2019天津市部分区高三数(文)答案

天津市部分区2019年高三质量调查试卷（一）
数学（文）试题参考答案与评分标准
一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 9
．17
i 5
5
z =-
- 10．e 11．
4π3
12．
13．
14．
三、解答题：（本大题共
6个小题，共80分）
15．解：
（Ⅰ）∵
3
，∴ ……………2分
∵
2π，∴ 2
π
. ………………………4分
由正弦定理，得sin 3sin b A
a B
=
== ………………………………………6分
（Ⅱ）∵
2
π
，∴ ……………………………………8分
∴ 1
()33333
=
-+⨯= ………………………11分
∴ 27
199
-
=. ………………………………………13分 16．解：（Ⅰ）由题意知30人中一天走路步数超过5000步的有25人，频率为
5
6
，…2分
所以估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为5
6
. ………4分 （Ⅱ）5人中“积极型”有12
5=230
⨯
人，这两人分别记为12,A A .……5分 5人中“懈怠型”有18
5=330
⨯
人，这三人分别记为123,,B B B . ……6分 在这5人中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：12{,},A A 11{,},A B
1213{,},{,}A B A B 212223{,},{,},{,}A B A B A B 121323{,},{,},{,}B B B B B B . …10分
事件M “抽取的2人来自不同的类型”有以下6中不同的等可能结果：11{,},
A B 1213{,},{,}A B A B 212223{,},{,},{,}A B A B A B …………………………12分
易得，其概率为
63
=105
. 所以事件M 发生的概率
3
5
. ………………………13分 17．（Ⅰ）证明：∵
，∴ . …………1分
又∵ ， …………………2分 ∴ 平面 . …………………………………3分 又∵ 平面 ，
∴ . ………………………………………4分 （Ⅱ）证明：取 中点 ，连接 .
∵ 分别是 的中点， ∴MN ∥AD 且1
=
2
MN AD ，……………………………………………………5分 又∵BC ∥AD 且1
=
2
BC AD ，∴MN ∥BC 且=MN BC ， …………………6分 ∴四边形MNBC 是平行四边形，∴CM ∥BN ， …………………………7分 又∵ ⊄平面PAB ， ⊂平面PAB ，
∴CM //平面PAB . ……………………………………………………………8分 （Ⅲ）解：∵ ，
∴ 平面 . ……………………………………………………………9分
N
B
D
C A
P
M
∴ 为直线 与平面 所成的角. …………………………………10分 在Rt PAD ∆ 中，
2PA =,2AD =
,PD ∴=
,MD ∴=分
所以在Rt CMD ∆
中，tan 3
CD CMD MD ∠=
=. …………………………12分 所以，直线 与平面 所成的角为
6
π
．……………………………………13分 18．解：（Ⅰ）∵设等差数列{}n a 的公差为 ，134=112,a a a +=，
∴ ，∴ ，∴ . …………………………………4分 设等比数列 的公比为 ，1225,b a b a ==，
∴ ， ，∴ ，所以 . ……………………………6分 （Ⅱ）由题意，得
. ……………………………………………………………8分 ∴ ，
∴ . 上述两式相减，得
2112(3)[1(3)]
=3(21)(3)13
n n n -+⋅----+--⋅-+
1341=(3)22
n n +--⋅-. ………………………………………………12分 ∴1341(3)88
n n n T +-=
-⋅-. ……………………………………………………13分 19．解：(Ⅰ)
由题意，知22222c e a b a b c ⎧==
⎪⎪⎪
=⎨⎪=+⎪⎪⎩
……………2分
解得2
a b c =⎧⎪
=⎨⎪
=⎩所以椭圆 的方程为22
142
x y += …………………………………………………5分
（Ⅱ）易知，椭圆的左顶点(2,0)A -，
设直线 的方程为(2)y k x =+,则(0,2)E k (0,2)H k -.
由22(2)142
y k x x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩消去 并整理，得2222(21)8840k x k x k +++-=.
设11()A x y ,，22()B x y ,，00()P x y ,，∴4
2
2
644(21)(84)16k k k ∆=-+-=.
2122821k x x k +=-+，2122
8421k x x k -⋅=+ …………………………………………7分 ∴2012214()221k x x x k =+=-+,2002242(2)(2)2121
k k
y k x k k k =+=-+=++，
∴0012OP y k x k =
=-，∴直线 的斜率为1
2EM OP
k k k =-= . 所以，直线 方程为22y kx k =+ .直线 的方程为 . ∴点42
(,)33
M k --
…………………………………………………………9分 ∴点 到直线
的距离为424|2|||k k k k d -++== .
∴12||AB x x -==
1||=||2AP AB =.
∴244
||||
113||=2221APM
k k S AP d k ∆=⋅=+ ……………………12分
∵APM
S ∆=
24
||
3213
k k =
+
，解得k = ………………………14分 20．解：（Ⅰ）由题意，得 ， …………………………1分
由函数 在点 ， 处的切线与 平行，得(1)0f '= …………2分 即 . ……………………………………………………3分
（Ⅱ）当时,，
由=0知. ………………………………………………………4分
①当时，，在恒成立，
所以函数在上单调递增. ……………………………………………6分
②当时，由，解得或
2
3
x a
<-；由，解得
2
3
a
-.
函数在
2
3
a
-和上单调递增；在
2
3
a
-，上单调递减.
当时，由，解得
2
3
a
-或；由，解得
2
3
a
-.
函数在和
2
3
a
-上单调递增；在，
2
3
a
-上单调递减. 8分
（Ⅲ）当时,，
由，得对任意的恒成立.
∵,∴，
∴在恒成立. ……………………………………9分设,.则,
令,则,由，解得. …………10分由，解得；由，解得.
∴导函数在区间单增；在区间单减，………………12分∴，所以在上单调递减，
∴，∴. ……………………………………………13分故所求实数的取值范围. ………………………………………14分。