高三数学一轮复习 定积分与微积分基本定理(理)课件 新人教B版

解析：由方程组
y＝2x＋3， 2 y ＝ x ，
可得x1＝－1，x2
2 3－1(2x＋3)dx－3－1x dx ＝3.故所求图形面积为s＝
＝(x
2
1 3 3 32 3 ＋3x)|－1 － x |－1 ＝ . 3 3
32 答案： 3
• 点评：利用定积分求平面图形的面积时，关键是将待求 面积的平面图形看成可求积分的平面图形的和或差，还 要注意待求面积的平面图形在y轴上方还是下方，以确 定积分的正负．
• (2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]． • ∴当x＝0时，f(x)min＝－4； • 当x＝±1时，f(x)max＝2.
在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之 1 与曲线以及x轴所围成的面积为 .则 12 (1)切点A的坐标为________． (2)过切点A的切线方程为________．
a－b＋c＝2 b＝0
(a≠0)，
，即
c＝2－a b＝0
，∴f(x)＝ax2＋(2－
a)．
1 2 1 f(x)dx＝ [ax ＋(2－a)]dx 又
0 0
1 3 2 1 ＝[ ax ＋(2－a)x]|0 ＝2－ a＝－2， 3 3 ∴a＝6，从而f(x)＝6x2－4.
b－a ③求和： f(ξi)· ； n i＝1
n
b－a ④取极限： f(x)dx＝linm . →∞ f(ξi)· n i＝1
b a
n
注：定义中将区间[a，b]分成n个小区间，当 λ→0时，和式 f (ξi)Δxi的极限存在．但在实际应用中
i＝0 n－1
为了方便，一般将区间[a，b] n ，则所有小区间 · 等分 ．． b－a b－a 长度都是 ，故λ＝ ，当n→∞时，λ→0，和式 n n
0
1 ＝ . 2 π－2 ∴S＝S1－S2＝ . 4 • 答案：A
(2010· 深圳市调研)曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x π ＝0，x＝ 所围成的平面区域的面积为( 2 π A．∫ 0(sinx－cosx)dx 2 π B．∫ 0(sinx－cosx)dx 4 π C．∫ 0(cosx－sinx)dx 2 π D．2∫ 0(cosx－sinx)dx 4 )

i＝1
n
b－a f(ξi)的极限存在． n
(3)定积分
b a
f(x)dx的值只与被积函数f(x)及积分
区间[a，b]有关，而与积分变量所用的符号无关．
2．定积分的几何意义
b 当f(x)≥0时，定积分 f(x)dx的几何意义：表示
a
由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成 的曲边梯形的面积．当y<0时，即曲边梯形在x轴的
1 π 1 π π ＝ x|0 ＋ sinx|0 ＝ . 2 2 2
π cos2x (5)∫ 0 dx 2 cosx－sinx π π ＝∫ 0(cosx＋sinx)dx＝(sinx－cosx)| 0＝2. 2 2
1 4 (2010· 曲师大附中)设常数a>0，(ax ＋ ) 展开 x
2
3 2 a (x＋sinx)dx＝________. 式中x 的系数为 π ，则 2
1 0
1 1 3 1 －3 2 (2) x ＋x4dx＝ 3x －3x 1
2 1

2
8 1 1 1 21 ＝ － － ＋ ＝ . 3 3 3×8 3 8
(3)
9 4
1 x(1＋ x)dx＝ (x ＋x)dx 2
梯形分成n个小曲边梯形，其面积记为ΔSi(i＝ 1,2，…，n)．
(2)近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯
i－1 i－1 1 3 形面积，ΔSi＝f ＝ 2 Δx＝3· n · n n n
(i－1)，(i＝
1,2，…，n)． (3)作和： Δ Si＝
i＝ 1 i＝ 1 n n
[例3]
求下列定积分
1－1|x|dx； (1)
1 (2) x ＋x4 dx；
2 1

2
9 (3) x(1＋ x)dx；
4 π 0
(4) cos dx； 2 π cos2x (5)∫ 0 dx. 2 cosx－sinx
2x
1 2 1 1－1|x|dx＝2 xdx＝2× x |0 ＝1； 解析：(1) 2
b [f(x)－g(x)]dx(如下图)． S＝
a
• 3．主要思维方式 • (1)数形结合思想：求曲线围成图形的面积，要画出草 图，寻找积分上限和积分下限，以及被积函数的形式． • (2)极限的思想：用定义求定积分，实际上运用的是极 限的思想． • (3)以直代曲的思想：求曲边梯形的面积，用分割、近 似代替、求和，求极限时，用到以直代曲的思想．
π 解析：当x∈[0， ]时，y＝sinx与y＝cosx的图象的交 2
π 点坐标为 4，
2 ，作图可知曲线y＝sinx，y＝cosx与直线 2
π x＝0，x＝ 所围成的平面区域的面积可分为两部分：一 2 π 部分是曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝ 所围成的 4 平面区域的面积；另一部分是曲线y＝sinx，y＝cosx与直 π π 线x＝ ，x＝ 所围成的平面区域的面积．且这两部分的 4 2 面积相等，结合定积分定义可知选D. • 答案：D
3 0
解析：Tr＋1＝C4 (ax )
r
2 4－r ຫໍສະໝຸດ 1 1 r r 4－r ＝C4 a x8－2r－ r， 2 x
1 3 2 2 2 令8－2r－ r＝3，得r＝2.所以C4 a ＝ π .由于a>0，所 2 2
π 1 2 π 1 π 2 a 以a＝ .所以 (x＋sinx)dx＝( x －cosx)| 0＝[ × 2 － 2 2 2 2
[例5]
0
已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f ′(0)
1 f(x)dx＝－2， ＝0，
(1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．
解析：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c 则f ′(x)＝2ax＋b. 由f(－1)＝2，f ′(0)＝0，得
由曲线y＝ x，y＝x2所围成图形的面积为____．
y＝ x 解析：由方程组 2 y ＝ x
得出交点的横坐标为x＝0及
x＝1. 因此所求图形的面积
1 1 2 x dx S＝ x d x －
0 0
2 3 1 3 1 1 ＝( x － x )|0 ＝ . 3 2 3 3 1 答案： 3
1，xi]上任取一点ζi(i＝1,2，…，n)，作和
式
n f(ζi)Δx，记λ为每个小区间Δxi＝xi＋1－xi i＝ 1

(i＝0,1,2，…，n－1)中的长度最大者，当λ 趋近于0时，所有小区间的长度都趋近于0.
当λ→0时，此和式如果无限接近某个常数，这个 常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作 f(x)dx. 即 f(x)dx＝ lim λ→0 f (ξi)Δxi，这里a与b分别叫做积
• 重点难点 • 重点：了解定积分的概念，能用定义法求简单的定积分， 用微积分基本定理求简单的定积分． • 难点：用定义求定积分
• 知识归纳 • 1．定积分的定义
设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分 点a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b，将区间 [a，b]分成n个小区间，在每个小区间[xi－
0
π π2 cos ]－(0－cos0)＝ ＋1. 2 8 2 π 答案： ＋1 8
• [例4] 如下图，直线y＝2x＋3与抛物线y＝x2所围成的 图形面积为________．
• 分析：从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一 个梯形与一个曲边梯形面积的差，因而可以用定积分求 出面积．为了确定出积分的上、下限，我们需要求出两 条曲线交点的横坐标．
解析：考虑定积分的运算性质与几何意义得
1 0
( 1－x－12－x)dx
1 2 1 xdx. ＝ 1 － x － 1 d x －
0 0
1 0
1－x－12
表示圆弧(x－1)2＋y2＝
1(0≤x≤1，y≥0)与直线x＝1，y＝0围成的图形面积 π 1 S1＝ ； xdx表示y＝x与x＝1，y＝0围成图形面积S2 4
b f(x)dx. 面积：S＝
a
(2)由三条直线x＝a、x＝b(a＜b)、x轴，一条曲 线y＝f(x)(f(x)≤0)围成的曲边梯形的面积：S＝|
b f(x)dx. f(x)dx|＝－
a b a
(3)由两条直线x＝a、x＝b(a＜b)、两条曲线y＝ f(x)、y＝g(x)(f(x)≥g(x))围成的平面图形的面积：
b a b a
n －1 i ＝0
分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数 f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积 式．此时称函数f(x)在区间[a，b]上可积．
对定义的几点说明：
b f(x)dx是一个常数． (1)定积分
a
(2)用定义求定积分的一般方法是： ①分割区间：将区间分为n个小区间，实际应用 中常常是n等分区间[a，b]； ②近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]；
• (4)公式法：套用公式求定积分，避免繁琐的运算，是 求定积分常用的方法． • (5)定义法：用定义求定积分是最基本的求定积分方 法．
• [例1] 用定积分的定义求由y＝3x，x＝0，x＝1，y＝0
[解析] (1)分割：把区间[0,1]等分成n个小区间
i－1 i 1 n ，n (i＝1,2，…，n)．其长度为Δx＝ n ，把曲边
3 3 (i－1)＝ 2 [1＋2＋…＋(n n2 n
3 n－1 －1)]＝ · . 2 n
(4)求极限：S＝lim n→∞
n
i＝ 1
3 3 n－1 3 (i－1)＝lim n→∞ 2· n ＝2. n2
• [点评] 要熟练掌握用定义求定积分的步骤． • 你能利用定积分的定义求直线x＝1，x＝2，y＝0和曲 线y＝x3围成的图形的面积吗？
9 4
＝
2 3 1 2 9 x ＋ x 3 2 2 4
2 3 2 3 1 2 1 1 2 ＝ ×9 － ×4 ＋ ×9 － ×4 ＝45 . 3 2 3 2 2 2 6 1＋cosx (4) cos dx＝ dx 2 2
π 0
2x
π 0
• (3)利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简，再 积分． • (4)利用定积分求所围成平面图形的面积，要利用数形 结合的方法确定被积函数和积分上下限．
2．几种典型的曲边梯形面积的计算方 法 (1)由三条直线x＝a、x＝b(a＜b)、x轴， 一条曲线y＝f(x)(f(x)≥0)围成的曲边梯形的
b 下方时 f(x)dx在几何上表示这个曲边梯形面积的相
a
反数．
b f(x)dx的几何意义是 一般情况下(如图)，定积分
a
介于x轴、函数f(x)的图象以及直线x＝a、x＝b之间各 部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号；在x 轴下方的面积取负号．
• 1．(1)用定义求定积分的方法：分割、近似代替、求和、 取极限，可借助于求曲边梯形的面积、变力作功等案例， 体会定积分的基本思想方法． • (2)用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F′(x) ＝f(x)的函数F(x)，即找被积函数的原函数，利用求导 运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等 函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出 F(x)．
15 答案： . 4
[例2] π－2 A. 4 π－1 C. 4
1 2 ( 定积分 1 － x － 1 －x)dx等于(
0
)
π B. －1 2 π－1 D. 2
分析：观察被积式可以发现，被积式构成形式 为f(x)－g(x)，其中f(x)＝ 1－x－12 ，其图象是圆(x －1)2＋y2＝1在x轴上方的部分，而g(x)＝x为一次函 数，其积分易求．