(江苏专版)高考数学一轮复习 第九章 导数及其应用 9.1 导数的概念及几何意义、导数的运算讲义-人

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§9.1 导数的概念及几何意义、导数的运算
命题探究
(1)由PO 1=2知O 1O=4PO 1=8. 因为A 1B 1=AB=6,
所以正四棱锥P-A 1B 1C 1D 1的体积 V 锥=·A 1·PO 1=×62
×2=24(m 3
); 正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积 V 柱=AB 2
·O 1O=62
×8=288(m 3
).
所以仓库的容积V=V 锥+V 柱=24+288=312(m 3
). (2)设A 1B 1=a(m),PO 1=h(m),则0<h<6,O 1O=4h(m).连结O 1B 1
.
因为在Rt△PO 1B 1中,O 1+P =P , 所以
+h 2
=36,
即a 2
=2(36-h 2
). 于是仓库的容积
V=V 柱+V 锥=a 2
·4h+a 2
·h=a 2
h=(36h-h 3
),0<h<6,
从而V'=(36-3h2)=26(12-h2).
令V'=0,得h=2或h=-2(舍).
当0<h<2时,V'>0,V是单调增函数;
当2<h<6时,V'<0,V是单调减函数.
故h=2时,V取得极大值,也是最大值.
因此,当PO1=2 m时,仓库的容积最大.考纲解读
考点内容解读要求
五年高考统计
常考题型预测热度2013 2014 2015 2016 2017
1.导数的概念及几何意义1.切线方程的有关问
题
2.导数几何意义的应
用
B
11题
5分
填空题
解答题
★★★
2.导数的运算导数的运算 B
填空题
解答题
★★★
分析解读导数的几何意义和导数的四则运算是学习导数的基础,某某高考偶有单独考查,但更多的是与导数解答题放在一起进行综合考查.
五年高考
考点一导数的概念及几何意义
1.(2017课标全国Ⅰ文,14,5分)曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为.
答案x-y+1=0
2.(2017某某文改编,10,5分)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1, f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为.
答案 1
3.(2016课标全国Ⅲ,16,5分)已知f(x)为偶函数,当x≤0时, f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是.
答案y=2x
4.(2015某某,15,5分)设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为. 答案(1,1)
5.(2014某某,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是.
答案-3
教师用书专用(6—9)
6.(2013某某理,10,5分)若曲线y=kx+ln x在点(1,k)处的切线平行于x轴,则k=.
答案-1
7.(2013某某理,17,13分)设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).
(1)确定a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
解析(1)因f(x)=a(x-5)2+6ln x,故f '(x)=2a(x-5)+.
令x=1,得f(1)=16a, f '(1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1),由点(0,6)在切线上可得6-16a=8a-6,故a=.
(2)由(1)知, f(x)=(x-5)2+6ln x(x>0), f '(x)=x-5+=.
令f '(x)=0,解得x1=2,x2=3.
当0<x<2或x>3时, f '(x)>0,故f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数;当2<x<3时, f '(x)<0,故f(x)在(2,3)上为减函数.
由此可知f(x)在x=2处取得极大值f(2)=+6ln 2,在x=3处取得极小值f(3)=2+6ln 3.
8.(2015,18,13分)已知函数f(x)=ln.
(1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程;
(2)求证:当x∈(0,1)时, f(x)>2;
(3)设实数k使得f(x)>k对x∈(0,1)恒成立,求k的最大值.
解析(1)因为f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),
所以f '(x)=+, f '(0)=2.
又因为f(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.
(2)证明:令g(x)=f(x)-2,
则g'(x)=f '(x)-2(1+x2)=.
因为g'(x)>0(0<x<1),所以g(x)在区间(0,1)上单调递增.
所以g(x)>g(0)=0,x∈(0,1),
即当x∈(0,1)时, f(x)>2.
(3)由(2)知,当k≤2时, f(x)>k对x∈(0,1)恒成立.
当k>2时,令h(x)=f(x)-k,
则h'(x)=f '(x)-k(1+x2)=.
所以当0<x<时,h'(x)<0,因此h(x)在区间上单调递减.
当0<x<时,h(x)<h(0)=0,即f(x)<k.
所以当k>2时, f(x)>k并非对x∈(0,1)恒成立.
综上可知,k的最大值为2.
9.(2013理,18,13分)设L为曲线C:y=在点(1,0)处的切线.
(1)求L的方程;
(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.
解析(1)设f(x)=,则f '(x)=.
所以f '(1)=1.所以L的方程为y=x-1.
(2)证明:令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(∀x>0,x≠1).g(x)满足g(1)=0,且
g'(x)=1-f '(x)=.
当0<x<1时,x2-1<0,ln x<0,所以g'(x)<0,故g(x)单调递减;
当x>1时,x2-1>0,ln x>0,所以g'(x)>0,故g(x)单调递增.
所以,g(x)>g(1)=0(∀x>0,x≠1).
所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.
考点二导数的运算
1.(2016某某,10,5分)已知函数f(x)=(2x+1)e x, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(0)的值为.
答案 3
2.(2014某某,20,14分)已知函数f(x)=e x-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.
(1)求a的值及函数f(x)的极值;
(2)证明:当x>0时,x2<e x;
(3)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<ce x.
解析(1)由f(x)=e x-ax,得f '(x)=e x-a.
又f '(0)=1-a=-1,得a=2.
所以f(x)=e x-2x,f '(x)=e x-2.
令f '(x)=0,得x=ln 2.
当x<ln 2时, f '(x)<0,f(x)单调递减;
当x>ln 2时, f '(x)>0,f(x)单调递增.
所以当x=ln 2时,f(x)取得极小值,
且极小值为f(ln 2)=e ln 2-2ln 2=2-ln 4,
f(x)无极大值.
(2)证明:令g(x)=e x-x2,则g'(x)=e x-2x.
由(1)得g'(x)=f(x)≥f(ln 2)>0,
故g(x)在R上单调递增,又g(0)=1>0,
因此,当x>0时,g(x)>g(0)>0,即x2<e x.
(3)证法一:①若c≥1,则e x≤ce x.又由(2)知,当x>0时,x2<e x.
所以当x>0时,x2<ce x.
取x0=0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<ce x.
②若0<c<1,令k=>1,要使不等式x2<ce x成立,只要e x>kx2成立.
而要使e x>kx2成立,则只要x>ln(kx2),只要x>2ln x+ln k成立.
令h(x)=x-2ln x-ln k,则h'(x)=1-=,
所以当x>2时,h'(x)>0,h(x)在(2,+∞)内单调递增.
取x0=16k>16,所以h(x)在(x0,+∞)内单调递增,
又h(x0)=16k-2ln(16k)-ln k=8(k-ln 2)+3(k-ln k)+5k,
易知k>ln k,k>ln 2,5k>0,所以h(x0)>0.
即存在x0=,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<ce x.
综上,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<ce x.
证法二:对任意给定的正数c,取x0=,
由(2)知,当x>0时,e x>x2,所以e x=·>,
当x>x0时,e x>>=x2,
因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<ce x.
证法三:首先证明当x∈(0,+∞)时,恒有x3<e x.
证明如下:
令h(x)=x3-e x,则h'(x)=x2-e x.
由(2)知,当x>0时,x2<e x,
从而h'(x)<0,h(x)在(0,+∞)内单调递减,
所以h(x)<h(0)=-1<0,即x3<e x.
取x0=,当x>x0时,有x2<x3<e x.
因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<ce x.
注:对c的分类可有不同的方式,只要证法正确,均相应给分.
教师用书专用(3)
3.(2013某某理,17,13分)已知函数f(x)=x-aln x(a∈R).
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1, f(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的极值.
解析函数f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=1-.
(1)当a=2时, f(x)=x-2ln x, f '(x)=1-(x>0),
因而f(1)=1, f '(1)=-1,
所以曲线y=f(x)在点A(1, f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.
(2)由f '(x)=1-=,x>0知:
①当a≤0时, f '(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;
②当a>0时,由f '(x)=0,解得x=a.
又当x∈(0,a)时, f '(x)<0;当x∈(a,+∞)时, f '(x)>0,
从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值.
综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;
当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.
三年模拟
A组2016—2018年模拟·基础题组
考点一导数的概念及几何意义
1.(2018某某常熟期中调研)已知曲线f(x)=ax3+ln x在(1,f(1))处的切线的斜率为2,则实数a的值是.
答案
2.(2018某某东台安丰高级中学月考)在平面直角坐标系xOy中,直线l与函数f(x)=2x2+a2(x>0)和
g(x)=2x3+a2(x>0)的图象均相切(其中a为常数),切点分别为A(x1,y1)和B(x2,y2),则x1+x2的值为.
答案
3.(2018某某某某中学月考)若曲线y=kx+ln x在点(1,k)处的切线平行于x轴,则k=.
答案-1
4.(2018某某某某宿迁高三第一学期期中)已知函数f(x)=x3.设曲线y=f(x)在点P(x1,f(x1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x2,f(x2)),记f '(x)为函数f(x)的导数,则的值为.
答案
5.(2018某某常熟高三期中)已知函数f(x)=若直线y=ax与y=f(x)的图象交于三个不同的点
A(m,f(m)),B(n,f(n)),C(t,f(t))(其中m<n<t),则n++2的取值X围是.
答案
6.(苏教选2—2,一,1,5,变式)经过点(2,0)且与曲线y=相切的直线方程为.
答案x+y-2=0
7.(2017某某某某暑期调研,5)曲线y=e x在x=0处的切线方程是.
答案y=x+1
8.(2017某某海头高级中学质检,10)已知点P(1,m)是函数y=ax+图象上的点,直线x+y=b是该函数图象在点P 处的切线,则a+b-m=.
答案 2
9.(2017某某某某高淳质检,10)设P是函数y=(x+1)图象上异于原点的动点,且该图象在点P处的切线的倾斜角为θ,则θ的取值X围是.
答案
10.(2017某某某某期中,4)曲线y=x-cos x在点处的切线方程为.
答案2x-y-=0
11.(2016某某某某中学期中,11)若x轴是曲线f(x)=ln x-kx+3的一条切线,则k=.
答案e2
12.(苏教选2—2,一,2,4,变式)点P是曲线y=e x上任意一点,求点P到直线y=x的最小距离.
解析根据题意设平行于直线y=x的直线与曲线y=e x相切于点(x0,y0),该切点即为曲线y=e x上与直线y=x距离最近的点,如图.则曲线y=e x在点(x0,y0)处的切线斜率为1.
∵y'=(e x)'=e x,
∴=1,得x0=0,
∴y0=1,即P(0,1).
利用点到直线的距离公式得点P(0,1)到直线y=x的距离为.
考点二导数的运算
13.(苏教选2—2,一,2,8,变式)设y=-2e x sin x,则y'=.
答案-2e x(sin x+cos x)
14.(苏教选2—2,一,2,5,变式)设曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=.
答案-2
15.(2016某某阶段测试,10)若函数f(x)=x3-f '(-1)x2+x,则[f '(0)+f '(1)]f '(2)=.
答案91
B组2016—2018年模拟·提升题组
(满分:15分时间:10分钟)
填空题(每小题5分,共15分)
1.(2017某某某某、某某一模,13)在平面直角坐标系xOy中,已知点P为函数y=2ln x的图象与圆M:(x-
3)2+y2=r2的公共点,且它们在点P处有公切线,若二次函数y=f(x)的图象经过点O,P,M,则y=f(x)的最大值为.
答案
2.(2017某某、某某第二次模拟考试,14)已知函数f(x)=ln x+(e-a)x-b,其中e为自然对数的底数.若不等式f(x)≤0恒成立,则的最小值为.
答案-
3.(2016某某某某期末,12)曲线y=x-(x>0)上一点P(x0,y0)处的切线分别与x轴,y轴交于点A、B,O是坐标原点,若△OAB的面积为,则x0=.
答案
C组2016—2018年模拟·方法题组
方法1 求函数的导数的方法
1.求下列函数的导数:
(1)y=x2sin x;(2)y=;(3)y=.
解析(1)y'=(x2)'sin x+x2(sin x)'=2xsin x+x2cos x.
(2)y'==.
(3)y'=
=
=.
方法2 利用导函数求曲线的切线方程
2.已知函数f(x)=,g(x)=aln x,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求该切线方程.
解析 f '(x)=,g'(x)=(x>0),
设两曲线交点的横坐标为x,则由已知得解得a=,x=e2,∴两条曲线交点的坐标为(e2,e),
切线的斜率k=f '(e2)=,∴切线的方程为y-e=(x-e2),即x-2ey+e2=0.
D组2016—2018年模拟·突破题组
(2016某某某某中学质检,19)对于函数f(x),g(x),如果它们的图象有公共点P,且在点P处的切线相同,则称函数f(x)和g(x)在点P处相切,称点P为这两个函数的切点.设函数f(x)=ax2-bx(a≠0),g(x)=ln x.
(1)当a=-1,b=0时, 判断函数f(x)和g(x)是否相切,并说明理由;
(2)已知a=b,a>0,且函数f(x)和g(x)相切,求切点P的坐标.
解析(1)当a=-1,b=0时,函数f(x)和g(x)不相切.
理由如下:由条件知f(x)=-x2,由g(x)=ln x,得x>0,因为f '(x)=-2x,g'(x)=,所以当x>0时,f '(x)=-
2x<0,g'(x)=>0,所以对于任意的x>0,f '(x)≠g'(x).
故当a=-1,b=0时,函数f(x)和g(x)不相切.
(2)若a=b,则f '(x)=2ax-a,由题意得g'(x)=,设切点坐标为(s,t),其中s>0,由题意,得as2-as=ln s①,2as-a=②,由②得a=,代入①得=ln s(*).因为a=>0,且s>0,所以s>.
设函数F(x)=-ln x,x∈,
则F'(x)=.
令F'(x)=0,解得x=1或x=(舍).
当x变化时,F'(x)与F(x)的变化情况如下表所示:
x 1 (1,+∞)
F'(x) + 0 -
F(x) ↗极大值↘
所以当x=1时,F(x)取到最大值F(1)=0,且
当x∈∪(1,+∞)时,F(x)<0.
因此,当且仅当x=1时,F(x)=0.所以方程(*)有且仅有一解s=1.
于是t=ln s=0,因此切点P的坐标为(1,0).。