m 0
3n
1
V c 2π3
s
ds
qq
3.晶体比热的爱因斯坦模型和德拜模型
爱因斯坦模型 (1)晶体中原子的振动是相互独立的；
c,
1 3!

3U R3

R0
g
U(R0)c2g3 (c、g均为正常数。)
(1)简谐近似：
U(R0)c2

eu kBT d

eu d kBT

e d eu kBTd
c2 kBT 0
确定晶格振动谱的实验方法
1.方法：中子的非弹性散射、光子散射、X射线散射。
2.原理(中子的非弹性散射) 由能量守恒和准动量守恒得：
P'2 P2 (q)
2Mn 2Mn
P ' P q K h
“+”表示吸收一个声子 “-”表示发射一个声子
3.仪器：三轴中子谱仪。
0
U (R 0 )U (R 0)2 1 ! R 2 U 2 R 023 1 ! R 3 U 3 R 03
（1）简谐近似

第二章(4) 固体物理

1 2
0 r a
2
1 6
g0 r a
3
1 2
0 2
1 6
g 0 3

r
a e

U / k B T
d
e
U / k B T
d d

ae e
U / k B T
第二章（IV）非简谐效应
2.23 非简谐效应 2.24 热膨胀 2.25 晶体状态方程：热膨胀的热力学处理 2.26 热传导
2.23 非简谐效应
将晶体中原子之间的相互作用势能函数U(r)，在平衡位置r=a附近进行泰勒级数展开，
1 d 2U 2 1 d 3U 3 dU U r U a 3 2 2 dr a 3! dr a dr a
U / k B T
d
U / k B T
d

e
e
U / k B T
d
U / k B T
d
a
表明在简谐近似下，平均间距不随温度变化而变化。
考虑非简谐效应，相互作用势能函数取到三次方项
U r

2、相互作用势能的非简谐项
1 d 2U 2 1 d 3U 3 1 d 4U 4 dU U r U a 2 3 4 2 dr a 3! dr a 4! dr a dr a
T 1 2 Qi2
i 1 3N
U
1
2
i 1
3N

5.4+非简谐效应

1 2!

2U R2

R0
2
R0 R
简谐近似下，温度升高，导致振幅变大，但位移的平均值为零，所以两原子间距不变，无热膨胀现象。
（2）非简谐效应
展开式中取前三项：
U (R0

)
U
(R0 )

1 2!
2U R2
R0

2

1 3!
3U R3
lns (q)
V

U equ V
T

qs

1 2

e
1
s (q ) kBT
1
s
(q
)
lns
V
(q)
U equ

V
T

qs
qs
lns (q)
V

U equ V
T
1 V
F2 kBT lnZ
F2
kBT
qs

1 2
s (q) ln 1 e s (q) kBT
kBT

F U equ
V

qs
1 2
s (q) kBTln(1 e s (q) kBT )
P

F V
nqs
1
qs
e kBT 1

1
kBT
1
qs
kBT
1
qs
T nqs
1
T
1
T
(2)低温时，T<<D

固体物理 5.2 非谐晶体相互作用

4 c2 x0
5.2 非谐晶体相互作用
非谐效应与三声子过程
对于实际的晶体，结果常常偏离上述结论，原因是我们所忽略势能中的原子间相对位移的高次项(非谐项) 所导致
三声子过程 (两个声子相互作用产生第三个
声子：w3=w1+w2) 是由晶体势能中的三次方项引
起的
4
第 5章声子（II）：热学性质
5.2 非谐晶体相互作用
d ln V
并假设它近似对所有振动频率都相同，称为格临
爱森常数，则
p dU
dV V
j
1 2
w j
w
ew j /
j
1
11
第 5章声子（II）：热学性质
5.2 非谐晶体相互作用
其中
p dU
dV V
j
1 2
w j
w
ew j /
j
1
Ulat
j
1 2
w j
w
ew j /
j
1
是晶格振动能，因此我们得到格临爱森的近似状
•
第 5章声子（II）：热学性质
5.2 非谐晶体相互作用
第 5章声子（II）：热学性质
5.2 非谐晶体相互作用
只考虑势能函数的前三项时
u(x) cx2 gx3 fx4
（ x 是相对于平衡位置的位移）
按玻尔兹曼统计，在温度 T下的平均位移为：
<x>=
dxxeu(x)
dxeu(x)
d ln V
而且在低温下对有些振动模，格临爱森常数为负
16
第 5章声子（II）：热学性质
5.2 非谐晶体相互作用
产生热膨胀的物理原因

非简谐效应-热传导

热膨胀
Kittel 书 P89
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
取近似下，可以得到固体热膨胀系数：
— 格临爱森常数 K0 — 晶格体变模量
—— 格临爱森定律
固体热膨胀系数与热容成正比：
当温度低于德拜温度时，膨胀系数增长迅速，而在更高的温度就增加的比较慢。
03_07_非简谐效晶格振动与晶体的热学性质
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
势能在平衡位置附近的展开：
1. 晶格的热膨胀
能量升高后，由于非简谐作用，实际势能曲线的平衡位置向右偏离；即晶格常数变大，发生热膨胀。热膨胀是一种非简谐效应
简谐近似（抛物线）
平衡位置
实际势能
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
根据声子理论可以得到热导率:
1 cv v 3
λ-声子的平均自由程； v- 声子平均速度。徳拜模型中: 声子平均速度为常数。高温区：
1 1 T n-碰撞 n
低温区：热容急剧下降（德拜）
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
声子散射的两类过程:
N过程 (Normal) 正常过程 U过程 (Umklapp) 倒逆过程（1） N 过程，散射前后声子都顺着热流方向，对热导无阻碍。
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质
散射前后声子都在1BZ内。
03_07_非简谐效应—— 晶格振动与晶体的热学性质

高二物理竞赛课件：非简谐效应

非简谐效应
非简谐效应
晶体的状态方程
简谐近似：
晶格振动可描述成一系列线性独立的谐振子，相互不发生作用，不能交换能量，声子一旦被激发出来，数目一直保持不变不能传递能量，不能处于热平衡。
实际晶体：
原子间的相互作用力并非完全简谐，晶格的原子振动不能描述成为一系列严格线性谐振子，谐振子相互间要发生作用，声子与声子间将相互交换能量，某种频率的声子可以转换成另一种频率的声子，经过一段时间后，各种声子的分布就能达到热平衡。
晶体体积为V，对各向同性介质中的弹性波
◇对每一支振动，波矢的数值在q～q+dq的振动模式的数目：
◇频率在ω～ ω+dω的振动模数： ◇对一q，对应3种弹性波，频率在ω～ ω+dω格波数：
模式密度：平均能量：
热容：对晶体中有N个原子，3N个正则频率
德拜温度：
比热特征可由德拜温度确定比热趋于经典极限。
非简谐项是使晶格振动达到热平衡的重要原因。
晶体的状态方程
晶格的自由能与状态方程
1 热力学关系
晶体的状态方程
2 自由能
U(V)——T=0时晶格的结合能,只与晶格的体积有关而和温度无关。
晶体的状态方程
2 自由能
求和对所有支和所有q进行 3 状态方程
假设：把布喇菲晶格看作是各向同性的连续介质，
即把格波看成是弹性波，且假定纵波和横波的波速相等。
近代采用两种模型的混合——杂化模型
极低温度下，比热和温度T3成比例。
爱因斯坦模型与德拜模型的比较
◇爱因斯坦模型：将晶体的所有频支的色散关系简化为同一条水平直线，忽略了频率较低的声子的作用，将所有格波当作光学波来处理。
◇德拜模型：针对长声学波。将格波作为弹性波处理，低温下，只有长波声子能被激发。