高中数学知识点精讲精析 直线与圆

直线与圆、圆与圆的位置关系
1.直线和圆位置关系的判定
方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系.
①Δ＞0，直线和圆相交. ②Δ=0，直线和圆相切. ③Δ＜0，直线和圆相离.
方法二 是几何的观点，即把圆心到直线的距离d 和半径R 的大小加以比较. 设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2
,2(E
D --
到直线的距离为d ， 2
2
B
A C Bb Aa d +++=
，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
①d ＜R ，直线和圆相交.
②d =R ，直线和圆相切. ③d ＞R ，直线和圆相离.
2.直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.
3.直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.
设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： 设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，. （1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离； 四条公切线 （2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切；
三条公切线
（3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；
两条公切线
（4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切； 一条公切线 （5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含； 0条公切线
外离 外切
相交 内切 内含
判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决.
例1．已知直线k x y +=2和圆 422=+y x 有两个交点，则k 的取值范围是（ ） A ．55<<-
k B ．0=k
C ．52>k
D ．5252<<-k
答案：D
例2 如图，OA.OB.OC 都是⊙O 的半径，∠AOB=2∠BOC ，求证：∠ACB=2∠BAC.
证明：
例3 求满足下列条件的圆的方程.
（1）以A （4，9），B （6，3）为直径的圆的方程；
（2），A （），B （），C （5，5）外接圆； （3），A （0，0），B （），C （0，）的内切圆； （4）过点A （5
，
2
），
B （）圆心在直线上的圆；
（5）圆
关于直线对称的圆； ⎪
⎪
⎪
⎭⎪
⎪
⎪⎬
⎫∠=∠∠=∠∠=
∠BOC AOB BOC BAC AOB ACB 2212
1BAC ACB ∠=∠⇒2ABC ∆5,1-2,2--ABC ∆0,4-3-2,3-32=-y x 1)4()3(2
2=-+-y x 0=+y x
（6）以（）为圆心，且与圆相内切的圆； （7）求与圆
及轴.轴均相切的圆. 解： （1）
，AB 中点M （5，6）
∴
（2）设圆的方程：
∴
（3）
（4）AB 中点M （4，0）， ∴
（5）设对称圆圆心P （）
半径不变：
（6）
① 所求圆切于已知圆内 ∴ ∴ ② 已知圆切于所求圆内 ∴ ∴
（7）圆心在直线，上
① 在上，，
② 在
上，<1> 4,3-642
2=+y x 1)1()1(2
2=-+-y x x y 10
240==AB 10)6()5(2
2=-+-y x 02
2=++++F Ey Dx y x ⎪⎩
⎪⎨⎧-=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+--=++-2024
0555002280526F E D F E D F E D F E D 25)1()2(2
2=-+-y x 1)1()1(2
2=+++y x 2=AB
k )
4(21
:--=x y l 中垂)1,2(32)4(21N y x x y ⇒⎪⎩⎪
⎨
⎧
=---=10=NA 10)1()2(22=-+-y x y x ,)3,4(0242313
4
--⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+++-=--P y x x y 1)3()4(22=+++y x 6425432
2<=+3=r 9)4()3(2
2=++-y x 13=r 169)4()3(22=++-y x x y =x y -=x y -=1)1()1(22=++-y x 1)1()1(2
2=-++y x x y =r r ++=
122
1223+=r
<2>
∴
例 4 求证：过圆
上点P （）的圆的切线方程为.
证明：
圆心
∴ 相切
2121r r --=
223-=r 2
22)223()]223([)]223([-=--+--y x 222)223()]223([)]223([+=++++-y x 02
2=++++F Ey Dx y x 00,y x 0)(2)(200000=+++++
+F y y E
x x D y y x x )2
,2(E
D --
r F E D F
E D
F E D E y D x F E D l d =-+=
-+-+=++++--=
4
44
444)2()2(44),0(2
22
222202022。