江西省南昌市2018届高三上学期摸底数学文试卷 含解析 精品

2017-2018学年江西省南昌市高三（上）摸底数学试卷（文科）
一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数z满足（1+i）z=2，则复数z的虚部为（）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
2．设集合A={x|﹣2≤x≤1}，，则A∩B=（）A．[﹣2，1）B．（﹣1，1]C．[﹣2，﹣1）D．[﹣1，1）
3．已知，，则tanθ=（）
A．﹣2 B．C．D．
4．设，是两个非零向量，则“•＜0”是“，夹角为钝角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．设变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最大值为（）
A．﹣2 B．2 C．3 D．4
6．执行如图所示的程序框图，输出的n为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．函数的图象可以由函数y=cos2x的图象经过（）
A．向右平移个单位长度得到B．向右平移个单位长度得到
C．向左平移个单位长度得到D．向左平移个单位长度得到
8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）
A．B．C．2 D．
9．甲邀请乙、丙、丁三人加入了微信群聊“兄弟”，为庆祝兄弟相聚甲发了一个9元的红包，被乙、丙、丁三人抢完，已知三人均抢到整数元，且每人至少抢到2元，则丙获得“手气王”（即丙领到的钱数不少于其他任何人）的概率是（）A．B．C．D．
10．如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是（）
A．PB⊥AC B．PD⊥平面ABCD
C．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD
11．已知A，B，C是圆O：x2+y2=1上的动点，且AC⊥BC，若点M的坐标是（1，1），则的最大值为（）
A．3 B．4 C．D．
12．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，设函数f（x）的导函数为f'（x），若对任意x＞0都有2f（x）+xf'（x）＞0成立，则（）
A．4f（﹣2）＜9f（3）B．4f（﹣2）＞9f（3）
C．2f（3）＞3f（﹣2）D．3f（﹣3）＜2f（﹣2）
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．高三（2）班现有64名学生，随机编号为0，1，2，…，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1，2，3，…，8．现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第一组中随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为．14．已知函数的最小值为6，则正数m的值为．15．已知△ABC 的面积为，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c ，，则a的最小值为．
16．已知双曲线的右焦点为F，过点F
作圆
的切线，若该切线恰好与C的一条渐近线垂直，则双曲线C的离心率为．
三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）已知数列{a n}的前n 项和，数列{b n}满足b n=S n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）求数列{b n}的前n项和T n．
18．（12分）微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动”是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号．手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK或点赞．现从小明的微信朋友圈内随机选取了40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下表：
若某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为“积极型”，否则被系统评定为“懈怠型”．
（1）利用样本估计总体的思想，试估计小明的所有微信好友中每日走路步数超过10000步的概率；
（2）根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．设M，N分别为PD，AD的中点．
（1）求证：平面CMN∥平面PAB；
（2）求三棱锥P﹣ABM的体积．
20．（12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为2．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若，求证：点（m，k）在定圆上．
21．（12分）设函数f（x）=2lnx﹣mx2+1．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当f（x）有极值时，若存在x0，使得f（x0）＞m﹣1成立，求实数m的取值范围．
选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α
为参数），直线C2的方程为，以O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；
（2）若直线C2与曲线C2交于P，Q两点，求|OP|•|OQ|的值．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．设函数f（x）=|2x﹣3|．
（1）求不等式f（x）＞5﹣|x+2|的解集；
（2）若g（x）=f（x+m）+f（x﹣m）的最小值为4，求实数m的值．
2017-2018学年江西省南昌市高三（上）摸底数学试卷（文
科）
参考答案与试题解析
一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数z满足（1+i）z=2，则复数z的虚部为（）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
【考点】A2：复数的基本概念．
【专题】34 ：方程思想；4R：转化法；5N ：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．
【解答】解：（1+i）z=2，
∴z===1﹣i．
则复数z的虚部为﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．设集合A={x|﹣2≤x≤1}，，则A∩B=（）A．[﹣2，1）B．（﹣1，1]C．[﹣2，﹣1）D．[﹣1，1）
【考点】1E：交集及其运算．
【专题】11 ：计算题；37 ：集合思想；4O：定义法；5J ：集合．
【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．
【解答】解：由B可得：x2﹣2x﹣3＞0，即（x﹣3）（x+1）＞0，
解得x＜﹣1或x＞3，即B=（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），
∵集合A={x|﹣2≤x≤1}=[﹣2，1]
∴A∩B=[﹣2，﹣1）
故选：C．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
3．已知，，则tanθ=（）
A．﹣2 B．C．D．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．
【专题】35 ：转化思想；49 ：综合法；56 ：三角函数的求值．
【分析】根据同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得tanθ的值．
【解答】解：∵已知，，∴cosθ=﹣=﹣，则tanθ==﹣，
故选：C．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
4．设，是两个非零向量，则“•＜0”是“，夹角为钝角”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】5L ：简易逻辑．
【分析】根据向量数量积的意义以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若，夹角为钝角，则，则cosθ＜0，则•＜0成立，
当θ=π时，•=﹣||•||＜0成立，但“，夹角为钝角”不成立，
故“•＜0”是“，夹角为钝角”的必要不充分条件，
故选：B
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量数量积与向量夹角
之间的关系是解决本题的关键．
5．设变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最大值为（）
A．﹣2 B．2 C．3 D．4
【考点】7C：简单线性规划．
【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；41 ：向量法；5T ：不等式．
【分析】作出约束条件对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．
【解答】解：作出约束条件，
对应的平面区域如图：
由z=3x﹣2y得y=x﹣，
平移直线y=x，经过点A时，直线y=x﹣的截距最小，此时z最大．
由，解得A（1，0），
此时z max=3×1﹣0=3，
故选：C
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解
决本题的关键．
6．执行如图所示的程序框图，输出的n为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】EF：程序框图．
【专题】11 ：计算题；28 ：操作型；5K ：算法和程序框图．
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当n=1时，f（x）=1，满足f（x）=f（﹣x），不满足f（x）=0有解，故n=2；
当n=2时，f（x）=2x，不满足f（x）=f（﹣x），故n=3；
当n=3时，f（x）=3x2，满足f（x）=f（﹣x），满足f（x）=0有解，
故输出的n为3，
故选：C
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
7．函数的图象可以由函数y=cos2x的图象经过（）
A．向右平移个单位长度得到B．向右平移个单位长度得到
C．向左平移个单位长度得到D．向左平移个单位长度得到
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；57 ：三角函数的图像与性质．
【分析】根据函数图象的伸缩变换法则和平移变换法则，易得变换方式．
【解答】解：函数y=cos2x的周期为π，
向右平移四分之一个周期，即，可得函数y=sin2x的图象，
在向左平移个单位，可得函数的图象，
综上可得：函数的图象可以由函数y=cos2x的图象经过向右平移
个单位长度得到，
故选：A
【点评】本题考查的知识点是函数图象的变换，难度中档．
8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）
A．B．C．2 D．
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【专题】11 ：计算题；5F ：空间位置关系与距离；5Q ：立体几何．
【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，画出直观图，代入锥体体积公式，可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，其直观图如下图所示：
故其体积V==，
故选：A
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，根据已知中的三视图分析出几何体的形状，是解答的关键．
9．甲邀请乙、丙、丁三人加入了微信群聊“兄弟”，为庆祝兄弟相聚甲发了一个9元的红包，被乙、丙、丁三人抢完，已知三人均抢到整数元，且每人至少抢到2元，则丙获得“手气王”（即丙领到的钱数不少于其他任何人）的概率是（）A．B．C．D．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．
【专题】11 ：计算题；37 ：集合思想；4O：定义法；5I ：概率与统计．
【分析】设乙、丙、丁分别领到x元、y元、z元，记为（x，y，z），列举出基本事件有10个，其中符合丙获得“手气王”的有4个，由此能求出丙获得“手气王”的概率．
【解答】解：设乙、丙、丁分别领到x元、y元、z元，记为（x，y，z），
则基本事件有：
（1，1，4），（1，4，1），（4，1，1），（1，2，3），（1，3，2），（2，1，3），（2，3，1），（3，1，2），（3，2，1），（2，2，2），共10个，
其中符合丙获得“手气王”的有4个，
∴丙获得“手气王”（即丙领到的钱数不少于其他任何人）的概率：
P=．
故选：C．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
10．如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是（）
A．PB⊥AC B．PD⊥平面ABCD
C．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD
【考点】LZ：平面与平面垂直的性质．
【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；44 ：数形结合法；5F ：空间位置关系与距离．
【分析】在A中，取PB中点O，连结AO、CO，推导出PB⊥平面AOC，从而PB ⊥AC；在B中，推导出PD与AC不垂直，从而PD与平面ABCD不垂直；在C中，推导出AC⊥PB，AC⊥BD，PB∩BD=B，从而AC⊥平面PBD，进而AC⊥PD；在D 中，由AC⊥平面PBD，得到平面PBD⊥平面ABCD．
【解答】解：在A中，取PB中点O，连结AO、CO，
∵四棱锥P﹣ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，
∴AO⊥PB，CO⊥PB，
∵AO∩CO=O，∴PB⊥平面AOC，
∵AC⊂平面AOC，∴PB⊥AC，故A成立；
在B中，∵△PAB与△PBC是正三角形，∴PA=PC，AB=AC，
设AC∩BD=M，连结PM，则PM⊥AC，∴PD与AC不垂直，
∴PD与平面ABCD不垂直，故B不成立；
在C中，∵PB⊥平面AOC，AC⊂平面AOC，∴AC⊥PB，
∵AC⊥BD，PB∩BD=B，∴AC⊥平面PBD，
∵PD⊂平面PBD，∴AC⊥PD，故C成立；
在D中，∵AC⊥平面PBD，AC⊂平面ABCD，
∴平面PBD⊥平面ABCD，故D成立．
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查线面、线线、面央间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
11．已知A，B，C是圆O：x2+y2=1上的动点，且AC⊥BC，若点M的坐标是（1，1），则的最大值为（）
A．3 B．4 C．D．
【考点】J9：直线与圆的位置关系．
【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4R：转化法；5B ：直线与圆．
【分析】设A（cosθ，sinθ），B（﹣cosθ，﹣sinθ），C（cosα，sinα），其中0≤θ＜2π，0≤α＜2π，由M（1，1），求出=（cosα﹣3，sinα﹣3），从而
||==，当且仅当sin （）时，||取最大值．
【解答】解：∵A，B，C是圆O：x2+y2=1上的动点，且AC⊥BC，
∴设A（cosθ，sinθ），B（﹣cosθ，﹣sinθ），C（cosα，sinα），其中0≤θ＜2π，0≤α＜2π，
∵M（1，1），
∴=（cosθ﹣1，sinθ﹣1）+（﹣cosθ﹣1，﹣sinθ﹣1）+（cosα﹣1，sinα﹣1）=（cosα﹣3，sinα﹣3），
∴||=
=
=，
当且仅当sin（）时，
||取最大值=3+1．
故选：D．
【点评】本题考查向量的模的最大值的求法，考查圆的参数方程、三角形数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
12．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，设函数f（x）的导函数为f'（x），若对任意x＞0都有2f（x）+xf'（x）＞0成立，则（）
A．4f（﹣2）＜9f（3） B．4f（﹣2）＞9f（3） C．2f（3）＞3f（﹣2） D．3f （﹣3）＜2f（﹣2）
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；52 ：导数的概念及应用．
【分析】根据题意，令g（x）=x2f（x），求其求导分析可得当x＞0时，有g′（x）=x[2f（x）+xf'（x）]＞0成立，即函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，结合题意分析函数g（x）为偶函数，进而有g（﹣2）＜g（3），转化为f（x）分析可得答案．
【解答】解：根据题意，令g（x）=x2f（x），其导数g′（x）=2xf（x）+x2f′（x），又由对任意x＞0都有2f（x）+xf'（x）＞0成立，
则当x＞0时，有g′（x）=x[2f（x）+xf'（x）]＞0成立，即函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，
又由函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（﹣x）=f（x），
则有g（﹣x）=（﹣x）2f（﹣x）=x2f（x）=g（x），即函数g（x）为偶函数，
则有g（﹣2）=g（2），且g（2）＜g（3），
则有g（﹣2）＜g（3），
即有4f（﹣2）＜9f（3）；
故选：A．
【点评】本题考查函数的导数与单调性的关系，涉及函数的奇偶性、单调性的综合应用，关键是构造函数g（x），并分析函数的单调性．
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．高三（2）班现有64名学生，随机编号为0，1，2，…，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1，2，3，…，8．现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第一组中随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为45．【考点】B4：系统抽样方法．
【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；5I ：概率与统计．
【分析】先求出分组间隔为，再由在第一组中随机抽取的号码为5，能求出在第6组中抽取的号码．
【解答】解：高三（2）班现有64名学生，随机编号为0，1，2， (63)
依编号顺序平均分成8组，组号依次为1，2，3， (8)
分组间隔为，
∵在第一组中随机抽取的号码为5，
∴在第6组中抽取的号码为：5+5×8=45．
故答案为：45．
【点评】本题考查样本号码的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意系统抽样的性质的合理运用．
14．已知函数的最小值为6，则正数m的值为4．
【考点】7F：基本不等式．
【专题】34 ：方程思想；4R：转化法；59 ：不等式的解法及应用．
【分析】由x＞2，可得y=x﹣2++2≥+2=2+2，再利用函数
的最小值为6，可得2+2=6，解得m．
【解答】解：∵x＞2，∴y=x﹣2++2≥+2=2+2，
又函数的最小值为6，∴2+2=6，解得m=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．已知△ABC的面积为，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，，
则a的最小值为2．
【考点】HP：正弦定理．
【专题】11 ：计算题；56 ：三角函数的求值；58 ：解三角形．
【分析】利用余弦定理列出关系式，把cosA的值代入，利用基本不等式求出a 的最小值即可．
【解答】解：由三角形面积公式得：S=bcsinA=bc=2，即bc=8，
根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc=8，
则a≥2，即a的最小值为2，
故答案为：2．
【点评】此题考查了余弦定理，特殊角的三角函数值，三角形面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
16．已知双曲线的右焦点为F，过点F作圆
的切线，若该切线恰好与C的一条渐近线垂直，则双曲线C的
离心率为2．
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得切线方程，利用点到直线的距离公式，求得圆心到切线的距离d=，利用椭圆的离心率公式即可求得双曲线的离心率．
【解答】解：由双曲线的一条渐近线y=x，由题意可知该切线方程为y=﹣（x ﹣c），即ax+by﹣ac=0，
由圆的圆心为C（a，0）到切线的距离d===，
由e=，则e2﹣4e+4=0，解得：e=2，
双曲线C的离心率e=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，考查计算能力，属
于中档题．
三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）已知数列{a n}的前n 项和，数列{b n}满足b n=S n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）求数列{b n}的前n项和T n．
【考点】8E：数列的求和．
【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；54 ：等差数列与等比数列．
【分析】（1）求出数列的首项，利用数列的第n项与前n项和的关系求解数列的通项公式．
（2）化简通项公式，然后求解数列的和即可．
【解答】解：（1）∵，∴当n=1时，；
当n≥2时，，
又∵，∴．…（6分）
（2）由已知，，
∴T n=b1+b2+b3+…+b n=（22+23+24+…+2n+1）﹣2n=．…（12
分）
【点评】本题考查数列求和，通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力．
18．（12分）微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动”是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号．手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK或点赞．现从小明的微信朋友圈内随机选取了40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下表：
若某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为“积极型”，否则被系统评定为“懈怠型”．
（1）利用样本估计总体的思想，试估计小明的所有微信好友中每日走路步数超过10000步的概率；
（2）根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？
【考点】BO：独立性检验的应用．
【专题】38 ：对应思想；4A ：数学模型法；5I ：概率与统计．
【分析】（1）根据表中数据，计算所求的概率值；
（2）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．
【解答】解：（1）根据表中数据可知，40位好友中走路步数超过10000步的有8人，
∴利用样本估计总体的思想，估计小明的所有微信好友中每日走路步数
超过10000步的概率；…（6分）
（2）根据题意完成下面的2×2列联表如下：
计算观测值，
∴没有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关．…（12分）
【点评】本题考查了概率与对立性检验的应用问题，是基础题．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．设M，N分别为PD，AD的中点．
（1）求证：平面CMN∥平面PAB；
（2）求三棱锥P﹣ABM的体积．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LU：平面与平面平行的判定．
【专题】14 ：证明题；31 ：数形结合；45 ：等体积法；5F ：空间位置关系与距离．
【分析】（1）推导出MN∥PA，从而MN∥平面PAB，再推导出CN∥AB，从而CN∥平面PAB，由此能证明平面CMN∥平面PAB．
（2）点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离，三棱锥P﹣ABM的体=V C﹣PAB=V P﹣ABC，由此能求出结果．
积V=V M
﹣PAB
【解答】证明：（1）∵M，N分别为PD，AD的中点，
∴MN∥PA．
又∵MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
∴MN∥平面PAB．
在Rt△ACD中，∠CAD=60°，CN=AN，∴∠ACN=60°．
又∵∠BAC=60°，∴CN∥AB．
∵CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CN∥平面PAB．
又∵CN∩MN=N，∴平面CMN∥平面PAB．…（6分）
解：（2）由（1）知，平面CMN∥平面PAB，
∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离．
由已知，AB=1，∠ABC=90°，∠BAC=60°，∴，
∴三棱锥P﹣ABM的体积：
．…（12分）
【点评】本题考查面面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．
20．（12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为2．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若，求证：点（m，k）在定圆上．
【考点】K4：椭圆的简单性质．
【专题】34 ：方程思想；4R：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设焦距为2c，由已知，2b=2，a2=b2+c2联立解得．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线方程与椭圆方程联立得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，依题意，△＞0，化简得m2＜4k2+1，若，则，即
4y1y2=5x1x2，利用根与系数的关系代入化简即可得出．
【解答】（1）解：设焦距为2c，由已知，2b=2，a2=b2+c2．
∴b=1，a=2，
∴椭圆C的标准方程为．…（4分）
（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），
联立得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
依题意，△=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）＞0，化简得m2＜4k2+1，①
，
，
若，则，即4y1y2=5x1x2，
∴，
∴，
即（4k2﹣5）（m2﹣1）﹣8k2m2+m2（4k2+1）=0，化简得，②
由①②得．
∴点（m，k）在定圆上．
【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、点与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21．（12分）设函数f（x）=2lnx﹣mx2+1．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当f（x）有极值时，若存在x0，使得f（x0）＞m﹣1成立，求实数m的取值范围．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．
【专题】11 ：计算题；32 ：分类讨论；35 ：转化思想；49 ：综合法；53 ：导数的综合应用．
【分析】（1）求出函数的定义域，函数的导数，通过m的范围，判断导函数的符号，求解函数的单调区间即可．
（2）利用函数有极值，结合（1）函数的单调性求解函数的最值，然后构造不等式，通过函数的最值求解即可．
【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，
当m≤0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当m＞0时，解f'（x）＞0得，
∴f（x）在上单调递增，在上单调递减．…（6分）
（2）由（1）知，当f（x）有极值时，m＞0，且f（x）在上单调递增，在上单调递减，
∴
若存在x0，使得f（x0）＞m﹣1成立，则f（x）max＞m﹣1成立．
即﹣lnm＞m﹣1成立，令g（x）=x+lnx﹣1，
∵g（x）在（0，+∞）上单调递增，且g（1）=0，∴0＜m＜1．
∴实数m的取值范围是（0，1）．…（12分）
【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值以及函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．
选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α
为参数），直线C2的方程为，以O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；
（2）若直线C2与曲线C2交于P，Q两点，求|OP|•|OQ|的值．
【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．
【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；5S ：坐标系和参数方程．
【分析】（1）首先把圆的参数方程转化为普通方程，进一步转化为极坐标方程，再把直线方程转化为极坐标方程．
（2）根据（1）所得到的结果，建立方程组求得结果．
【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），
转化为普通方程：，
即，
则C1的极坐标方程为，…（3分）
∵直线C2的方程为，
∴直线C2的极坐标方程．…
（2）设P（ρ1，θ1），Q（ρ2，θ2），
将代入，
得：ρ2﹣5ρ+3=0，
∴ρ1•ρ2=3，
∴|OP|•|OQ|=ρ1ρ2=3．…（10分）
【点评】本题考查的知识要点：直角坐标方程和极坐标方程的转化，参数方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程与的应用，属于基础题型．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．设函数f（x）=|2x﹣3|．
（1）求不等式f（x）＞5﹣|x+2|的解集；
（2）若g（x）=f（x+m）+f（x﹣m）的最小值为4，求实数m的值．
【考点】3H：函数的最值及其几何意义；R5：绝对值不等式的解法．
【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；45 ：等体积法；49 ：综合法；5T ：
不等式．
【分析】（1）化简f（x）＞5﹣|x+2|为|2x﹣3|+|x+2|＞5，通过当时，
时，去掉绝对值符号，求解即可；
（2）利用绝对值的几何意义求解推出|m|=4，解得m=±1．
【解答】解：（1）∵f（x）＞5﹣|x+2|可化为|2x﹣3|+|x+2|＞5，
∴当时，原不等式化为（2x﹣3）+（x+2）＞5，解得x＞2，∴x＞2；
当时，原不等式化为（3﹣2x）+（x+2）＞5，解得x＜0，∴﹣2＜x＜0；当x≤﹣2时，原不等式化为（3﹣2x）﹣（x+2）＞5，解得，∴x≤﹣2．综上，不等式f（x）＞5﹣|x+2|的解集为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．…
（2）∵f（x）=|2x﹣3|，
∴g（x）=f（x+m）+f（x﹣m）=|2x+2m﹣3|+|2x﹣2m﹣3|≥|（2x+2m﹣3）﹣（2x﹣2m﹣3）|=|4m|，
∴依题设有4|m|=4，解得m=±1．…（10分）
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的几何意义，考查转化思想以及计算能力．。