四川省成都树德中学高二数学上学期期中考试试题(理)

四川省成都树德中学2008-2009学年度高二数学上学期期中
考试试题（理）
第I 卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
１．直线ax+y+1=0平行于直线x+ay+1=0，则a=（ ）
A ．1
B ．－1
C ．0
D ．不存在
２．若2
2
0,21
x y x y x y +≥⎧+⎨
+≤⎩则的取值范围是（ ）
A ．2⎣
B ．22⎡-⎢⎣⎦
C ．2⎡-⎢⎣
D ．⎡⎣ ３．方程x 2＋y 2＋2kx ＋4y ＋3k ＋8＝0表示圆，则k 的取值范围是
（ ） A ．k ＜－1或k ＞4 B ．k ＝－1或k ＝4 C ．－1＜k ＜4
D ．－4＜k ＜1
４．曲线()()2cos :0232sin x C y k x y θ
θπθ
=⎧≤≤=-+⎨=⎩与直线有两个不同的交点，则k 的范围
为（ ） A ．53,124⎛⎤
⎥⎝⎦ B ．53,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．53,124⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．53,124⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
５．方程2
2
sin 2cos 1x y θθ+=表示椭圆，则θ的取值范围是 （ ） A ．2,2,2k k k Z πππ⎛⎫
+
∈ ⎪⎝
⎭ B ．,,2k k k Z πππ⎛
⎫+∈ ⎪⎝
⎭
C.2,2,6k k k Z πππ⎛
⎫
+
∈ ⎪⎝
⎭
D ．(2,2)(2,2),662k k k k k Z πππ
ππππ+++∈U ６．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M 、N 两点，过两点O 与线段MN 之中点的直线的
斜率为2
2
，则n m 的值是
（ ）
A ．
2
2
B ．
332 C ．2
2
9
D ．
27
3
2 ７．下列命题题正确的有 （ ）
（1）标准田径运动场是一个椭圆
（2）经过点（00,x y ）的所有直线程可以写成()()000A x x B y y -+-= （3）曲线
2x y =+-表示椭圆
（4）方程111x y -+-=所表示的图形是正方形
A ．（１）、（2）、（3）、（4）
B ．（2）、（3）、（4）
C ．（1）、（2）、（3）
D ．（2）、（4） ８．已知圆的方程为08622=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 （ ） A ．106 B ．206 C ．306 D ．406
９．已知向量a ＝(2cosα，2sinα)，b ＝(3cosβ，3sinβ)，a 与b 的夹角为60o ，则直线x cosα－y sinα＋1＝0与圆(x －cosβ)2＋(y ＋sinβ)2＝1的位置关系是
A ．相切
B ．相交
C ．相离
D ．随α、β的值而定 １０．过椭圆的一个焦点(,0)F c -，倾斜角为3
arccos
4
的直线交椭圆于,A B 两点，若||:||1:3AF BF =，则椭圆的离心率为 （ ）
Ａ．
13 Ｂ．23
C.
D. 11．椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的两焦点分别为1F 、2F ，以1F 2F 为边作正三角形，
若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为 （ ） A.
12
B. 2
C. 1
D. 4-
12. 如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p 、q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”．已知常数p ≥0，q ≥0，给出下列命题：
①若p ＝q ＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点有 且仅有1个；
②若pq ＝0，且p ＋q ≠0，则“距离坐标”
1
l 2
l O
M （p ，q ）
为（p ，q ）的点有且仅有2个； ③若pq ≠0，则“距离坐标”为（p ，q ） 的点有且仅有4个．上述命题中， 正确命题的个数是 （ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3．
四川省成都树德中学2010届高二上学期期中考试（数学理）
第Ⅱ卷（非选择题 共９０分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应置．
１３．如果点P 在平面区域22020210x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪-⎩
≥≤≥上，点Q 在曲线22
(2)1x y ++=上，那么PQ 的
最小值为
１４．设A(1，3)，F 为椭圆118
242
2=+y x 的左焦点，点M 在椭圆上运动，当|AM|＋2|MF|取最
小值时，点M 的坐标是 .
１５．点P 为圆2
2
1x y +=上一点，A （-1，0），B （1，0）．连结AP 并延长至点M ，使P M
P B
=，
则点M 形成的曲线的面积为
１６．已知12,F F 是椭圆22
221x y a b
+= 的两个焦点，P 是椭圆上的一点，且
02121290F PF F pF b ∠=∠,则的面积是，请将题目中所空缺的一个可能条件填入“ ”
处
三：解答题（本题共6小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程和重要的演算
步骤）
17． （本小题满分12分）
求圆心在直线4y x =-上，并且与直线:10l x y +-=相切于点Ｐ(3,2)-的圆的方程
1８．（本小题满分12分） 在ABC ∆中，点(,0),(,0)(0)A c B c c ->，边ＡＣ、ＢＣ所在直线斜率之积为(,0)k k R k ∈<，求点C 的轨迹
１９．（本小题满分12分）
打开软件《几何画板》作⊙F 1：222(16,x y F +=，在⊙F 1上取点P ，连结PF 2，作出线段PF 2的垂直平分线交PF 1于M 。

当点P 在⊙F 1 上运动时形成曲线Ｃ．（如图） （１）．求曲线Ｃ的轨迹方程
（２）．过点2F 的直线l 交曲线C 于R ，T 两点， 满足｜|RT ＝
3
2
，求直线l 的方程。

（３）点Q 在曲线C 点，且满足123
F QF π
∠=，求12F F Q S ∆
２０．（本小题满分12分）
ABC ∆中,A,B,C 所对的边个别为,,a b c 且c =10,
cos 4
cos 3
A b
B a ==，P 为AB
C ∆的内切圆上动点，求以PA ，PB ，PC 为直径的三个圆面积之和S 的最大值和最小值。

２１．（本小题满分1３分）
椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。

（1）求椭圆的方程及离心率； （2）若0=⋅，求直线PQ 的方程； （3）设AQ AP λ=（1>λ），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，
证明FQ FM λ-=。

2２．（本小题满分1３分）一束光线从点1(1,0)F -出发,经直线:230l x y -+=上点P 反射后,恰好穿过点2(1,0)F .
(I)求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标; (II)求以1F 、2F 为焦点且过点
P 的椭圆C 的方程; (III)设直线l 与椭圆C 的两条准线分别交于A B 、两点,点Q 为线段AB 上的动点,求点Q 到
2F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值,并求取得最小值时点Q 的坐标.
参考答案 高二（数学理）
一：选择题
题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答案 B
Ｃ Ａ Ａ Ｄ Ａ D
Ｂ Ｃ Ｂ
Ｃ
Ｄ
二：填空题 １３．
32
１４．(- １５．32π+
１６．满足|||a b ≥的任意条件即可 三．解答题
17．解：设圆的方程为222()()(0)x a y b r r -+-=>
由题意有：42
(1)13
b a r b a ⎧
⎪=-⎪
=⎪+-=-⎪
-⎩•．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．６分
解之得14a b r ⎧=⎪
=-⎨⎪
=⎩
∴所求圆的方程为22(1)(4)8x y -++=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
18．解：设(,)(0)c x y y ≠，由题意有
y y
k x c x c
=+-• 整理得2
2
2
()y k x c =- 即为2
2
2
kx y kc -= 22
22
1x y c kc
+=-．．．．．．．．．．．．．．３分 当1k =-时，222x y c +=表示以坐标原点为圆心，c 为半径的圆
去掉(0,0)的部分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分
当10k -<<时，有22
c kc >-，曲线表示以原点为中心，焦点在x 轴的椭圆去掉点(,0)c ±的
部分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分
当1k <-时，有22
c kc <-，曲线表示以原点为中心，焦点在y 轴的椭圆
去掉点(,0)c ±．的部分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分
19．解：（１）由题意有2||||PM F M =
∴121||||||4MF MF PF +==
∴点M 表示以1F 、2F 为焦点的椭圆．
其方程为2
214
x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分
（２）设l 的方程为(y k x =代入22440x y +-=
整理有2222(14)1240k x x k +-+-= 设11(,)R x y ，22(,)T x y
椭圆右准线方程为：
x =
=e =
222212|||||||||))RT RF TF RR TT x x =+=
+=-
12123
)4)2
x x x x =
+=+=
∴125()22x x += 22
514k =+
解之有2
54k =
∴2
k =±
∴l 的方程为y x =．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分 （３）12||||4QF QF +=
222121212||||||2||||cos
3
F F QF QF QF QF π
=+-••
∴22121212||||||||QF QF QF QF =+-•
而12||||4QF QF += ∴221212||||2||||16QF QF QF QF ++=•
∴121212162||||||||QF QF QF QF =--•• ∴124
||||3
QF QF =
•
∴12S F F Q V =
121||||sin 23
QF QF π
••
14232=
⨯⨯3
=
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分 20．解：由正弦定理有
sin sin a b A B = ∴sin sin b B
a A
= ∴
cos sin cos sin A B
B A
= 则sin 2sin 2A B = 2
A B π
+=
或A B =（舍） 即2
C π
=
设4b k =，3a k =．∴222
25100a b k +== ∴2k = 则6a =，8b =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分 建立如图所示的坐标系，有(8,0)B ，(0,6)A
则共内切圆方程为22(2)(2)4x y -+-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分 设(22cos ,22sin )P θθ++
S =222||||||222PA PB PC π⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭ ()2
22||
||||4
PA PB PC π
=++
=
22[(22cos )(2sin 4)4
π
θθ++-22(2cos 6)(22sin )θθ+-++
22(22cos )(22sin )]θθ++++
[808cos ]4
π
θ=
-202cos ππθ=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
∴max 22S π=
min 18S π=．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ２１解：（1）由题意，可设椭圆的方程为)2(122
22>=+a y a
x 。

由已知得⎪⎩
⎪⎨⎧-==-).(2,22
22c c a c c a 解得2,6==c a -----------------------------2分 所以椭圆的方程为12622=+y x ，离心率3
6=e 。

--------------------------4分 （2）由（1）可得A （3，0）。

设直线PQ 的方程为)3(-=x k y 。

由方程组⎪⎩
⎪⎨⎧-==+)3(,1262
2x k y y x 得062718)13(2222=-+-+k x k x k 依题意0)32(122>-=∆k ，得3
636<<-k 。

--------------------------6分 设),(),,(2211y x Q y x P ，则13182221+=+k k x x ①， 1
36272221+-=k k x x ② 由直线PQ 的方程得)3(),3(2211-=-=x k y x k y 。

于是
]9)(3[)3)(3(2121221221++-=--=x x x x k x x k y y 。

③ ∵0=⋅，∴02121=+y y x x 。

④
由①②③④得152
=k ，从而)3
6,36(55-∈±=k 。

所以直线PQ 的方程为035=--y x 或035=-+y x -----------------8分 （3）证明：),3(),,3(2211y x y x -=-=。

由已知得方程组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-.126
,126
,),3(32
22221212121y x y x y y x x λλ注意1>λ，解得λλ2152-=x ，因),(),0,2(11y x M F -…..1１分 故),1)3((),2(1211y x y x FM -+-=--=λ),21(),21(
21y y λλλλ--=--=。

而),21(),2(222y y x λ
λ-=-=， 所以FQ FM λ-=。

---------------------------------------------------------------1３分 22．解
（1） 92
'(,)55
F - ．．．．．．．．．．．．．．．４分
（２）,122|||||||PF PFL F FL +=== ∴椭圆的方程为：2
212
x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．４分 （３）设00(,23)Q x x +0(22)x -≤≤
则200||2QF x ==-令02006244
x x x --+＝ｔ则200(46)420tx t x t -+++=而9010t ∆≥⇒≥-
∴
20||2QF x ≥=-043x =- 所以 41(,)33Q - ５分。