高等数学教学课件-第十章.10.1-10.2

这时小曲顶柱体可近似看作平顶柱体．在每个
i(i1,2, ,n) 中各任取一点 p(i ,i )
以f(i ,i ) 为高,底为 i 小平顶柱体体积为:
v i f(i,i) i(i 1 ,2 , ,n )
这n个平顶柱体体积之和
n
f(i ,i )i
i1
D1
又I2 （x2y2)3d,其 中 D2{(x,y)|0x1,0y2}.
D2
试 用 二 重 积 分 义的 说I几 1与 明I2何 之意 间 的. 关 系
答I： 1与 I2之间关I系 14为 I2 ：
三、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
性质１ 性质２
当k为常数时，
［Y－型］
d
x1(y) c
D x2(y)
d
x1(y) D
c
x2(y)
f(x ,y)ddd y 2(y)f(x ,y)d.x
D
c 1(y)
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点.
对非X、Y型区域
若区域如图， 则必须分割.
在分割后的三个区域上分别 使用积分公式
将薄片分割成若干小块， y
小块将其近似看作均匀薄 片，所有小块质量之和近 似等于薄片总质量（极限）
n
o
Ml i0m i1(i,i)i.
(i,i )

i
x
3.二重积分的定义
定 义 设 f ( x , y ) 在 有 界 闭 区 域D 上 有 定 义 ， 将 闭 区
域 D 任 意 分 成n 个 小 闭 区 域 1 ， 2 , ， n ， 其
l im 012 f(i,i)2 f(0,0).
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法
一、利用直角坐标计算二重积分
当函数f(x,y)在区域D上连续时，我们可以用特定 的分割来解决定积分的计算。
在直角坐标系下用平行于 坐标轴的直线网来划分区域D， y
D
D 1
D 2
性质４ 若 为D的面积，1dd.
D
D
性质５ 若在D上 f(x ,y ) g (x ,y ),
则有 f(x,y)dg (x,y)d.
D
D
例1. 比较下列积分的大小:
y
(xy)2d 与 (xy)3d
D
D
其中D由x轴、y轴与直线 xy1
积 分 和
式
( 2 ) 当 f ( x ,y ) 在 闭 区 域 上 连 续 时 ， 或 分 片 连 续 且 有 界 ， 定
义 中 和 式 的 极 限 必 存 在 ， 即 二 重 积 分 必 存 在 . (3)几何意义：当被积函数大于零时，二重积分是柱 体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积的负值．
故2I 2 0 .4 I 0 .5 . 54
例3. 估计下列积分之值
ID 1 0cd 0 x 2 o d xy s c2 o ysD :xy y10
解: D 的面积为 (102)2200
由于
1 102
100co21sxco2sy1001
10
10
D
o 10 x
f(xy,)dxdy
D
d y
0
2y
f(x,y)dx
例3. 计算 I xyd,其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 D
y＝x 所围的闭区域.
解法1.
将D看作X–型区域,
则
D
:

1yx 1x2
y
I
2
d
1
x
x x yd 1
y

2
1
1 2
x
y2
x
1
dx
2 y
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 求和、取极限”的方法，如下动画演示．
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 求和、取极限”的方法，如下动画演示．
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 求和、取极限”的方法，如下动画演示．
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 求和、取极限”的方法，如下动画演示．
则面积元素为ddxdy
D 故二重积分可写为
f(x,y)df(x,y)dxdoy
x
D
D
当 f(x,y)0时 ,f(x,y)dx的 dy 值等 D为 于底 以，
D
曲z面 f(x,y)为 曲 顶 柱 体 的 体 积 ．
用平面x=x0截立体，
z
截得A(x0). 应用计算
“平行截面面积为
zf(x,y)
已知的立体求体积” y
A(x0 )
的方法,
y2(x)
x
b
x0 a
得
f(x,y)dxd b dyx 2(x)f(x,y)d.yy1(x)
D
a 1(x)
注意D的特殊之处。
如果积分区域为：axb, 1 (x )y2 (x ).
［X－型］
y2(x)
D
y1(x)
a
b
y2(x)
D
y1(x)
a
b
其中函数1(x) 、2(x) 在区间[a,b] 上连续.
f(x,y)dxd b dyx 2(x)f(x,y)d.y
D
a 1(x)
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点.
如果积分区域为：cyd, 1 (y ) x 2 (y ).
k (x f,y)d kf(x,y)d .
D
D
[f(x,y)g(x,y)d ]
D
f(x,y)dg (x,y)d.
D
D
性质３ 对区域具有可加性 (D D 1D 2)
f (x ,y )d f (x ,y )d f (x ,y )d .
步骤如下：
(1)先分割曲顶柱体的
z
底，并取典型小区域 i
zf(x,y)
(2)近 似 : vif(i,i) i
(3)用若干个小平顶柱体
体积之和近似表示曲顶
o
y
柱体的体积，
(i ,i )
n
v
n
vi
f(i,i)xi
D

i
i1
i1
n
(4)取极限:曲顶柱体的体积
其 中 m 1 ia x n i
Vlim 0 i1
f (i,i)i.
２．求平面薄片的质量
设 有 一 平 面 薄 片 ， 占 有 xo 面 上 y的 闭 区 域 D， 在
点 (x,y)处 的 面 密 度 为 (x,y)， 假 定 (x,y)在 D上
连 续 ， 平 面 薄 片 的 质 量 为 多 少 ？
n个小闭区域的直径中最大值记作λ
当λ →0时，取和的极限存在，所得的 xD
极限就定义为所求曲顶柱体的体积
zzf(x,y)
o

(i,i)
i
综合起来：分割、近似、求和、取极限.
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和 、取极限”的方法，如下动画演示．
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 求和、取极限”的方法，如下动画演示．
由第五章求曲边梯形面积的方法就不难想到下 面的解决办法：
用一组曲线网将xoy面上的区域D划分为n个小区域
, 1 2
(sigma(西格玛) 小写σ 大写Σ) n
分别以各小闭区域的边界曲线为准线，作母线
平行于z轴的柱面，这些柱面把原曲顶柱体分为 n个小曲顶柱体．当这些小闭区域的直径很小时，
D
（3）I ( x y 1 )d ,其中D : 0 x 1,0 y 2;
D
（3）I ( x 2 4 y2 9 )d ,其中D : x 2 y2 4.
D
性质７ 设 函 数 f(x ,y )在 闭 区 域 D 上 连 续 ，为 D 的 面 积 ， 则 在 D 上 至 少 存 在 一 点 (, )使 得
f(x,y)df(,) （二重积分中值定理）
D
例 4、l求 i0m 12x2y2f2(x,y)dx， dy其 f(x中 ,y)为 连 续
解：据积分中值定理
1
l i 0m 2x 2 y 2 2f(x ,y )d
x l d i 01 m 2 yf(i,i)
10
积分性质5
200I200 即: 1.96 I 2 102 100
P137 :
5、利用二重积分性质估计下列积分的值：
（1）I xy( x y )d ,其中D : 0 x 1,0 y 1;
D
（2）I sin2 x sin2 yd ,其中D : 0 x ,0 y ;
yx
1
1212x312xdx
9 8
解法2. 将D看作Y–型区域,
则
D
:

yx2o 1y2
1 x2x
2
I d y
1
y2x y d
x

2
1
1 2
x2y
1
所围成区域.
o
解： 由已知得积分区域D ：
xy1x,0y,0.
D 1x
xy1
从而 (xy)2(xy)3
(xy)2d(xy)3d
D
D
性质６ 设 M 、 m 分 别 是 f(x,y)在 闭 区 域 D上 的
最 大 值 和 最 小 值 ， 为 D的 面 积 ， 则
第十章 重 积 分
一元函数积分学
重积分 多元函数积分学 曲线积分
曲面积分
第一节 二重积分的概念与性质
• 二重积分的引入 • 二重积分的概念 • 二重积分的性质
一、问题的提出 1．平顶柱体的体积 =底面积× 高 特点：平顶.
2．曲顶柱体的体积 =？ 特点：曲顶.
z
二、二重积分的概念
1．什么是曲顶柱体？
o
y
x
的边以界x曲oy线平C面作的准有线界而闭母区线域平D行为于底轴、z 的侧柱面面是，以D
顶是曲面 zf(x,y), 这里 f(x,y)0.
且在D上连续所形成的立体称为曲顶柱体（如上图）。
2. 其体积V怎样计算？
显然，平顶柱体的体积=底面积×高，而曲顶 柱体的体积不能直接用上式计算，那么怎样来计 算呢？
D3 D1
D2
.
D
D1
D2
D3
例 1 改 变 积 分1 dx 1xf(x,y)d的 y次 序 . 00
解 积分区域如图
y1x
原 式
1 1y
dy
f(x,y)dx.
00
例2. 交换下列积分顺序
2 x 2
22 8 x 2
I 0 d x 0 2f(x ,y )d y 2 d x 0 f(x ,y )d y
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数f (x, y)
在闭区域 D 上的二重积分，
记为 f (x, y)d ，
D
n
即
D
f
(
x,
y)d

lim
0 i1
f
(i
,i
) i
.
积 分 区 域
被 积 函 数
积 分 变 量
被 积 表 达
面
积 元 素
m f(x,y)dM
D
（二重积分估值不等式）
例21 估计I
d
的值，
D x2y22xy16
其中D：0x1, 0y2.
解
f(x,y)
1, (xy)216
区 域 面 积 2 ,
在D上f (x, y)的最大值 M1 (xy0) 4
f(x ,y )的 最 小 值 m 1 1 (x1 ,y2) 3242 5
中 i 表 示 第i 个 小 闭 区 域 ， 也 表 示 它 的 面 积 ， 在 每 个
i 上 任 取 一 点 ( i , i ) ，
作 乘 积 f ( i , i ) i ，
(i 1,2, ,n)，
n
并 作 和 f ( i , i ) i ，
i1
解: 积分域由两部分组成:
D1
:
0

y

1 2
0x
x2 2
,
D2
:0y 8x2 2x2 2
将 DD1D2视为Y–型区域 , 则
D : 2yx 8y2
0y2
y x2y2 8
2
y1 2x2 D Nhomakorabea1
D
2
o 22 2 x
2
8y2
I
(4)若 f(x,y)d存 在 ， f(x,称 y)在D上 可 积 ，
D
y
记fR(D).
(5) 面积元素为 d dxdy
D
可写为 f(x,y)df(x,y)dxdy
D
D
o
x
(6)vf(x,y)σd, m(x,y)d D D
P13： 26、
设I1 （x2y2)3d,其 中 D1{(x,y)|1x1,2y2};