高中数学基本不等式知识点归纳及练习题

高中数学基本不等式的巧用
1．基本不等式：ab≤a＋b 2
(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)b
a＋
a
b≥2(a，b同号)；(3)ab≤⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
a＋b
2
2(a，b∈R)；
(4)a2＋b2
2≥⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
a＋b
2
2(a，b∈R)．
3．算术平均数与几何平均数
设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为a＋b
2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两
个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x＞0，y＞0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是p2
4.(简记：和定积最大)
一个技巧
运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是
ab≤a2＋b2
2；
a＋b
2≥ab(a，b＞0)逆用就是ab≤⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
a＋b
2
2(a，b＞0)等．还要注意“添、拆项”
技巧和公式等号成立的条件等．两个变形
(1)a2＋b2
2≥⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
a＋b
2
2≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)；
(2) a2＋b2
2≥
a＋b
2≥ab≥
2
1
a＋
1
b
(a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号)．
这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．
三个注意
(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．
(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．
应用一：求最值
例1：求下列函数的值域
（1）y ＝3x 2
＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x
解题技巧：
技巧一：凑项 例1：已知5
4x <
，求函数14245
y x x =-+-的最大值。

技巧二：凑系数
例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

技巧三： 分离
例3. 求2710
(1)1
x x y x x ++=
>-+的值域。

。

技巧四：换元
技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a
f x x x
=+的单调性。

例：求函数22
54
x y x +=
+的值域。

练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.
（1）231
,(0)x x y x x ++=
> （2）12,33
y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2．已知01x <<，求函数(1)y x x =-的最大值.；3．2
03
x <<
，求函数(23)y x x =-的最大值. 条件求最值
1.若实数满足2=+b a ，则b
a
33+的最小值是 . 变式：若44log log 2x y +=，求
11
x y
+的最小值.并求x ,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。

2：已知0,0x y >>，且
19
1x y
+=，求x y +的最小值。

变式： （1）若+
∈R y x ,且12=+
y x ，求y
x
11+的最小值
(2)已知+
∈R y x b a ,,,且1=+y
b x a ，求y x +
的最小值
技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2
＋
y 2
2
＝1，求x 1＋y 2
的最大值.
技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1
ab
的最小值.
技巧九、取平方
5、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值. 应用二：利用基本不等式证明不等式
1．已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a
++>++222
1）正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc 例6：已知a 、b 、c R +
∈，且1a b c ++=。

求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
应用三：基本不等式与恒成立问题 例：已知0,0x y >>且
19
1x y
+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。

应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若)2
lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=
⋅=
>>，则R Q P ,,的大小关系是 . 解：（1）y ＝3x 2
＋12x 2 ≥2
3x 2
·12x
2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）
（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1
x
≥2
x ·1
x
＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1
x ）≤－2
x ·1
x
=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1
(42)45
x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，
5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭
231≤-+=
当且仅当1
5454x x
-=
-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。

当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。

评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。

解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。

当
,即
时,4
21)591
y x x ≥+⨯
+=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号） 解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t =x ＋1，化简原式在分离求最值。

当
,即t =
时,4
259y t t
≥⨯
+=（当t =2即x ＝1时取“＝”号）。

评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。

即化为()(0,0)()
A
y mg x B A B g x =++>>，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。

解：令24(2)x t t +=≥，则2
254
x y x +=+221
1
4(2)4
x t t t x =
++
=+≥+
因1
0,1t t t >⋅=，但1t t
=解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。

因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52
y ≥。

所以，所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。

分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且b
a
33⋅定值，因此考虑利用均值定理求最小值， 解： b
a
33和都是正数，b
a
33+≥632332==⋅+b a b a
当b a 33=时等号成立，由2=+b a 及b a 33=得1==b a 即当1==b a 时，b
a 33+的最小值是6．
错解．．
：0,0x y >>，
且1
91x
y +=，∴()1992212x y x y xy x y xy ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭
故 ()min 12x y += 。

错因：解法中两次连用基本不等式，在2x y xy +≥等号成立条件是x y =，在1992x
y
xy
+≥等号成
立条件是
19
x y
=即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误。

因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

正解：
19
0,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y
⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
当且仅当
9y x
x y
=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += 。

分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤
a 2＋
b 2
2。

同时还应化简1＋y 2
中y 2
前面的系数为 12 ， x 1＋y 2
＝x
2·1＋y 2
2
＝ 2 x ·
12 ＋y
2
2
下面将x ，
12 ＋y
2
2
分别看成两个因式： x ·
12 ＋y
2
2
≤x 2
＋(
12 ＋y 22 )22 ＝x 2
＋y 2
2 ＋12 2 ＝34
即x 1＋y 2
＝ 2 ·x
12 ＋y
2
2
≤ 3
4
2 分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

法一：a ＝30－2b b ＋1 ， ab ＝30－2b b ＋1 ·b ＝－2 b 2
＋30b
b ＋1
由a ＞0得，0＜b ＜15
令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝－2t 2
＋34t －31t ＝－2（t ＋16t ）＋34∵t ＋16
t
≥2
t ·16
t
＝8
∴ ab ≤18 ∴ y ≥ 1
18 当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立。

法二：由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵ a ＋2b ≥22 ab ∴ 30－ab ≥22 ab
令u ＝ab 则u 2
＋2 2 u －30≤0， －5 2 ≤u ≤3 2
∴ab ≤3 2 ，ab ≤18，∴y ≥1
18
点评：①本题考查不等式
ab b
a ≥+2
）（+∈R b a ,的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式230ab a b =++）（+
∈R b a ,出发求得ab 的范围，关键是寻找到ab b a 与+之间的关系，由此想
到不等式
ab b
a ≥+2
）（+∈R b a ,，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围. 变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。

2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，
a ＋b
2
≤
a 2＋
b 2
2
，本题很简单
3x ＋2y ≤ 2 （3x ）2
＋（2y ）2
＝ 2 3x ＋2y ＝2 5
解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。

W ＞0，W 2＝3x ＋2y ＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )2·(2y )2 ＝10＋(3x ＋2y )＝20
∴ W ≤20 ＝2 5
变式: 求函数152152()2
2
y x x x =-+-<<的最大值。

解析：注意到21x -与52x -的和为定值。

又0y >，所以022y <≤
当且仅当21x -=52x -，即3
2
x =
时取等号。

故max 22y =。

评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。

总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。

分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又1121a b c bc a a a a
-+-==≥，可由此变形入手。

解：a 、b 、c R +
∈，1a b c ++=。

∴1121a b c bc a a a a -+-==≥。

同理121ac b b -≥，121ab
c c
-≥。

上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得
1112221118bc ac ab a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

当且仅当13a b c ===时取等号。

解：令,0,0,
x y k x y +=>>191x y +=，99 1.x y x y kx ky ++∴+=1091y x
k kx ky
∴++= 103
12k k
∴-
≥⋅ 。

16k ∴≥ ，(],16m ∈-∞ 分析：∵1>>b a ∴0lg ,0lg >>b a
2
1
=
Q （p b a b a =⋅>+lg lg )lg lg Q ab ab b a R ==>+=lg 2
1lg )2lg( ∴R >Q >P 。