人教A版高中数学选修一高级(下)期中考试卷.docx

高中数学学习材料
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威远县竟力中学高2015级（下）期中考试卷
一、选择题：（每题只有一个答案符合题意，每小题5分，共50分） 1．函数()3
2
3922y x x x x =---<<有（ ）
A ．极大值5，极小值27-
B ．极大值5，极小值11-
C ．极大值5，无极小值
D ．极小值27-，无极大值
2．椭圆22
1259
x y +
=上的点M 到焦点1F 的距离是2，N 是1MF 的中点，则ON 为 （ ）
A ．4
B ．2
C ．8
D ．2
3
3. 函数()1sin f x x x =+- ,()0,2x π∈，则函数（ ）
A ．在()0,2π内是增函数
B ．在()0,2π内是减函数
C ．在()0,π内是增函数，在(),2ππ内是减函数
D ．在()0,π内是减函数，在(),2ππ内是增函数
4．设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率为3，且它的一个焦点在抛物线
212y x =的准线上，则此双曲线的方程为( ) A. 22156x y -= B. 22
175x y -
= C. 22136x y -= D. 22
143
x y -
= 5. 如图1所示为'()y f x =的图像，则下列判断正确的是( ) ①()f x 在(),1-∞上是增函数； ②1x =-是()f x 的极小值点；
③()f x 在()2,4上是减函数，在()1,2-上是增函数；
O 1 2 3 4 －1 x
y
④2x =是()f x 的极小值点 （图1） A 、①②③ B 、①③④ C 、③④ D 、②③
6．如果椭圆19
362
2=+y x 的弦被点()4,2平分，
则这条弦所在的直线方程是（ ） A ．02=-y x B ．042=-+y x C ．01232=-+y x D ．082=-+y x 7．曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）
A ．(1,0)
B ．(2,8)
C ．(1,0)和(1,4)--
D ．(2,8)和(1,4)--
8．设函数()f x 的图象如图2，则函数'()y f x =的图象可能是下图中的( )
图 2
9． 已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数的
取值范围是（ ）
A ． ),3[]3,(+∞--∞
B ． ]3,3[-
C ． ),3()3,(+∞--∞
D ． )3,3(-
10．设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲
线的一个公共点，且满足021=⋅PF PF ，则2212
2
21)(e e e e +的值为( )
A ．21
B ．1
C ．3
1 D ．2
二、填空题：（每小题5分，共25分）
11．曲线9
y x =在点()3,3M 处的切线方程是_____ ．
12．椭圆
19
252
2=+y x 的焦点1F 2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则 21PF F ∆ 的面积为_____ ． 13．函数()ln f x x x =的单调递减区间是_____ ．
14．如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料
场的长和宽分别为____、____．
15．对于曲线C ∶1
42
2
-+
-k y k
x
=1，给出下面四个命题： ①曲线C 不可能表示椭圆；
②当1＜k ＜4时，曲线C 表示椭圆；
③若曲线C 表示双曲线，则k ＜1或k ＞4;
④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜2
5
其中所有正确命题的序号为_____ ．
三、解答题：（16-19题每题12分，20题13分，21题14分，共75分） 16．如图，一矩形铁皮的长为8cm ，宽为5cm ，在四个角上截去
四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长 边长为多少时，盒子容积最大？
17．若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过点(4,0)，离心率为3
2
，求椭圆的标准方程．
18．已知函数32()f x x ax bx c =+++，曲线()y f x =在点1x =处的切线为
:310
l x y -+=，若2
3
x =时，()y f x =有极值． (1)求()y f x =的解析式； (2)求()y f x =在[]3,1-上的最大值和最小值．
19．如图某抛物线形拱桥跨度是20m ，拱桥高度是4m ，在建桥时，每4m 需用一根支柱支撑，求其中最长支柱AB 的长．
20.已知函数32()f x x ax bx c =+++在2
3
x =-与1x =时都取得极值.
(1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间；
(2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围.
21.已知椭圆C 经过点3
(1,)2
A ,两个焦点为12(1,0),(1,0)F F -.
(1)求椭圆C 的方程；
(2) P 、Q 是椭圆C 上的两个动点,如果直线AP 的斜率与AQ 的斜率互为相反数,求证直线PQ 的斜率为定值,并求出这个定值.
威远县竟力中学高2015级（下）期中考试卷（答案） 一．选择题
1.C
2.A
3.A
4.C
5.D
6.D
7.C
8.D
9.B 10.D 二．填空题
11.06=+-y x 12. 9 13.)1
,0(e
14. 32、16 15.③④
三．解答题
16.解：设小正方形的边长为x ，则x x x V )25)(28(--= 化简得)2
50(4026423<
<+-=x x x x V 因为4052122'+-=x x V 令舍）或(3
10
10'=
=⇒=x x V x
)1,0(
1 )25,1( )('x V
+
-
x y
O
P Q A
)(x V
↑
极大值
↓
所以当1=x 时)(x V 取极大值18)1(=V
因为)(x V 在)2
5
,0(内只有一个极大值点，所以18)1()(max ==V x V
即当小正方形的边长为1cm 时盒子的容积最大为183cm
17.解：①焦点在x 轴上；由题意可知322
3
,4=⇒=
=c a c a 412162
22=-=-=c a b ，所以椭圆的标准方程为14
1622=+
y x ②焦点在y 轴上；由题意可知4823
,42222=⇒+==
=c c b a a c b 且 642
=a ，所以椭圆的标准方程为
116
6422=+x y
18.（1）解：由题意可知切点坐标为)3,1( 3)1('=f 323=++b a 2=a
所以
3
)1(=f ⇒
3
1=+++c b a ⇒
4-=b
0)3
2
('=f 03434=++b a 4=c
所以
442)(23+-+=x x x x f
（2）解：由（1）知
0)('443)('2
=-+=x f x x x f 令得23
2
-==x x 或
x )
2,3(--
2-
)
32,2(- 32 )1,32( )('x f +
-
+ )(x f
↑
x
↓
x
↑
所以
)(x f 在2-=x 处取得极大值12)2(=-f
在32=x 处取得极小值2768)32(=f
又因为
74121827)3(=+++-=-f ，34421)1(=+-+=f
综上所述12)(max =x f ，2768
)(min
=
x f .
19.以拱桥的顶点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系.
设抛物线的标准方程为
)0(22>-=p py x 由题意可知)4,10(-P 代入得
)4(2100-⨯-=p 225
=
⇒p 抛物线方程为
y x 252-=
设点B 的坐标为
),2(B y 可得254
-
=B
y
点A 的坐标为
)4,2(-
所以2596
4254)4(=
+-=--=B y AB
20.（1）由题意可知
0)3
2('0
)1('=-=f f 得2,2
1
-=-=b a 所以c x x x x f +--=22
1)(23
，故可知23)('2--=x x x f 令0)('>x f 得3
2
1-<>x x 或 所以)(x f 的单调增区间为)32,(),1(--∞+∞和单调减区间为)1,32
(-
（2）解：]2,1[-∈x ，2
)(c x f <恒成立，即c c x x x -<--22322
1
恒成立
即
c c -2
大于
x
x x 22
12
3--
的最大值 令x x x x g 22
1)(2
3
--=由（1）中单调性可知)(x g 在]2,1[-上的最大值为2.
所以
12022-<>⇒>--c c c c 或
21.解：（1）由题意，c=1，可设椭圆方程为
解得，（舍去）
所以椭圆方程为。

（2）设直线AE方程为：
代入得
设，
因为点在椭圆上，
所以，
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以-k代k，可得
所以直线EF的斜率
即直线EF的斜率为定值，其值为。