高三年级第二学期统一练习(二)(文)

x
y
O π2π
1
-1
丰台区高三年级第二学期统一练习（二）
数 学（文科）
.5
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．若2∈{1，a ，a 2-a }，则a =
(A) -1 (B) 0 (C) 2 (D) 2或-1 2．下列四个命题中，假命题为
(A) x ∀∈R ，20x > (B) x ∀∈R ，2310x x ++> (C) x ∃∈R ，lg 0x >
(D) x ∃∈R ，12
2x =
3．已知a >0且a ≠1，函数log a y x =，x
y a =在同一坐标系中的图象可能是
(A)
(B)
(C)
(D)
4．已知数列{}n a 中，13
5
a =
，111(2)n n a n a -=-≥，则2011a = (A) 1
2-
(B) 23
-
(C)
35
(D)
52
5．如图所示，已知2AB BC =，OA a =，OB b =，OC c =，则下列等式中成立的是 (A) 3122
c b a =
- (B) 2c b a =- (C) 2c a b =-
(D) 31
22
c a b =
- 6．已知函数sin()y A x ωϕ=+的图象如图所示，则该函数的解析式可能是
(A) 441
sin()555y x =+
(B) 31sin(2)25y x =+
(C) 441sin()555y x =-
(D) 41sin(2)55
y x =+
A
B
C O
7．已知x ，y 的取值如下表：
从散点图可以看出y 与x 线性相关，且回归方程为0.95y x a =+，则a = (A) 3.25
(B) 2.6
(C) 2.2
(D) 0
8．用max{}a b ，表示a ，b 两个数中的最大数，设22()max{84,log }f x x x x =-+-，若函数
()()g x f x kx =-有2个零点，则k 的取值范围是
(A) (0,3)
(B) (0,3]
(C) (0,4)
(D) [0,4]
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在复平面内，复数121i
z i
-=
+对应的点位于第 象限． 10．圆C ：2
2
2220x y x y ++--=的圆心到直线3x +4y +14=0的距离是 ． 11．若[0,2]x ∈π，则函数sin cos y x x x =-的单调递增区间是 ．
12．已知签字笔2元一只，练习本1元一本．某学生欲购买的签字笔不少于3只，练习本不少于5本，但买签字笔和练习本的总数量不超过10，则支出的钱数最多是___元． 13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．
14．如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，以A 为圆心，AD 长为半径画弧，交BA 的延长线于P 1，
然后以B 为圆心，BP 1长为半径画弧，交CB 的延长线于P 2，再以C 为圆心，CP 2长为半径画弧，交DC 的延长线于P 3，再以D 为圆心，DP 3长为半径画弧，交AD 的延长线于P 4，再以A 为圆心，AP 4长为半径画弧，…，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是___，画出第n 道弧时，这n 道弧的弧长之和为___．
A
B C A D P 1 P 2
P 3
P 4
P 5
正视图
侧视图
俯视图
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）
已知函数21()sin 3sin cos 2
f x x x x =+-． （Ⅰ）求()12
f π
-
的值； （Ⅱ）若[0,]2
x π
∈，求函数()y f x =的最小值及取得最小值时的x 值．
16.（本小题共13分）
已知梯形ABCD 中，//BC AD ，1
12
BC AD =
=，3CD =，G ，E ，F 分别是AD ，BC ，CD 的中点，且2CG =，沿CG 将△CDG 翻折到△CD G '． （Ⅰ）求证：EF //平面AD B '；
（Ⅱ）求证：平面CD G '⊥平面AD G '．
17.（本小题共13分）
某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如下频率分布直方图．
（Ⅰ）求分数在[)70,80内的频率；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高一年级学生期中
考试数学成绩的平均分；
（Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生
中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率．
F
G
E
A
B
C
D '
A
B
C E
D
F
G
18.（本小题共14分）
已知函数21()(0)2a
f x x a x
=
+≠． （Ⅰ）当1x =时函数()y f x =取得极小值，求a 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =的单调区间．
19.（本小题共14分）
已知椭圆C 的长轴长为(1,0)．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）设直线l ：y =kx 与椭圆C 交于A ，B 两点，点P 为椭圆的右顶点． （ⅰ）若直线l 的斜率k =1，求△ABP 的面积；
（ⅱ）若直线AP ，BP 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值．
20.（本小题共13分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
n S n =．数列{}n b 为等比数列，且11b =，48b =．
（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n c 满足n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，数列{}n c 中是否存在三项，使得这三项成等差数列？若存在，求出此三项；
若不存在，说明理由．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
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数 学（文科）参考答案.5
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．Ⅲ 10．3 11．(0,)π (或[0,π]) 12．15 13．12 14． 8，
(1)4
n n +π
注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）
已知函数21()sin cos 2
f x x x x =-． （Ⅰ）求()12
f π
-
的值；
（Ⅱ）求函数(),[0,
]2
y f x x π
=∈的最小值，及取得最小值时的x 的值．
解：（Ⅰ）∵21()sin cos 2
f x x x x =-
12cos 22x x =- sin(2)6
x π
=-，
∴()sin(2)sin()12
1263f π
π
ππ-
=-⨯
-=-= ． ………………7分 （Ⅱ）∵02
x π
≤≤
∴02x π≤≤．
∴52666x ππ
π
-
≤-
≤
．
∴1sin(2)126x π-≤-≤， 即1
()12
f x -≤≤．
∴min 1()2f x =- 此时266
x ππ
-=- ∴0x =．
∴当0x =时，min 1
()2
f x =-． ………………13分
16.（本小题共13分）
已知梯形ABCD 中，//BC AD ，1
12
BC AD =
=，CD ，G ，E ，F 分别是AD ，BC ，CD 的中点，
且CG CG 将△CDG 翻折成△CD G '． （Ⅰ）求证：EF //平面AD B '；
（Ⅱ）求证：平面CD G '⊥平面AD G '．
证明：（Ⅰ）∵E ，F 分别是BC ，CD 的中点，即E ，F 分别是BC ，C D '的中点， ∴EF 为△D BC '的中位线．
∴EF //D B '．
又∵EF ⊄平面AD B '，D B '⊂平面AD B '，
∴EF // 平面AD B '． ………………6分 （Ⅱ）∵G 是AD 的中点，1
12
BC AD =
=，即2AD =， ∴1DG =． 又∵3CD =，2CG =，
∴在DGC ∆中，222DG GC DC += ∴DG GC ⊥． ∴GC D G '⊥，GC AG ⊥． ∵AG ∩D G '=G ，
∴GC ⊥平面AD G '． 又∵GC ⊂平面CD G '，
∴平面CD G '⊥平面AD G '． ………………13分
17.（本小题共13分）
某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如下频率分布直方图．
（Ⅰ）求分数在[)70,80内的频率；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高一年级学生期中
考试数学成绩的平均分；
（Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中
抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从 中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的 概率． 解：（Ⅰ）分数在[)70,80内的频率为：
1(0.0100.0150.0150.0250.005)10-++++⨯10.70.3=-=． ………………3分
（Ⅱ）平均分为：
450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………6分
F
G
E
A
B
C
D '
A B
C E
D
F
G
（Ⅲ）由题意，[)80,90分数段的人数为：0.256015⨯=人；
[]90,100分数段的人数为：0.05603⨯=人；
∵用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本， ∴[)80,90分数段抽取5人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ；
[]90,100分数段抽取1人，记为M ．
因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分，
则另一人的分数一定是在[)80,90分数段，所以只需在分数段[)80,90抽取的5人中确定1人． 设“从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分为”事件A ，
则基本事件空间包含的基本事件有：(A ，B )，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )， (B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E)，(A ，M )，(B ，M )，(C ，M )，(D ，M )，(E ，M )共15种． 事件A 包含的基本事件有(A ，M )，(B ，M )，(C ，M )，(D ，M )，(E ，M )5种． ∴恰有1人的分数不低于90分的概率为51
()153
P A =
=．
………………13分
18.（本小题共14分）
已知函数21(),(0)2a
f x x a x
=
+≠． （Ⅰ）当1x =时函数()y f x =取得极小值，求a 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =的单调区间．
解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,0)-∞∪(0,)+∞，
2
()a
f x x x '=-
． ∵1x =时函数()y f x =取得极小值， ∴(1)0f '=． ∴1a =．
当1a =时，在(0,1)内()0f x '<，在(1,)+∞内()0f x '>， ∴1x =是函数()y f x =的极小值点．
∴1a =有意义． ………………7分 （Ⅱ）()f x 的定义域为(,0)-∞∪(0,)+∞，
322
()a x a
f x x x x
-'=-=．
令()0f x '=，得x =
综上所述：
当0a <时，函数()y f x =的单调递减区间为(-∞，单调递增区间为
，(0,)+∞； 当0a >
时，函数()y f x =的单调递减区间为(,0)-∞，，单调递增区间为)+∞．
………………14分
19.（本小题共14分）
已知椭圆C 的长轴长为(1,0)．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）设直线l ：y =kx 与椭圆C 交于A ，B 两点，点P 为椭圆的右顶点．
（ⅰ）若直线l 斜率k =1，求△ABP 的面积；
（ⅱ）若直线AP ，BP 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值．
解：（Ⅰ）依题意椭圆的焦点在x 轴上，且1c =，2a =，
∴a =
2221b a c =-=．
∴椭圆C 的标准方程为2
212
x y +=． ………………4分 （Ⅱ）（ⅰ） 2222
x y y x ⎧+=⎨=⎩
∴ 3
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或 3
x y ⎧
=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
，
即A
，(B ，
P ．
∴1233
ABP S ∆=
=． ………………9分 （ⅱ）证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y
．椭圆的右顶点为P ，
2222x y y kx
⎧+=⎨
=⎩ ， 消y 整理得 22
(21)2k x +=， 不妨设x 1>0>x 2， ∴
1x =
2x =
1y =
2y =-．
AP BP k k ⋅=
=
2
22
2
212221
k k k -+=-+22212422k k -==--++
∴ AP BP k k ⋅为定值1
2
-． ………………14分
20.（本小题共13分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
n S n =．数列{}n b 为等比数列，且首项11b =，48b =．
（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n c 满足n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和为n T ；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，问数列{}n c 中是否存在三项，使得这三项成等差数列．若存在，求出此三
项，若不存在，说明理由．
解：（Ⅰ）∵ 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
n S n =，
∴ 当2n ≥时，22
1(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-．
当1n =时，111a S ==亦满足上式， ∴21n a n =- (*)n ∈N ．
又 数列{}n b 为等比数列，设公比为q ，
∵ 11b =，3
418b b q ==， ∴2q =．
∴ 1
2n n b -= (*)n ∈N ． ………………6分
（Ⅱ）2121n
n n b n c a b ==-=-．
123n n T c c c c =+++12(21)(21)(21)n =-+-+
+-12(222)n n =++-
2(12)12
n n -=--．
∴ 1
22n n T n +=--． ………………9分
（Ⅲ）假设数列{}n c 中存在三项,,m k l c c c 成等差数列，不妨设(,,*)m k l m k l <<∈N
∵ 21n
n c =-，
∴ m k l c c c <<，且三者成等差数列．
∴ 2k l m c c c =+， 即222m k
l k --=+．
∵ (,,*)m k l m k l <<∈N ， ∴ 1l k -≥，0m k -<． ∴ 22l k
-≥，20m k ->，
∴ 2
22m k
l k --+> 与222m k l k --=+矛盾．
∴数列{}n c 中不存在成等差数列的三项． ………………13分
（若用其他方法解题，请酌情给分）。