【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第1部分 专题二 第三讲 平 面

"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分 专题二 第三讲 平 面 向 量(选择、
填空题型) （以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "
一、选择题
1．已知a ，b ，c 是平面向量，下列命题中真命题的个数是( ) ①(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )； ②|a ·b |＝|a ||b |； ③|a ＋b |2
＝(a ＋b )2;
④a ·b ＝b ·c ⇒a ＝c . A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选A 由平面向量的基础知识可知①②④均不正确，只有③正确．
2．(2013·潍坊模拟)如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为BC 的中点，则AE ·BD ＝( )
A ．－3
B ．0
C ．－1
D ．1
解析：选 C AE ·BD ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫AB ＋12 AD ·(AD －AB )＝12|AD |2－|AB |2
＋
12AB ·AD ＝2－4＋1
2×2×2×12
＝－1.
3．(2013·哈尔滨模拟)已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM ＝λOB ＋(1－λ)OA ，实数λ∈(1,2)，则( )
A ．点M 在线段A
B 上 B ．点B 在线段AM 上
C ．点A 在线段BM 上
D ．O ，A ，M ，B 一定共线
解析：选B 依题意得OM －OA ＝λ(OB －OA )，即AM ＝λAB .又λ∈(1,2)，因此点B 在线段AM 上．
4．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2
D ．－1
解析：选B m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，因为(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋
n )·(m －n )＝0，所以(2λ＋3)×(－1)＋3×(－1)＝0，解得λ＝－3.
5．在四边形ABCD 中，AC ＝(1,2)，BD ＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )
A. 5 B ．2 5 C ．5
D ．10
解析：选C 依题意得，AC ·BD ＝1×(－4)＋2×2＝0，所以AC ⊥BD ，所以四边形ABCD 的面积为12|AC |·|BD |＝1
2
×5×20＝5.
6．(2013·青岛模拟)已知a ，b 是平面向量，若a ⊥(a －2b )，b ⊥(b －2a )，则a 与b 的夹角是
( )
A.π
6 B.π3
C.2π3
D.5π6
解析：选B 记向量a ，b 的夹角为θ，依题意得⎩⎪⎨
⎪⎧
a
a －2
b ＝0，b
b －2a ＝0，
即|a |2＝|b |
2
＝2a ·b ＝2|b |2
cos θ，cos θ＝12，θ＝π3，即向量a ，b 的夹角为θ＝π3
.
7．△ABC 中，AB 边上的高为CD ，若CB ＝a ，CA ＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则
AD ＝
( )
A.13a －1
3b B.23a －23b
C.35a －35
b D.45a －45
b
解析：选D 如图所示，∵a ·b ＝0，
∴a ⊥b ，∴∠ACB ＝90°， ∴AB ＝AC 2
＋BC 2
＝ 5. 又CD ⊥AB ，
∴AC 2
＝AD ·AB ，∴AD ＝455.
∴AD ＝45AB ＝45(a －b )＝45a －4
5
b .
8．已知点D 为等腰直角三角形ABC 斜边AB 的中点，则下列等式中不恒成立的是( )
A ．CD ＝CA |CA |＋CB
|CB |
B ．A
C 2
＝AC ·AB
C ．BC 2
＝BC ·BA
D ．(CA ＋CB )·(CA －CB )＝0
解析：选A 因为点D 是AB 的中点，所以CD ＝12CA ＋1
2CB ，故A 不恒成立；利用向
量的数量积的定义，结合直角三角形的性质可知B ，C ，D 都恒成立．
9.如图，在边长为1的正三角形ABC 中，E 、F 分别为边AB 、AC 上的动点，且满足AE ＝m AB ，AF ＝n AC ，其中m 、n ∈(0,1)，m ＋n ＝1，M 、N 分别是EF 、BC 的中点，则|MN |的最小值为( )
A.2
4 B.
33 C.34
D.
53
解析：选C 在△ABC 中，连接AM ，AN ，则有MN ＝AN －AM ， AN ＝1
2
(AB ＋
AC )，AM ＝12(AE ＋AF )，则MN ＝12(AB ＋AC －AE －AF )＝1－m 2AB ＋1－n
2
AC ，∴|MN |2
＝
－m
2
4
＋
－n 2
4
＋
－m
－n
4
.又m ＋n ＝1，∴|MN |2
＝
m 2－m ＋14
＝14⎝ ⎛
⎭⎪⎫m －122＋316，则当m ＝12时，|MN |取最小值3
4
.
10.如图所示，等边三角形ABC 的边长为2，D 为AC 的中点，且△ADE 也是等边三角形．在△ADE 以点A 为中心向下转动到稳定位置的过程中，BD ·CE 的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，43 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，53 解析：选 A 如图所示，在△ADE 转动的过程中，设∠BAD ＝θ，则∠CAE ＝θ，θ∈
⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以BD ·CE ＝(BA ＋AD )·(CA ＋AE )＝|BA |·|CA |cos 60°＋|AD |·|AE |·cos 60°＋BA ·AE ＋AD ·CA ＝－2cos θ＋52，又cos θ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1，
所以BD ·CE 的取值范围为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，32.
二、填空题
11．(2013·北京高考)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，则λ
μ
＝________.
解析：设i ，j 分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，所以－i －3j ＝λ(－i ＋j )＋μ(6i ＋2j )，根据平面向量基本定理得λ＝－2，μ＝－12，所以λ
μ
＝4.
答案：4
12．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b ，若b·c ＝0，则t ＝________.
解析：因为向量a ，b 为单位向量，所以b 2
＝1，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a·b ＝12.由b·c ＝0得b ·[ta ＋(1－t )b ]＝0，即ta·b ＋(1－t )b 2
＝0，所以12t ＋(1－t )＝0，所以t ＝2.
答案：2
13．设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π
3
，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在
b 方向上的射影为________．
解析：依题意得|e 1|＝|e 2|＝1且e 1·e 2＝1
2
，所以|a |＝
1＋6×1
2
＋9＝13，|b |＝2，
所以向量a 在b 方向上的射影为|a |cos 〈a ，b 〉＝a ·b
|b |＝2＋6×
122＝52
.
答案：52
14．(2013·威海模拟)已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2
＋y 2
＝4交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量OA 、OB 满足|OA ＋OB |＝|OA －OB |，则实数a 的值是________．
解析：由|OA ＋OB |＝|OA －OB |，得|OA ＋OB |2
＝|OA －OB |2
，即|OA |
2
＋|OB |2
＋2OA ·OB ＝|OA |2
＋|OB |2
－2OA ·OB ，所以OA ·OB ＝0，因此OA ⊥
OB .在等腰Rt △OAB 中，圆心O 到直线x ＋y ＝a 的距离为d ＝
2
2
|a |＝2，所以|a |＝2，故a ＝±2.
答案：±2
15．(2013·杭州模拟)如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝60°，C 为弧AB 上的一个动点．若
OC ＝x OA ＋y OB ，则x ＋3y 的取值范围是________．
解析：设半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，建立直角坐标系，其中B (1,0)，A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，32，C (cos θ，sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中∠BOC ＝θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π3，则有OC ＝(cos
θ，sin θ)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，32＋y (1,0)，整理得⎩⎪⎨⎪⎧
x
2＋y ＝cos θ，sin θ＝3
2
x ，解得x ＝2sin θ
3
，y ＝
cos θ－sin θ3，故x ＋3y ＝2sin θ3＋3cos θ－3sin θ＝3cos θ－3
3sin θ，其中
0≤θ≤π3，易知f (θ)＝3cos θ－3
3
sin θ为减函数，由单调性易得其值域为[1,3]．
答案：[1,3]
16.如图所示，两个非共线向量OA 、OB 的夹角为θ，M 、N 分别为OA 、OB 的中点，点C 在直线MN 上，且OC ＝x OA ＋y OB (x ，y ∈R)，则x 2
＋y 2
的最小值为________．
解析：法一：当θ＝90°，|OA |＝|OB |＝1时，建立直角坐标系，得x ＋y ＝1
2
，所
以x 2＋y 2的最小值为原点到直线x ＋y ＝12
的距离的平方，即x 2＋y 2的最小值为⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
1222
＝18.
法二：因为点C 、M 、N 共线，所以OC ＝λOM ＋μON (λ，μ∈R)，有λ＋μ＝1.又M 、N 分别为OA 、OB 的中点，所以OC ＝λOM ＋μON ON ＝12λOA ＋1
2
μOB ＝
x OA ＋y OB ，则原题可转化为当x ＋y ＝1
2
时，求x 2＋y 2的最小值问题．由x 2＋y 2的几何意
义可知x 2
＋y 2
的最小值
即为原点到直线x ＋y ＝12
的距离的平方，即x 2＋y 2的最小值为⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
1222
＝18.
答案：18。