笛卡尔记号系统
集合的笛卡尔积集.ppt
覆盖
设(A，≺ )是一个偏序集， A是一个有限集，|A|=n。 对于任意的x，y∊A，且x≠y， 假设(x, y) ∊≺，即 x ≺ y。 如果对于∀z∊A，
由x ≺ z，且 z ≺ y，一定能够推出x=z或y=z， 那么我们说 y覆盖x。
例
A={1, 2, 3, 4} ≺={(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2), (1,3), (1,4), (2,4)}
⋯⋯⋯
({ e }, ≺)
反链? 链?
全序集
设(A，≺)是一个偏序集， 如果它本身就是一条链， 那么称之为全序集，并称≺ 为全序关系。
例 A={ a, b, c, d, e}
d c
e b
a
d
c e
b a
≺={ (a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e), (a,b), (a,c), (a,d), (a,e), (b,c), (b,d), (c,d), (e,d) }
✘✔ ✘ ✔
d
j
k
h
4
c
e
h
i
e
f
g
2
3b
f
g
b
c
d
1
a
bc de
a
a
图7.３(a)
(b)
(c)
(d)
命题 一个有限格，一定有最小元和最大元。
(1) 用数学归纳法证明一定有最小元如下： 设(A，≺)是一个有限格，记|A|=n。 当n=1时，结论显然成立。 归纳假设当n=k时，结论成立。考察n=k+1的情况： 不妨记 A={a1,…,ak, ak+1}=A’∪{ak+1} , 这里A’={a1,…,ak}, |A’|=k。 显然，(A’，≺)也是一个有限格 由归纳假设知道， (A’，≺)有最小元，不妨记之为d。 因为(A，≺)是一个格， 则A中存在d与ak+1的最大下界glb(d,ak+1), 可以说明它即为(A，≺)的最小元。
离散数学：第3讲 序偶与笛卡尔积
2020/12/29
序偶与笛卡尔积
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二元关系举例
例1: R1={<1,2>,<,>,<a,b>} R1是二元关系.
例2: R2={<1,2>,<3,4>,<白菜,小猫>} R2是二元关系.
例3: A={<a,b>,<1,2,3>,a,,1} A不是关系. #
AB={<1,2>},
BA={<2,1>}.
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序偶与笛卡尔积
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笛卡尔积非结合性
非结合: (AB)C A(BC) (除非 A= B= C=)
反例: A=B=C={1}. (AB)C={<<1,1>,1>}, A(BC)={<1,<1,1>>}.
AB= A=B=等
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序偶与笛卡尔积
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消去律
设A,B,C是任意集合, 若C, 则AC BC AB CA CB AB
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序偶与笛卡尔积
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消去律(证明)
若 C, 则AC BC AB. 证明(续): ()若A=,则AC=BC.
设 A. <x,y>, <x,y>AC xAyC
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序偶与笛卡尔积
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笛卡尔积(Cartesian product)
笛卡尔积 : 令A和B是任意两个集合，若 序偶的第一个成员是A中的元素，第二个 成员是B中的元素，所有这些序偶组成的 集合称为集合A和B的笛卡尔积或卡氏积， 记作A B。
符号学知识点总结
符号学知识点总结符号学是一门跨学科的研究领域，涉及语言学、哲学、文化研究、心理学等多个学科。
符号学的研究对象是符号，它包括语言、符号系统、符号的产生和传播过程以及符号与现实世界之间的关系。
符号学通过分析符号的结构、功能和意义来揭示人类语言和思维活动的本质，从而深化我们对世界的认识。
符号学的起源可以追溯到古希腊哲学家柏拉图和亚里士多德。
柏拉图认为世界是由理念和形式构成的，而语言和符号是对这些理念和形式的表达。
而亚里士多德则强调符号的能动性和创造性，认为符号是人类思维活动的产物。
在中世纪，符号学在宗教学和神学中得到了发展，诸如神秘符号、象征象征和语言符号等概念被引入符号学的研究范畴。
在现代符号学的发展过程中，瑞士学者苏萨尔提出了著名的符号学三角理论，即符号、指称和对象之间的关系。
他认为，符号是一个介于人类的感知和现实世界之间的中介物，它既不同于对象，也不同于指称，而是由人类自身的感知和语言建构而成的。
这一理论为后来符号学的发展提供了重要的理论基础。
在符号学的研究中，语言符号是一个重要的研究对象。
语言符号是人类认知和交流的基本工具，它不仅是一种传递信息的手段，还具有丰富的文化和心理含义。
语言符号的结构和功能是符号学研究的核心问题之一。
语言符号的结构涉及语音、形态、句法和语义等方面，而语言符号的功能则包括表达、交流、建构和表现等多个层面。
通过分析语言符号的结构和功能，可以更好地理解人类的语言现象和思维活动。
另外，符号学还研究了符号系统和符号的产生和传播过程。
符号系统是一种特定的符号组织形式，它包括语言、数字、图形、图像等多种形式，是人类认知和交流的基础。
符号的产生和传播过程是符号学关注的另一个重要问题，它涉及符号的生成、演变、传播和接受等多个方面。
通过分析符号的产生和传播过程，可以揭示符号与社会、文化和心理活动之间的关系。
符号学的研究对象还包括符号与现实世界之间的关系。
符号不仅是一种文化和语言现象，还反映了人类对世界的认知和理解。
量子力学之狄拉克符号系统与表象
Dirac符号系统与表象一、Dirac符号1.引言我们知道任一力学量在不同表象中有不同形式，它们都是取定了某一具体的力学量空间,即某一具体的力学量表象。
量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式A来表示一个矢量，而不用具体坐标系中的分量(Ax ,Ay,Az)表示一样。
量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。
这种抽象的描述方法是由Dirac首先引用的，本质是一个线性泛函空间，所以该方法所使用的符号称为Dirac 符号。
2.（1）.（或基组）（2（3<ψ|按定义有：ψψa）在同一确定表象中，各分量互为复共轭；b）由于二者属于不同空间所以它们不能相加，只有同一空间的矢量才能相加；c）右矢空间任一右矢可以和左矢空间中任一左矢进行标积运算，其结果为一复数。
（4）.本征函数的封闭性a）分立谱展开式：可得：因为|ψ>是任意态矢量，所以：b）连续谱对于连续谱|q>，q取连续值，任一状态|ψ>展开式为：因为|ψ>是任意态矢量，所以：这就是连续本征值的本征矢的封闭性。
c ）投影算符|Q n ><Q n |或|q><q|的作用相当一个算符，它作用在任一态矢|ψ>上，相当于把|ψ>投影到左基矢|Q n >或|q>上，即作用的结果只是留下了该态矢在|Q n >上的分量<Q n |ψ>或<q|ψ>。
故称|Q n ><Q n |和|q><q|为投影算符。
因为|ψ>在X 表象的表示是ψ(x,t)，所以显然有：在分立谱下：所以*(')()(')n n nu x u x x x δ=-∑。
在连续谱下：所以*(')()(')u ⎰。
3.（1X 即Q （2即有：4.到目前为止，体系的状态都用坐标(x,y,z)的函数表示，也就是说描写状态的波函数是坐标的函数。
1第一章 笛卡尔张量
序言张量分析对于现在的力学专业学生以及力学相关问题的解决，是应该掌握的重要数学工具。
事实上，如果没有张量的知识，就无法学习连续介质力学基本理论和阅读相关专业的文献资料。
无庸讳言，张量概念非常抽象，相对来说比较难于学习和把握。
但是，只要克服张量学习过程中的畏难情绪，抓住张量概念的关键点，梳理张量分析的基本数学规则，结合一定的力学实例的张量描述，从而建立张量分析的概念和基本分析方法，就能够为运用张量分析解决实际问题奠定坚实基础。
张量概念最早是由高斯(Gauss)、黎曼(Riemann)、克里斯托夫(Christoffel)等人在十九世纪发展微分几何过程中引入的，是从线性空间推广到非线性空间的纯粹数学的演绎，由于自然科学发展水平的限制，这种具有根本性变革的数学工具长期被自然科学领域所忽略。
直到1915年，爱因斯坦获得格罗斯曼的协助，借助张量分析这一数学工具创立了伟大的广义相对论，才凸显了张量分析在描述具有协变性质物理规律的关键作用。
这个事实再次有力地向我们传达了数学和自然科学之间彼此的依存关系，即数学的规则被赋予了自然规律的意义后才成为有生命力的学问，而借助数学工具建立起的自然规律才能呈现自然科学的奥秘。
此后，张量分析迅速渗透到理论物理、现代微分几何、连续介质力学等学科领域中。
就力学专业的学生而言，学习和掌握张量分析，可以更加深刻地领会连续介质力学的概念和一般力学规律，充分锻炼我们的理性思维能力，提高分析问题和解决问题的能力和水平。
用代数方法和解析方法描述空间问题时，必须引进坐标系或建立坐标基矢量。
坐标系的引入为建立各种物理或几何规律带来了可能和极大的方便，同时也往往使问题复杂化。
可以设想，客观规律应该独立于坐标系，但客观规律的表达形式却严重依赖于所用的具体坐标系，使得客观规律本身的内在性质与建立在坐标系上的数学表达形式完全融为一体。
这样，一方面可能会因其数学的形式外壳而不易揭示问题的内在本质，另一方面，甚至对很多客观规律根本无法进行数学表述。
电影《盗梦空间》中多模态符号体系间的衔接进行研究
电影《盗梦空间》中多模态符号体系间的衔接进行研究人们感知和认识大千世界有赖于触摸、视听、嗅闻、舔尝等多种感觉方式，在交换和处理各种信息时，为了实现意义的再现和传递，经常需要多种符号编码，即多模式。
多模态话语是多种符号资源整合的结果，它打破了传统的单一符号交流体系，使各种符号资源优势互补，一起构建意义，以整合的整体共同为交际服务。
电影这门艺术，便是将各种符号体系整合，并最大化发挥它们优势的一种特殊语言交流模式。
本文旨在运用功能语言学的理论对电影《盗梦空间》中多模态符号体系间的衔接进行研究。
一、电影叙事的衔接与连贯关于电影的叙事，罗兰·巴特曾指出，叙述是在人类启蒙、发明语言之后，才出现的一种超越历史、超越文化的古老现象。
叙述的媒介并不局限在语言，也可以是电影、绘画、雕塑，甚至是音乐等。
他认为人类只要有信息交流，就有叙述的存在。
而电影的叙事又独具自己的特色，首先，电影富含多种表现元素：语言、音响、字幕、音乐、运动影像等，是一个讲故事的多种运作方式综合体。
其次，它并不严格按照现实生活的顺序拍摄，而是将众多的镜头组合，时间和空间都可能极富跳跃性。
一部好的影片，不仅需要将这七零八落的镜头拼凑成连续体，而且需要让观影者感觉自然、连贯。
电影叙事的衔接和连贯，对电影整体理解十分重要。
无论电影叙事手段多么天马行空，时空交叠多么美轮美奂，一部好的电影作品必须在逻辑，也即衔接和连贯上经得起推敲，每一个起承转合都有理有据，情节的发展做到无懈可击。
电影的连贯是衡量其完整性、一致性，甚至整体质量的一个标准。
二、功能语言学的语篇衔接理论功能派语言学的代表人物韩礼德首次提出了“衔接”的概念。
篇章并非是互不相关句子的简单堆砌，而是一些意义相关的句子为达到一定交际目的，通过各种衔接手段而实现的有机结合体。
衔接可能存在于同一个句子内部的不同成分之间，也可能出现在两个相邻句子之间，还可能发生在相距较远的两个成分之间。
韩礼德和哈桑在《英语中的衔接》一书中将语篇的衔接手段归纳为五种：照应、替代、省略、连接词和重复。
数学符号在数学中的地位
数学符号在数学中的地位１引言数学符号是一种国际性数学语言,也是惟一在世界上能不分国家和种族都适用的文字．数学符号具有高度概括性、精确性和形式化等特点，它在很大程度上决定了数学的精确性、严谨性等特点．数学符号的引入推动了数学的发展，且数学符号从首创到被人认识并沿用经历了一个漫长的过程．而学习数学，或数学教育工作者，除了掌握每个数学符号的特定含义和实质外，还应了解一下它的引进或衍变的历史渊源．本论文从各个符号产生的历史和其作用入手，把数学领域内的一系列数学符号按照其用来表示概念、运算及关系等符号组成的集合进行归纳整理，使大家对数学符号有一个全面的认识．２数学符号的产生2.1 早期数学符号人类在蒙昧时代就已具备有识别事物多寡的能力，从这原始的“数觉”到抽象的“数”概念的形成，是一个缓慢的、渐进的过程．当对数的认识变得越来越明确时，人们感到有必要以某种方式来表达事物的这一属性，于是导致了记数，而记数是伴随着计数的发展而发展的．最早可能是手指计数，当指头不敷运用时，就出现了石子记数，随着时间的推移，又出现了结绳记数和刻痕记数．又经历了数万年的发展，直到距今大约五千多年前，终于出现了书写记数以及相应的记数系统．如：在公元前3400年出现古埃及的象形数字公元前500年左右出现中国筹算数码中国算筹记数尽管数码有两种形式，但完全有10进位值制的特点，即既是10进，又是位值制，马克思称中国古代的十进位值制是“最美妙的发明”．公元前300年出现印度婆罗门数字这是早期的阿拉伯数码，它经过了一个漫长复杂的演变之后，到16世纪才形成像今天的数码“1，2，3，4，5，6，7，8，9”．2.2 简字代数早期的代数学著作都是以文字叙述的，直到公元约250年，希腊数学家丢番图（Diophantus ）所著《算术》[2](P65)一书中，首创了一套缩写符号，这是真正的符号代数出现之前的重要阶段．他使用了特殊的记号来表示未知数，据考证这个符号是ς．他还用专门的符号来记乘幂，二次乘幂记为r ∆，三次乘幂是r k ，四次乘幂r ∆∆，五次乘幂r k ∆等等，减号为↑，方程中所有的负项都放在一个减号后，未知数乘幂的系数是用放在该幂号后的希腊数字表示，常数项记作M 。
descartes符号法则
descartes符号法则
笛卡尔符号法则是哲学家笛卡尔在《第一哲学沉思》中提出的一个重要原则。
该法则认为，描述现象时，可以将其拆分为最简单的元素或观点，并用符号表示，然后根据逻辑规则进行推导和组合，以得出更复杂的结论。
根据笛卡尔符号法则，可以将复杂的问题分解为简单的元素或观点，然后用符号来表示它们。
这些符号可以是字母、数字或其他象征，代表具体的观点或概念。
通过组合这些符号和应用逻辑规则，我们可以推导出更复杂的结论。
这种符号法则有助于清晰地思考和表达复杂的观点，避免混淆和错误的推理。
它也提供了一种系统和结构化的方法，用于处理复杂的问题和推理过程。
笛卡尔符号法则对于科学、数学和逻辑推理都具有重要意义。
它为我们提供了一种分析和解决问题的框架，使思考变得更加系统和准确。
笛卡尔十字坐标中的符号
笛卡尔十字坐标中的符号摘要：一、引言1.笛卡尔十字坐标系的背景2.笛卡尔十字坐标系的重要性和应用二、笛卡尔十字坐标系的符号表示1.横轴和纵轴的表示2.坐标点的表示3.坐标系的原点和单位长度三、笛卡尔十字坐标系的性质1.笛卡尔坐标系的四个象限2.坐标轴的相互垂直3.坐标轴的正方向四、笛卡尔十字坐标系中的常见运算1.坐标加法2.坐标减法3.坐标数乘4.坐标叉乘五、笛卡尔十字坐标系的应用1.几何图形的表示和计算2.函数图像的绘制3.物理和工程问题的解决六、结论1.笛卡尔十字坐标系的贡献和影响2.笛卡尔十字坐标系在现代科学中的重要性正文：笛卡尔十字坐标系是数学中最基本的坐标系之一，由法国哲学家、数学家笛卡尔于1637年提出。
它是一种以两条互相垂直的数轴为基础的平面直角坐标系，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
在笛卡尔十字坐标系中，横轴通常表示x轴，纵轴表示y轴。
横轴和纵轴的交点被称为坐标原点，通常表示为(0, 0)。
横轴和纵轴分别具有正方向，通常向右为x轴的正方向，向上为y轴的正方向。
在笛卡尔十字坐标系中，每个点都可以用一个有序对(x, y)来表示，其中x 表示点在x轴上的坐标，y表示点在y轴上的坐标。
例如，点A的坐标为(3, 4)，表示点A在x轴上的坐标为3，在y轴上的坐标为4。
笛卡尔十字坐标系具有四个象限，分别为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
第一象限位于横轴和纵轴的正方向，第二象限位于横轴的负方向和纵轴的正方向，第三象限位于横轴和纵轴的负方向，第四象限位于横轴的正方向和纵轴的负方向。
在笛卡尔十字坐标系中，进行坐标运算时需要遵循一定的规则。
例如，坐标加法是指将两个点的坐标分别相加，得到一个新的点的坐标。
坐标减法是指将两个点的坐标分别相减，得到一个新的点的坐标。
坐标数乘是指将一个点的坐标乘以一个常数，得到一个新的点的坐标。
坐标叉乘是指将两个向量的x轴分量相乘，再将结果与一个常数相乘，得到一个新的点的坐标。
笛卡尔坐标系深度使用原因全面揭示
笛卡尔坐标系深度使用原因全面揭示笛卡尔坐标系是一种在数学和物理学领域广泛使用的坐标系统，由法国数学家笛卡尔于17世纪提出。
它是通过引入直角坐标系，将点的位置表示为数对（x，y），其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
笛卡尔坐标系的深度使用原因有很多，本文将全面揭示其主要使用原因。
首先，笛卡尔坐标系具有简洁明确的表示方法。
在笛卡尔坐标系中，每个点可以通过一个有序的数对来准确表示其位置。
这种表示方法非常直观，易于理解和计算。
我们可以使用直角三角函数来计算两点之间的距离、角度和方向。
这种简洁明确的表示方法使得笛卡尔坐标系在各个科学领域和工程学中得到广泛应用。
其次，笛卡尔坐标系能够方便地描述多维空间。
除了二维平面上的笛卡尔坐标系之外，我们还可以通过引入第三个轴z来构建三维笛卡尔坐标系。
这样，我们就能够准确地描述三维空间中任何一个点的位置。
更重要的是，笛卡尔坐标系可以轻松扩展到更高维度的空间中，使得在高维空间中的计算和分析成为可能。
这在计算机图形学、机器学习等领域中有很重要的应用。
第三，笛卡尔坐标系可以方便地表示直线、曲线和曲面。
通过引入笛卡尔坐标系，我们可以用简洁的方程式来表示直线、曲线和曲面。
例如，在二维平面上，一条直线可以表示为y = kx + b的形式，其中k和b分别代表斜率和截距。
同样，一条平面曲线可以表示为y = f(x)的形式，其中f(x)表示x坐标对应的y坐标的函数。
在三维空间中，一个曲面可以表示为z =f(x, y)的形式。
这种表示方法使得我们可以轻松地进行直线、曲线和曲面的计算和分析。
此外，笛卡尔坐标系还具有与其他坐标系相互转换的能力。
在实际应用中，我们经常需要在不同的坐标系之间进行转换。
笛卡尔坐标系可以与极坐标系、球坐标系等其他坐标系进行转换。
例如，我们可以将一个点的笛卡尔坐标转换为极坐标，或者将一个点的球坐标转换为笛卡尔坐标。
这种转换使得笛卡尔坐标系具有更广泛的适用性，并方便了各种不同坐标系下的计算和分析。
笛卡儿符号律
笛卡儿符号律
笛卡儿符号律
科学已经改变了我们的社会，改善了我们的生活。
每一科技分支都依赖于另一个学科，共同牵引着科学进步的大门敞开。
笛卡尔符号准则是一种用来研究科学技术发展历史的分析方法，它可以帮助我们更好地理解技术的前沿发展状况。
笛卡尔符号律的要求是，一切知识和统一逻辑系统的发展，都必须基于逻辑层次的发展，由低级的知识和逻辑系统的发展推动到高级的知识和逻辑系统的发展。
这就是笛卡尔符号律所要求的，其核心思想是任何知识和逻辑系统最终都要从最简单的知识和逻辑系统发展而来。
在科学技术发展史上，正是这种从“简单”到“复杂”的逻辑关系，才孕育了技术发展过程中发生的前所未有的突破性变化。
近年来，笛卡尔符号律这一古老的思想架构在科技发展领域起到了极端重要的作用，在科学家研究重大的问题的基础上，可以更加深入、精准地认识研究的重要问题，而且使得研究结果有了更大的发展空间。
另外，笛卡尔符号律也有助于提供一种准确的分析思路，从而把特定问题归结于基础性因素，据此展开更进一步的研究和讨论。
综上所述，笛卡尔符号律的指导思想是将科技分支系统的发展事件按照一定的规律梳理清晰，而这能够有助于我们更加清楚地认识、解决实际问题，并一步步把科学发展至更高水平。
笛卡尔在物理书中的作用
笛卡尔在物理书中的作用
笛卡尔是17世纪法国哲学家，他的思想对于现代科学的发展有
着重要的影响。
在物理学领域，笛卡尔提出了一些重要的思想，为后来的物理学家们提供了重要的启示和指导。
本文将从笛卡尔的坐标系、机械论和自然哲学三个方面探讨他在物理书中的作用。
一、笛卡尔的坐标系
笛卡尔提出了直角坐标系的概念，这是物理学中非常基础的概念。
直角坐标系是在平面或空间中以两个互相垂直的轴为基础建立的，可以用来描述物体的位置和运动。
笛卡尔的坐标系为物理学家们提供了一种新的描述方法，使得物理学的研究更加精确和系统化。
二、笛卡尔的机械论
笛卡尔的机械论认为，物质世界可以用数学和几何学来描述和控制。
他认为，物体的运动是由于外力的作用，而不是物体本身的本质所决定的。
这一思想为物理学的发展提供了一个新的视角，使得物理学家们可以更好地理解物体的运动和行为。
三、笛卡尔的自然哲学
笛卡尔的自然哲学认为，自然界是由物体的运动和相互作用所构成的。
他认为，物体之间的相互作用是通过一种无形的介质来实现的。
这一思想为后来的物理学家们提供了一种新的理解方式，使得他们可以更好地理解物质的本质和运动规律。
综上所述，笛卡尔在物理书中的作用是多方面的。
他的坐标系、机械论和自然哲学为物理学的发展提供了重要的思想和指导，使得物
理学家们可以更加深入地研究物质世界的本质和规律。
他的思想对于现代科学的发展有着深远的影响，是物理学领域中的重要人物。
关系笛卡尔积运算记号
关系笛卡尔积运算记号
关系笛卡尔积运算（Relational Cartesian Product）是一种在关系代数中使用的运算，用于构造两个关系的组
合关系。
关系笛卡尔积运算的记号为"X"。
关系笛卡尔积运算的定义如下：
设R和S是两个关系，R的属性集为{A, B, C}，S的属性集为{D, E}。
则R X S的属性集为{A, B, C, D, E}，且R X S的元组集为所有满足以下条件的元组的集合：
1.该元组中的A、B、C属性值来自R的某个元组。
2.该元组中的D、E属性值来自S的某个元组。
例如，设R={(1, 2), (3, 4)}，S={(5, 6), (7, 8)}，则R X S={(1, 2, 5, 6), (1, 2, 7, 8), (3, 4, 5, 6), (3, 4, 7, 8)}。
总之，关系笛卡尔积运算是一种在关系代数中使用的运算，用于构造两个关系的组合关系，其记号为"X"。
(整理)笛卡儿坐标系
笛卡儿坐标系维基百科，自由的百科全书图 1 - 红色的圆圈，半径是 2 ，圆心位于直角坐标系的原点。
圆圈的公式为。
在数学里，笛卡儿坐标系，也称直角坐标系，是一种正交坐标系。
参阅图 1 ，二维的直角坐标系是由两条相互垂直、0 点重合的数轴构成的。
在平面内，任何一点的坐标是根据数轴上对应的点的坐标设定的。
在平面内，任何一点与坐标的对应关系，类似于数轴上点与坐标的对应关系。
采用直角坐标，几何形状可以用代数公式明确的表达出来。
几何形状的每一个点的直角坐标必须遵守这代数公式。
例如，一个圆圈，半径是 2 ，圆心位于直角坐标系的原点。
圆圈可以用公式表达为。
历史笛卡儿坐标系是由法国数学家笛卡儿创建的。
1637年，笛卡儿发表了巨作《方法论》(Discours de la méthode) 。
这本专门研究与讨论西方治学方法的书，提供了许多正确的见解与良好的建议，对于未来的西方学术发展，有很大的贡献。
为了显示新方法的优点与果效，以及对他个人在科学研究方面的帮助，在《方法论》的附录中，他增添了另外一本书《几何》。
有关笛卡儿坐标系的研究，就是出现于《几何》这本书内。
笛卡儿在坐标系这方面的研究结合了代数与欧几里德几何，对于后来解析几何、微积分、与地图学的建树，具有关键的开导力。
二维坐标系统图 2 - 直角坐标系。
图中四点的坐标分别为，绿点：，红点：，蓝点：，紫点：。
图 3 - 直角坐标系的四个象限，按照逆时针方向，从象限到象限。
坐标轴的头部象征著，往所指的方向，无限的延伸。
参阅图 2 ，二维的直角坐标系通常由两个互相垂直的坐标轴设定。
每一个轴都指向一个特定的方向。
这两个不同线的坐标轴，决定了一个平面，称为xy-平面，又称为笛卡儿平面。
通常，横轴称为x-轴。
纵轴称为y-轴。
两个坐标轴的相交点，称为原点，通常标记为 O 。
为了要知道坐标轴的任何一点，离原点的距离。
假设，我们可以刻画数值于坐标轴。
那么，从原点开始，往坐标轴所指的方向，每隔一个单位长度，就刻画数值于坐标轴。
descartes' rule of signs(笛卡尔符号法则)
笛卡尔符号法则（Descartes' Rule of Signs）是一个用于确定多项式方程根的数量和类型的数学规则。
它由法国哲学家和数学家笛卡尔（René Descartes）于17世纪提出。
这一规则对于分析多项式函数的根的正负性质和数量具有重要意义。
以下是关于笛卡尔符号法则的详细说明：
1. 笛卡尔符号法则的基本原则：
•笛卡尔符号法则指出，对于一个多项式方程，其实数根的数量可以通过观察多项式系数的符号变化得出，而不需要计算实际的根。
2. 笛卡尔符号法则的应用：
•笛卡尔符号法则可以用于确定多项式方程实数根的上界和下界，从而为根的数量提供了一个估计值。
3. 笛卡尔符号法则的表述：
•如果一个多项式方程中正系数的数量为 p，负系数的数量为 q，则该多项式方程的实根的上界为 p，下界为 q 或者是 q 的偶数。
注意，这里的 p 和 q 指的是多项式中非零项系数的正负变化次数。
4. 笛卡尔符号法则的扩展：
•笛卡尔符号法则的扩展版本可以用于确定实数根的精确数量。
通过对多项式方程进行适当的变换和观察，可以使用规则来确定实数根的具体数量。
总的来说，笛卡尔符号法则是一个用于估计多项式方程实数根数量的有用工具，它通过观察多项式系数的符号变化来确定根的上界和下界。
这一规则在代数学和多项式方程的研究中有着重要的应用和意义。
笛卡尔的成就
笛卡尔的成就笛卡儿（Descartes， Rene），1596年3月31日生于拉埃那，今称拉埃耶一笛卡儿（图尔附近）1650年2月11日卒于瑞典斯德哥尔摩。
法国哲学家，数学家，物理学家，解析几何学奠基人之一。
他认为数学是其他一切科学的理论和模型，提出了数学为基础，以演绎为核心的方法论，对后世的哲学。
数学和自然科学发展起到了巨大的作用。
在笛卡儿的时代，拉丁文是学者的语言，他也如当时常见的那样，在他的著作上。
签上他的拉丁化的名字一RenatusCartesius（瑞那图斯?卡提修斯）。
正因为如此，笛卡儿的哲学体系也称作卡提修（Castesian）体系，由他首创的画出方程所表示的曲线的常用坐标系也称卡提修坐标系。
然而，笛卡儿用法文写作而不用拉丁文，这也表示拉丁文作为欧洲学者的通用语言正不断趋于废弃。
笛卡儿一岁时，他母亲就死了，他似乎由他母亲遗传来坏的体质。
他患有慢性气管炎，们学生时代，他可以在床上休息多久都行。
（他是个天才的学生使他受到照顾。
）在他的后半生中，他保持许多工作在床上做的习惯。
他没有结婚因而免除许多家务之累，从而使得自己保养得很好。
从他受那稣会教育的时候起，他一直小心谨慎，非常虔诚。
例如， 1633年他听到伽利略”被宣告为异端罪，他马上放弃了他正在写的论宇宙的著作，其中他接受了哥白尼的观点。
1644年左右，他就另外搞出一套理论，根据这个理论，整个空间充满着物质，这些物质形成许多转动着的旋涡。
他认为地球们一个旋涡的中心静止着，而这个旋涡又绕着太阳转。
这个妥协的学说，正如第谷?布拉赫”的学说一样，虽然很巧妙，可是毫无价值。
但它却被当时许多学者所接受，一直到一代人以后，中顿”的引力理论才把所有的这种小理论完全赶掉。
然而，笛卡儿的旋涡理论却和三个世纪以后韦茨泽克”的旋涡理论有着奇妙的相似之处。
他在法国军队里呆了几年，但他没有打过仗，有大量时间去研究哲学。
其后，他在新教的荷兰定居下来。
他的后半生几乎完全住在荷兰，一直到1649年9月这个倒霉的时刻，他极为勉强地屈从于瑞典官廷对他的邀请。
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笛卡尔符号定则
如果把一元实系数多项式按降幂方式排列，则多项式的正根的个数要么等于相邻的非零系数的符号的变化次数，要么比它小2的倍数。
而负根的个数则是把所有奇数次项的系数变号以后，所得到的多项式的符号的变化次数，或者比它小2的倍数。
例如：
x^3+x^2-x-1
在第二项系数和第三项系数有一个变号。
这样，这个多项式有一个正根。
实际上，这个多项式可以变形为：
(x+1)^2(x-1)
所以其根是-1（两个）和1.
奇次项变号后，
-x^3+x^2+x-1
这个多项式有两个变号，这样就说明原多项式有两个或没有负根。
这个多项式拆分后就是：
-(x-1)^2(x+1)
就有根1（两个）和-1，正好和原多项式的根相反。
例2
若f(x)=a0*x^n+a1*x^(n-1)+……+a(n-1)*x+an
a0,a1,……,a(n-1),an是系数
若所有的系数都是实数,且f(x)=0的n个跟也都是实数
则其中正根的个数等于它的系数序列的变号数
所谓系数序列就是a0,a1,……,a(n-1),an,且假设a0>0,并去掉等于0的系数
变号数是指,考察所有的相邻两个系数,若符号相反,称为一个变号.
变号数总合就是一个多项式的变号数
比如
已知方程x^3-7x+6=0的根都是实数,问方程有几个正根
则系数序列是1,-7,6
他有2个变号
所以有2个正根
再如
已知方程x^3-7x+6=0的根都是实数,问方程有几个根大于3
则令x=y+3
则代入y^3+9y^2+20y+12=0
没有变号,所以y没有正跟所以y=x-3没有正跟
所以x-3都不大于0
所以x都不大于3
所以没有比3大的根。