2021-2022年龙岩市初三数学下期中一模试卷(带答案)

一、选择题
1．若二次函数22y x x c =-+的图象与x 轴有两个交点，与y 轴交于正半轴，则下列说法中正确的是（ ）
A ．该函数图象的对称轴是直线2x =
B ．该函数图象与y 轴有可能交于点()0,2
C ．若点()11,A c y -，()2,B c y 是该函数图象上的两点，则12y y <
D ．该函数图象与x 轴的交点一定位于y 轴的右侧
2．如图是二次函数y ＝mx 2+nx +k 图象的一部分且过点P （3，0），二次函数图象的对称轴是直线x ＝1，下列结论正确的是（ ）
A ．n 2﹣4mk ＜0
B ．mk ＞0
C ．n ＝2m
D ．m ﹣n +k ＝0
3．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =-+-与反比例函数a b c
y x
-+=
在同一平面直角坐标系内的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象开口向上（如图），它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0）、（3，0）．对于下列结论：①c ＜0；②b ＜0；③4a ﹣2b +c ＞0．其中正确的有
（ ）
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
5．汽车刹车后行驶的距离s （单位：m ）关于行驶的时间t （单位：s ）的函数解析式是
2156s t t =-．汽车刹车后到停下来前进了多远？（ ）
A ．10.35m
B ．8.375m
C ．8.725m
D ．9.375m
6．已知二次函数y ＝x 2﹣4x +m 2+1（m 是常数），若当x ＝a 时，对应的函数值y ＜0，则下列结论中正确的是（ ） A ．a ﹣4＜0 B ．a ﹣4＝0 C ．a ﹣4＞0
D ．a 与4的大小关系不能确定
7．近日，重庆观音桥步行街惊现震撼的裸眼3D 未来城市，超清LED 巨幕，成功吸引了广大市民络绎不绝的前来打卡，一时间刷爆朋友圈．萱萱想了解该LED 屏GH 的高度，进行了实地测量，她从大楼底部E 点沿水平直线步行30米到达自动扶梯底端D 点，在D 点用仪器测得屏幕下端点H 的仰角为36°．然后她再沿着i=4：3长度为40米的自动扶梯到达扶梯顶端C 点，又沿水平直线行走了40米到达B 点，在B 点测得屏幕上端点G 的仰角为50°（A ，B ，C ，D ，E ，H ，G 在同一个平面内，且B ，C 和A ，D ，E 分别在同一水平线上），则该LED 屏GH 的高度约为（ ）（结果精确到 0.1，参考数据sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin50°≈0 .77，tan50°≈1.19）
A ．122.0 米
B ．122.9米
C ．111.0米
D ．111.9米
8．如图，在菱形ABCD 中，过点C 作CE BC ⊥交对角线BD 于点E ，且DE CE =，若
3AB =DE 等于（ ）
A ．1
B ．
32 C ．
12
D ．
33 9．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =3BC ，则sin B 的值为（ ） A ．
12
B ．22
C ．
32
D ．
22
3
10．在ABC 中，90C ∠=︒，tan 2A =，则sin A 的值是（ ） A ．
23
B ．
13
C ．25
5
D ．
55
11．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A B C D 、、、都在这些小正方形的顶点上，AB CD 、相交于点P ，则tan APD ∠=（ ）．
A ．5
B ．3
C ．10
D ．2
12．如图，△ABC 、△FED 区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB 与地面BE 的央角∠PBE ＝43°，视线PE 与地面BE 的夹角∠PEB ＝20°，点A ，F 为视线与车窗底端的交点，AF //BE ，AC ⊥BE ，FD ⊥BE ．若A 点到B 点的距离AB ＝1.6m ，则盲区中DE 的长度是（ ）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）
A ．2.6m
B ．2.8m
C ．3.4m
D ．4.5m
二、填空题
13．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点()3,0A ，()1,0B -．若
42P a b =+，Q a b =+，则P ，Q 的大小关系是__________（填“＞”或“＜”或“＝”）．
14．如图，二次函数2y x mx =-+的图象与x 轴交于坐标原点和()4,0，若关于x 的方程
20x mx t -+=(t 为实数）在14x <<的范围内有解，则t 的取值范围是_______．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()2
230y ax ax a =-+>与y 轴交于点A ，过点
A 作x 轴的平行线交抛物线于点M ，P 为抛物线的顶点，若直线OP 交直线AM 于点
B ，且M 为线段AB 的中点，则a 的值为____________．
16．在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线2y x 沿着y 轴平移2个单位长度，所得抛物线
的解析式为________．
17．正三角形的边长为2，则它的边心距为_____．
18．如图，在ABC 中，AD BC ⊥交BC 于点D ，AD BD =，若42AB =，
4
tan 3
C =
，则BC =________．
19．如图，在Rt ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD ⊥AB ，垂足为D ，E 为BC 的中
点，AE 与CD 交于点F ，则DF 的长为_________
20．已知在Rt ABC 中，90C ∠=︒，1
cot 3
B =
，2BC =，那么AC =_____________. 三、解答题
21．如图，在平面直角坐标系中，(0,1)A ，(2,0)B ，将线段AB 绕原点O 逆时针旋转90°，得到线段A B ''，且点A '，B '，B 均在抛物线上．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）该抛物线的对称轴上有一点Q ，使ABQ △是以AB 为直角边的直角三角形，求Q 点的坐标．
22．某商店销售一种商品，每件进价为40元，对销售情况作了调查，结果发现月最大销售是y （件）与销售单价x （元）(5090)x ≤≤之间的函数关系如图中的线段AB ．（月最大销售量指进货量足够的情况下最多售出件数）
（1）求出y 与x 之间的函数表达式．
（2）该商品每月的总利润w （元），求w 关于x 的函数表达式，并指出销售单价x 为多少元时利润w 最大，该月进货数量应定为多少？
（3）若该商店进货350件，如果销售不完，就以亏本36元/件计入总利润，则销售单价定为多少，当月月利润最大？
23．2020年是国家实施精准扶贫、实现贫困人口全面脱贫的决胜之年．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售，在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销售，采取降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克，第x 天的售价为y 元/千克，y 关于x 的函数解析式为
()()76120,2030,mx m x x y n x x ⎧-≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩
为正整数为正整数且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W 元（利润＝销售收入－成本）．
（1）m =______，n =______；
（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？ 24．计算或解方程
（1）计算：
112sin 604⎛⎫-︒+ ⎪⎝⎭
②
)
2
1-
（2）解方程22310x x --=
25．（1
）计算：(
)1
012sin 45tan 5012-⎛⎫-︒--︒-+ ⎪⎝⎭
（2）已知4cos60x =︒，先化简，再求22
211
11
x x x x ++---的值． 26．（1
2
012sin 30|1(2020)2π-⎛⎫︒-+-- ⎪⎝⎭
（2）解方程：(3)(1)3x x x --=-
（3）先化简，再求值：2
1111
x x
x x -⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭
，其中 1.x =
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
根据二次函数的对称轴公式可判断A ，根据函数图像与x 轴的交点求出c 的取值范围，可
判断B ，根据c 的取值范围，结合函数的增减性可判断C ，根据函数的开口方向，对称轴，以及与y 轴交于正半轴可判断D ． 【详解】
解：在二次函数2
2y x x c =-+中， 对称轴为直线x =2
21
--
⨯=1，开口向上， ∵二次函数22y x x c =-+的图象与x 轴有两个交点， 则对应方程220x x c -+=中， △=()2
24c --＞0，
∴c ＜1，
∵与y 轴交于正半轴， ∴c ＞0，即0＜c ＜1，
∴该函数图象与y 轴不可能交于点()0,2， ∴-1＜c -1＜0， ∵函数开口向上， ∴当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，
∴点()11,A c y -，()2,B c y 都在对称轴左侧， ∴12y y >，
∵对称轴为直线x =2
21
--
⨯=1，与y 轴交于正半轴，开口向上， ∴该函数图象与x 轴的交点一定位于y 轴的右侧， 故选D ． 【点睛】
本题考查了二次函数的对称轴，增减性，图像性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，结合图像回答问题．
2．D
解析：D 【分析】
根据抛物线与x 轴有两个交点可对A 进行判断；由抛物线开口向上得m ＞0，由抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得k ＜0，则可对B 进行判断；根据抛物线的对称轴是x ＝1对C 选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点为（−1，0），所以m−n ＋k ＝0，则可对D 选项进行判断． 【详解】
解：A ．∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴n 2﹣4mk ＞0，所以A 选项错误； B ．∵抛物线开口向上， ∴m ＞0，
∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，
∴k ＜0，
∴mk ＜0，所以B 选项错误；
C ．∵二次函数图象的对称轴是直线x ＝1， ∴﹣
2n
m
＝1， ∴n ＝﹣2m ，所以C 选项错误；
D ．∵抛物线过点A （3，0），二次函数图象的对称轴是x ＝1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣1，0）， ∴m ﹣n +k ＝0，所以D 选项正确； 故选：D ． 【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象为抛物线，当a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线2b
x a
=-
；抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）；当b 2−4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点；当b 2−4ac ＝0，抛物线与x 轴有一个交点；当b 2−4ac ＜0，抛物线与x 轴没有交点．
3．B
解析：B 【分析】
先根据二次函数2
y ax bx c =++的图象判断出a 、b 、c 、a b c -+的符号，再用排除法
对四个答案进行逐一检验． 【详解】
解：由二次函数2
y ax bx c =++的图象开口向上可知，0a >，因为图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴，所以0c <，对称轴位于y 轴右侧，可知02b
a
->，所以0b <， ∵0a >，0b <，0c <，0ac <， ∴b 2−4ac ＞0，-b ＞0，
∴二次函数24y bx b ac =-+-的图象过一、二、四象限，故可排除A 、C ； 由函数图象可知，当1x =-时，0y >，即0y a b c =-+>， ∴反比例函数a b c
y x
-+=的图象在一、三象限，可排除D 选项， 故选：B ． 【点睛】
此题比较复杂，综合考查了二次函数、一次函数及反比例函数图象的特点，锻炼了学生数形结合解题的思想方法．
4．A
解析：A 【分析】
根据抛物线与y 轴的交点位置可对①进行判断；根据抛物线的对称性得到x ＝2b
a
-＝1，则b ＝﹣2a ＜0，于是可对②进行判断；利用x ＝﹣2，y ＞0可对③进行判断． 【详解】
解：∵抛物线与y 轴的交点坐标在x 轴下方， ∴c ＜0，所以①正确； ∵抛物线开口向上， ∴a ＞0，
∵抛物线与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，即2b
a
-＝1， ∴b ＝﹣2a ＜0，所以②正确； ∵由图象可知，当x ＝﹣2时，y ＞0， ∴4a ﹣2b +c ＞0，所以③正确． 故选：A ． 【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是树立数形结合思想，准确读取图象信息，认真推理判断．
5．D
解析：D 【分析】
求出函数的最大值即可得求解． 【详解】
∵2
2
575156648s t t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭
＝＝＋， ∴当5
4
t ＝时，s 取得最大值
75
9.3758
=，即汽车刹车后到停下来前进的距离是9.375m 故选D ． 【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键．
6．A
解析：A 【分析】
画出函数图象，利用图象法解决问题即可； 【详解】
解：∵抛物线的对称轴为4
22
x -=-
=， 抛物线与x 轴交于点A 、B ．如图，
设点A 、B 的横坐标分别为12x x 、，
124x x +=，2121x x m =+，
∴()()()
2
2
2
12121241641x x x x x x m -=+-=-+，
∵210m +>，
∴()2
12x x -的最小值为16，
∴AB ＜4，
∵当自变量x 取a 时，其相应的函数值y ＜0， ∴可知a 表示的点在A 、B 之间， ∴40a -<， 故选：A ． 【点睛】
本题考查了二次函数的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
7．A
解析：A 【分析】
作CM ⊥AE 于M ，设射线BC 交GE 于N ，则CN=ME=DM+DE ，CM=NE=NH+EH ，由三角函数定义求出EH=21.9米，由坡度求出DM=24米，NE=CM=32米，得出CN=54米，BN=94米，再由三角函数定义求出GN≈111.86米，得出GE=143.86米，即可得出答案． 【详解】
解：作CM ⊥AE 于M ，设射线BC 交GE 于N ，如图所示：
则CN=ME=DM+DE ，CM=NE=NH+EH ，
由题意得：∠GBN=50°，BC=DC=40米，DE=30米，∠EDH=36°，
∵tan ∠EDH EH DE
=， ∴EH=DE×tan ∠EDH≈30×0.73=21.9（米），
∵DC 的坡度为4：3CM DM =
， ∴4325NE CM DC ===米，3245
MD DC ==米， ∴CN=ME=DM+DE=24+30=54（米），
∴BN=BC+CN=40+54=94（米），
∵tan ∠GBN GN BN
=， ∴GN=BN×tan ∠GBN≈94×1.19≈111.86（米），
∴GE=GN+NE=111.86+32=143.86（米），
∴GH=GE-EH=143.86-21.9≈121.96≈122.0 （米）；
故选：A ．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，能借助仰角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形是解题的关键．
8．A
解析：A
【分析】
由题意，根据菱形的性质和等腰三角形，以及三角形的内角和定理，求出30CBD ∠=︒，然后由特殊角的三角函数值，即可求出答案．
【详解】
解：由题意，
在菱形ABCD 中，有
∴CBD CDB ∠=∠，
∵DE CE =，
∴ECD CDB ∠=∠，
∴22BEC ECD CDB CDB CBD ∠=∠+∠=∠=∠，
∵CE BC ⊥，即90BCE ∠=︒，
∴90CBD BEC ∠+∠=︒，
∴390CBD ∠=︒，
∴30CBD ∠=︒，
在Rt △BCE 中，有
tan tan 30CE CBD BC ∠=︒=
，
∴
3=， ∴1CE =．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，菱形的性质和等腰三角形，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的求出30CBD ∠=︒．
9．D
解析：D
【分析】
设BC=a ，则AB=3a ，根据勾股定理求出AC ，再根据正弦的定义求sin B ．
【详解】
解：设BC=a ，则AB=3a ，
AC ==，
sin B =33
AC AB a ==， 故选：D ．
【点睛】
本题考查了三角函数，勾股定理，解题关键是明确三角函数的意义，通过设参数，求出需要的边长．
10．C
解析：C
【分析】
由tanA=BC AC
=2，设BC=2x ，可得AC=x ，Rt △ABC 中利用勾股定理算出，然后利用三角函数在直角三角形中的定义，可算出sinA 的值．
【详解】
解：由tanA=BC AC
=2，设BC=2x ，则AC=x ， ∵Rt △ABC 中，∠C=90°，
∴
根据勾股定理，得==，
因此，sinA=
5BC AB == 故选：C ．
【点睛】
本题已知正切值，求同角的正弦值．着重考查了勾股定理、三角函数的定义等知识，属于
基础题．
11．B
解析：B
【分析】
设小正方形的边长为1，根据勾股定理可得AD 、AC 的值，进而可得△ADC 是等腰直角三角形，进而可得AD ⊥CD ，根据相似三角形的判定和性质可得PC ＝2DP ，根据等量代换和线段和差可得AD ＝CD ＝3DP ，继而即可求解．
【详解】
解析 设小正方形的边长为1，
由图形可知，2AD DC AC ===，
ADC ∴是等腰直角三角形，
AD DC ∴⊥．
//AC BD ，
2AC CP BD DP
∴==， 2PC DP ∴=，
3AD DC DP ∴==，
tan 3AD APD DP
∴∠=
=． 故选B ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的判定及其性质以及锐角三角函数．此题难度适中，注意转化思想与数形结合思想的应用． 12．B
解析：B
【分析】
首先证明四边形ACDF 是矩形，利用∠PBE 的正弦值可求出AC 的长，即可得DF 的长，利用∠PEB 的正切值即可得答案．
【详解】
∵FD ⊥AB ，AC ⊥EB ，
∴DF ∥AC ，
∵AF ∥EB ，
∴四边形ACDF 是平行四边形，
∵∠ACD ＝90°，
∴四边形ACDF 是矩形，
∴DF ＝AC ，
在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，∠ABE=43°，
∴AC ＝AB•sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m ），
∴DF ＝AC ＝1.12（m ），
在Rt △DEF 中，∵∠FDE ＝90°，∠PEB=20°，
∴tan ∠PEB ＝
DF DE ≈0.4， ∴DE≈1.120.4
＝2.8（m ）， 故选：B ．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用及矩形的判定与性质，熟练掌握各三角函数的定义是解题关键．
二、填空题
13．【分析】把AB 坐标代入求出代入PQ 进行判断即可【详解】解：将代入∴∴∴∴∵二次函数的图象开口向下∴∴∴故答案为：【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与性质求出是解答此题的关键
解析：Q P >
【分析】
把A 、B 坐标代入2
y ax bx c =++求出2b a =-，代入P ，Q 进行判断即可．
【详解】
解：将()3,0A ，()1,0B -代入2y ax bx c =++， ∴0930a b c a b c =++⎧⎨=-+⎩
∴93a b a b +=-
∴2b a =-
∴42=440P a b a a =+-=，=2Q a b a a a =+-=-
∵二次函数的图象开口向下
∴0a <
∴0a ->
∴Q P >
故答案为：Q P >
【点睛】
此题主要考查了二次函数的图象与性质，求出2b a =-是解答此题的关键．
14．【分析】求出函数解析式求出函数值取值范围把t 的取值范围转化为函数值的取值范围【详解】先由已知可得二次函数y=−x2+mx 的图象与x 轴交于坐标原点和(40)所以对称轴x==所以m=4代入方程y=−x2
解析：04t <≤
【分析】
求出函数解析式，求出函数值取值范围，把t 的取值范围转化为函数值的取值范围.
【详解】
先由已知可得，二次函数 y=−x 2+mx 的图象与 x 轴交于坐标原点和 (4,0)
所以对称轴 x=2b a
-=()221m -=⨯-， 所以m=4，
代入 方程y=−x 2+mx 得，
y=-x 2+4x ，
当x=2时，y=4
即顶点坐标是（2，4）
当x=1时，y=3，
当x=4时，y=0
由x 2−mx+t=0
得 t=-x 2+4x=y
因为当 1<x<4 时， 0<y≤4，
所以在 1<x<4 范围内有实数解，则 t 的取值范围是0<t≤4，
故答案为：0<t≤4 ．
【点睛】
本题考查了二次函数和一元二次方程数形结合分析问题，注意函数的最低点和最高点. 15．【分析】求出A 点坐标和对称轴根据对称性求出M 点坐标利用中点求出B 点坐标进而求出P 点坐标代入求a 即可【详解】解：由题意得：对称轴为直线P 点横坐标为1当x=0时y=3∴A 点坐标为：根据对称性可知M 点坐标 解析：94
【分析】
求出A 点坐标和对称轴，根据对称性求出M 点坐标，利用中点，求出B 点坐标，进而求出P 点坐标，代入求 a 即可．
【详解】 解：由题意得：对称轴为直线212a x a
-=-
=，P 点横坐标为1， 当x=0时，y=3,
∴A 点坐标为：()0,3，根据对称性可知，M 点坐标为()2,3 ，
∵M 为AB 中点，
∴B 点坐标为：()4,3
设OB 解析式为y=kx ，
把B ()4,3代入得，
3=4k
解得，k=34
， ∴直线OB 解析式为34y x =
， 把1x =代入34y x =得，34y =， ∴P 点坐标为31,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 代入抛物线得：3234a a -+=
， 解得，94
a =， 故答案为：
94． 【点睛】
本题考查了一次函数和二次函数的综合，解题关键是根据二次函数的性质求出B 点坐标，求出一次函数解析式．
16．y=x2+2或y=x2-2【分析】根据图象的平移规律可得答案【详解】解：将抛物线y=x2沿着y 轴正方向平移2个单位长度所得抛物线的解析式为y=x2+2；将抛物线y=x2沿着y 轴负方向平移2个单位长度
解析：y=x 2+2或y=x 2-2．
【分析】
根据图象的平移规律，可得答案．
【详解】
解：将抛物线y=x 2沿着y 轴正方向平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为y=x 2+2；将抛物线y=x 2沿着y 轴负方向平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为y=x 2-2； 故答案是：y=x 2+2或y=x 2-2．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与几何变换问题，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
17．【分析】如图连接OBOC ；求出∠BOC ＝120°进而求出∠BOD ＝60°运用三角函数即可解决问题【详解】解：如图△ABC 为正三角形点O 为其中心；作OD ⊥BC 于点D ；连接OBOC ；∵OA ＝OC ∠BOC
【分析】
如图，连接OB 、OC ；求出∠BOC ＝120°，进而求出∠BOD ＝60°，运用三角函数即可解决问题．
【详解】
解：如图，△ABC 为正三角形，点O 为其中心；
作OD ⊥BC 于点D ；连接OB 、OC ；
∵OA ＝OC ，∠BOC ＝120°，
∴BD ＝12BC ＝1，∠BOD ＝12
∠BOC ＝60°， ∴tan ∠BOD ＝
BD OD ， ∴OD ＝33BD ＝33
， 即边长为2的正三角形的边心距为33
． 故答案为：3．
【点睛】
本题考查了正三角形的性质、三角函数、边心距的计算；熟练掌握正三角形的性质，根据题意画出图形，利用数形结合的思想求解是解答本题的关键；
18．7【分析】由题意得是等腰直角三角形由求出AD 和BD 的长度再根据求出CD 的长即可求出BC 的长【详解】解：∵∴是等腰直角三角形
∴∴∵∴∵∴∵∴故答案是：7【点睛】本题考查解直角三角形解题的关键是掌握利用
解析：7
【分析】
由题意得ABD △是等腰直角三角形，由42AB =AD 和BD 的长度，再根据
4tan 3
C =
，求出CD 的长，即可求出BC 的长． 【详解】
解：∵AD BC ⊥，AD BD =， ∴ABD △是等腰直角三角形，
∴45ABD ∠=︒，
∴2sin 2
AD ABD AB ∠==， ∵42AB =
∴4=AD ， ∵4tan 3AD C CD =
=， ∴3CD =，
∵4BD AD ==， ∴437BC BD CD =+=+=．
故答案是：7．
【点睛】
本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握利用锐角三角函数解直角三角形的方法． 19．【分析】如图过点F 作FH ⊥AC 于H 首先证明设FH=2kAH=3k 根据tan ∠FCH=构建方程求解即可【详解】解：如图过点F 作FH ⊥AC 于H 在Rt △ABC 中∵∠ACB=90°AC=3BC=4∴AB= 解析：5485
【分析】
如图，过点F 作FH ⊥AC 于H ．首先证明
23FH AH =，设FH=2k ，AH=3k ，根据tan ∠FCH=
FH AD CH CD
=，构建方程求解即可． 【详解】
解：如图，过点F 作FH ⊥AC 于H ．
在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴222243CB AC +=+，
∵CD ⊥AB ，
∴S △ABC =
12•AC•BC=12•AB•CD ， ∴CD=125，2222123()5
AC CD -=-=95， ∵FH ∥EC ，
∴
FH AH EC AC
=， ∵EC=EB=2，
∴23
FH AH = ，设FH=2k ，AH=3k ，CH=3-3k ， ∵tan ∠FCH=
FH AD CH CD =， ∴9
2512
335
k k =-， ∴k=917
， ∴FH=1817，CH=3-2717=2417
， ∴
=
3017， ∴DF=1230517-=5485
， 故答案为
5485
． 【点睛】 本题考查了解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
20．6【分析】根据三角函数的定义即可求解【详解】∵cotB=∴AC==3BC=6故答案是：6【点睛】此题考查锐角三角函数的定义及运用解题关键在于掌握在直角三角形中锐角的正弦为对边比斜边余弦为邻边比斜边正
解析：6
【分析】
根据三角函数的定义即可求解．
【详解】
∵cotB=BC AC
， ∴AC=13
BC BC cotB
= =3BC=6． 故答案是：6．
【点睛】
此题考查锐角三角函数的定义及运用，解题关键在于掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，余切为邻边比对边．
三、解答题
21．（1）22y x x =-++；（2）（
12，-3）或（12
，2） 【分析】 （1）利用旋转的性质得出A′（-1，0），B′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）分AQ 是斜边、BQ 是斜边两种情况，利用勾股定理分别求解即可．
【详解】
解：（1）线段AB 绕原点O 逆时针旋转90°，得到线段A B ''，
又A （0，1），B （2，0），
∴A′（-1，0），B′（0，2），
∵A′（-1，0），B′（0，2），B （2，0），
设抛物线的解析式为：y=a （x+1）（x-2）
将B′（0，2）代入得出：2=a （0+1）（0-2），
解得：a=-1，
故满足条件的抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-2）=-x 2+x+2；
（2）由抛物线的表达式知，函数的对称轴为x=
12，故设点Q （12，m ）， 则()222112AQ m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，2
22122BQ m ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭，AB 2=22+1=5， 当AQ 是斜边时， 则()22221112522m m ⎛⎫⎛⎫+-=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 解得m=-3，
当BQ 是斜边时，
()22221115222m m ⎛⎫⎛⎫+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 解得m=2，
故点Q 的坐标为（
12，-3）或（12，2）． 【点睛】
本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，坐标和图形的变换-旋转，其中（2），利用勾股定理得出方程求出m 是解题关键．
22．（1）()1010005090y x x =-+；（2）当销售单价为70元时，总利润w 最大，进货数量为300件；（3）此时销售单价定为68元时，当月月利润最大．
【分析】
（1）利用待定系数法即可求出y 与x 之间的函数表达式；
（2）根据“总利润=单件利润×销售件数”列出函数关系式，配成顶点式，根据二次函数性质即可求解；
（3）设当月月利润为m ，根据“总利润=总盈利-总亏损”得到m 与x 函数关系式，根据二次函数性质即可求解．
【详解】
解：（1）设y 与x 之间函数关系式为()0y kx b k =+≠，
将点A （50,500），B （90,100）代入函数关系式得5050090100k b k b +=⎧⎨+=⎩
， 解得101000k b =-⎧⎨=⎩
， ∴求出y 与x 之间的函数表达式为()1010005090y x x =-+；
（2）由题意得()()10100040w x x =-+-
21014004000x x =-+-
()2
10709000x =--+，
∴当销售单价为70元时，总利润w 最大，此时该月进货数量应为-10×70+1000=300件； （3）设当月月利润为m ， ()()()()210100040403635010001010136037400m x x x x x =-+----+=-+-， ∵-10＜0，
∴当136068220
b x a =-==-时，m 最大， 答：此时销售单价定为68元时，当月月利润最大．
【点睛】
本题为一次函数、二次函数综合题，综合性较强，熟练掌握待定系数法和求总利润的数量关系，二次函数性质是解题关键．
23．（1）12
m =-
，25n =；（2）当18x =时，968W =最大． 【分析】
（1）根据题意将第12天的售价、第26天的售价代入即可得；
（2）在（1）的基础上分段表示利润，讨论最值．
【详解】
解：（1）第12天的售价为32元/件，代入76y mx m =-得 321276m m =-，解得12
m =-， 当地26天的售价为25元/千克时，代入y n =，则25n =， 故答案为：12
m =-，25n =． （2）由（1）第x 天的销售量为()2041x +-即416x +．
当120x ≤<时，
()()22141638182723202189682W x x x x x ⎛⎫=+-+-=-++=--+ ⎪⎝⎭
， ∴当18x =时，968W =最大．
当2030x ≤≤时，()()416251828112W x x =+-=+，
∵280>，
∴W 随x 的增大而增大，
∴当30x =时，952W =最大．
∵968952>，
∴当18x =时，968W =最大．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，弄清题意，找准题中的数量关系，运用分类讨论思想是解题的关键．
24．（1）①-2；②3-；（2）1x =，2x =【分析】
（1）①利用立方根，绝对值，特殊值的三角函数，零指数幂的法则计算即可；②利用完全平方公式，平方差公式计算即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【详解】
解：（1）0112sin 604⎛⎫-︒+ ⎪⎝⎭
21212
-+-⨯+=
211=-+
2=-
②)21- ()
3132=---
41=-
3=-（2） ∵2a =，3b =- ，1c =-
则 ()()2
3421170∆=--⨯⨯-=>
∴x =
即 1x =2x =．
本题考查了立方根，绝对值，特殊值的三角函数，零指数幂，完全平方公式，平方差公式和公式法解一元二次方程，熟悉相关性质是解题的关键．
25．（1）0；（2）
1
x x -，2． 【分析】
（1）原式先根据绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零次幂以及算术平方根进行化简，再求出答案即可；
（2）先求出x 的值，再根据异分母分式的减法进行通分并化简，最后把x 的代入化简结果中求值即可．
【详解】
解：（1）()1012sin 45tan 5012-⎛⎫︒--︒- ⎪⎝⎭
=2213--+
=213-+
=0；
（2）2221111
x x x x ++--- =2211(1)(1)
x x x x x ++--+- =
(1)(1)(1)x x x x ++- =1
x x - ∵14cos60=4=22
x =︒⨯， ∴原式=
2221
=-． 【点睛】 本题考查了分式的化简求值，绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零次幂以及算术平方根等知识点，能灵活运用知识点进行计算和化简是解此题的关键．
26．（13；（2）122,3x x ==；（3）11x -
-，2-． 【分析】
（1）先逐项化简，再算加减即可；
（2）先整理成一般形式，再用因式分解法求解即可；
（3）先根据分式的运算法则化简，再把 1.x =代入计算；
解：（12012sin 30|1(2020)2π-⎛⎫︒-+-- ⎪⎝⎭
=(121412⨯++-
=1141+-
3；
（2）(3)(1)3x x x --=-，
整理，得
x 2-5x+6=0，
∴(x-2)(x-3)=0
∴122,3x x ==；
（3）21111x x x x -⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭
， =211111x x x x x x ++⎛⎫-⨯ ⎪++-⎝⎭
=()111x x x x x +-
⨯+- =11
x --，
当1x =
时，
原式=
=． 【点睛】
本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，解一元二次方程，分式的化简求值，二次根式的除法和加法等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．。