高三数学 第24课时 数列的综合应用教案 教案

课题：数列的综合应用
教学目标：熟练掌握等差（比）数列的基本公式和一些重要性质，并能灵活运用性质解决有关的问题，培养对知识的转化和应用能力． 教学重点：等差（比）数列的性质的应用． （一） 主要知识：
1.等差数列的概念、性质及基本公式。

2.等比数列的概念、性质及基本公式。

（二）主要方法：
1.解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和()d q 的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质
可以化繁为简，减少运算量．
2.深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前n 项和公式的内在联系是解题的关键．
3.解题时，还要注重数学思想方法的应用，如“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、 “化归转化”. （三）典例分析：
问题1．()1（06某某）若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且103=++c b a ，则a =.A 4.B 2.C 2-.D 4-
()2 (07某某)设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中
项，则k =.A 2.B 4.C 6.D 8
()3（07某某）已知0x >，0y >，x a b y ，，，成等差数列，x c d y ，，，成等比数
列，则2
()a b cd
+的最小值是 .A 0.B 1.C 2.D 4
()4已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 成等比数列，则139
2
4
10
a a a
a a a ++++=
()5(07全国Ⅰ)等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，
则{}n a 的公比为
问题2．(07全国Ⅰ文)设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且
111a b ==，3521a b +=，5313a b +=
()1求{}n a ，{}n b 的通项公式；()2求数列n n a b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n S ．
问题3．（05全国Ⅲ）在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，2a 是1a 与4a 的等比中项，已知
数列13a a 、、
1k a 、2......n k k a a 、、成等比数列，求数列{}n a 的通项n k
问题4．（08届东北师大附中高三月考）数列}{n a 的前n 项和记作n S ，满足
1232-+=n a S n n ，)(*N n ∈．
()1证明数列}3{-n a 为等比数列；并求出数列}{n a 的通项公式． ()2记n n
na b =，数列}{n b 的前n 项和为n T ，求n T ．
问题5.（03某某） 已知数列}{n a （n 为正整数）是首项是1a ，公比为q 的等比数列.
()1求和：;,33423313203122312
2021C a C a C a C a C a C a C a -+-+- ()2由()1的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明.
（四）巩固练习：
1.（00某某）在等差数列{}n a 中，若100a =，则有不等式12n a a a ++⋅⋅⋅+
1219n a a a -=++⋅⋅⋅+()
*19,n n N <∈成立，相应地：在等比数列{}n b ，若91b =，
则有不等式成立.
2.（04）定义“等和数列”
：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和. 已知数列{}a n 是等和数列，且a 12=，公和为5，那么a 18的值为_____，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________
3.（01新课程）设{}n a 是公比为q 的等比数列，n S 是它的前n 项和，若{}n S 是等差数
列，则q =
4.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数
的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
（五）课后作业：
5.(06某某文）若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数
列.()1求数列124,,S S S 的公比;()2若24S =，求{}n a 的通项公式.
6.（05某某）已知}{n a 是公比为q 的等比数列，且231,,a a a 成等差数列.
()1求q 的值；()2设{n b }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为n S ，当n
≥2时，比较n S 与n b 的大小，并说明理由.
（六）走向高考：
7.（07某某）已知各项全不为零的数列{}n a 的前k 项和为k S ，且
*11
()2
k k k S a a k N +=
∈，其中11a =．()1求数列{}n a 的通项公式；()2对任意给定的正
整数(2)n n ≥，数列{}n b 满足
1k k b b +=1
k k n
a +-（121k n =-，，，），11
b =，求12n b b b ++
+．
8.（05某某文）设数列}{n a 的前n 项和为22n S n =，}{n b 为等比数列，且11a b =，
2211()b a a b -=，()1求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；
()2设n
n
n b a c =
，求数列}{n c 的前n 项和n T
9.（07某某文）已知实数列{}n a 是等比数列，其中71a =，且4a ，51a +，6a 成等差
数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，证明：128n S <(123)n =，，，．
10.
（07某某文）设n S 是数列{}n a （*
n N ∈）的前n 项和，1a a =，且22213n n n S n a S -=+，0n a ≠，234n =⋅⋅⋅，，，．
（Ⅰ）证明：数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列；
（Ⅱ）试找出一个奇数a ，使以18为首项，7为公比的等比数列{}n b （*
n N ∈）中的所有项都是数列{}n a 中的项，并指出n b 是数列{}n a 中的第几项．
11.（06）在数列{}n a 中，若12,a a 是正整数，且12,3,4,5,
n n n a a a n --=-=，
则称{}n a 为“绝对差数列”.()1举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）； ()2若“绝对差数列”{}n a 中，20213,0a a ==，数列{}n b 满足
12n n n n b a a a ++=++，1,2,3,
n =，分别判断当n →∞时，n a 与n b 的极限是否存在，
如果存在，求出其极限值；()3证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.
12.（07某某）如果有穷数列123,,,,m a a a a ⋅⋅⋅（m 为正整数）满足条件m a a =1，
12-=m a a ，…，1a a m =，即1+-=i m i a a （12i m =，，，）
，我们称其为“对称数列”． 例如，数列12521，，，，与数列842248，，，，，都是“对称数列”
． ()1设{}n b 是7项的“对称数列”，其中1234,,,b b b b 是等差数列，且21=b ，114=b ．依次写出{}n b 的每一项；
()2设{}n c 是49项的“对称数列”
，其中25262749,,,,c c c c ⋅⋅⋅是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n c 各项的和S ；
()3设{}n d 是100项的“对称数列”
，其中5152100,,,d d d ⋅⋅⋅是首项为2，公差为3的等差数列．求{}n d 前n 项的和n S (12100)n =，，，．。