线性代数课件PPT 第2章.矩阵PPT课件

x1 x2 x3
3x5 1
32xx11
2 x2 3x2
x3 x3
2 x4 4 x4
4x5 5x5
2 3
x1 x2 x3 x4 8x5 2
12
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2.1 高斯消元法
• 矩阵举例 解：线性方程的增广矩阵为
1 1 1 0 3 1
将
第
1
行
分
别
乘
以
-
2
,
-
3
,
x3 3x4 1
x4 0
4
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2.1 高斯消元法
• 高斯消元法
x1 x2
3x4 1
x2 2x3 2x4 0
此
方
程
组
和
原
方
程
组
是
同
解
的
，
我
们把
形
如
这
样
的x方3 程3称x4
为
阶1梯
线
性
方
程
组
，
因
此
易
得
x4 0
x1 1
x2 x3
2 1
x4 0
5
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a2n
称为数域F中的m×n矩阵，通am常1 用大am写2 字母记做aAmn或A m×n，有时也记做
A (aij )mn (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n)
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2.1 高斯消元法
• 矩阵的定义 其中aij称为矩阵A的第i行第j列元素，当aij ∈R(实数域)时，A称为实矩阵；当aij ∈C(复
骤规范而又简便。
例1：解线性方程组
2x1 2x2 6x4 2
32xx11
x2 x2
2x3 4x3
4x4 4x4
2 3
5x1 3x2 x3 20x4 2
2
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2.1 高斯消元法
• 高斯消元法 解： 1）将第1个方程乘1/2
x1 x2
3x4 1
2
）
将
第
1
个
方
程
a21
b21
并称A+B为A与B之和。
am1
bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n
a2n
b2n
amn
bmn
必须注意：只有行数相同，列数也相同的矩阵（即同型矩阵）才能相加，且同型矩阵之 和仍是同型矩阵。
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2.2 矩阵的加法、数量乘法、乘法
这些重要的结论，将在后面研究了矩阵的秩和向量的线性相关性的理论，才能得以严格 的论证。
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2.2 矩阵的加法、数量乘法、乘法
矩阵不仅对研究线性方程组的问题是重要的，而且研究线性代数的各种基本问题都离不 开矩阵，此外，很多实际问题的研究都要使用矩阵的工具。
矩阵的加法、数量乘法、乘法是矩阵最基本的运算，为了要讨论矩阵的运算，首先要对 两个矩阵相等给以定义。
数域)时，A称为复矩阵。
m×n个元素全为0的矩阵称为零矩阵，记做0。
当m=n时，称A为n阶矩阵（或n阶方阵）。
数域F上的全体m×n矩阵组成的集合，记做Fm×n 或 M m×n(F)；全体n×n实矩阵（或n阶实矩阵）组成的集合，记做Rn×n 或M n(R)。
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2.1 高斯消元法
• 矩阵的定义 线性方程组
1 1 0 0 7 1
称为
行
简
化
阶
梯矩
阵
，
它
所
对(A应,的b)线性方0程
组
0
0 0
10 4
2
0 1 3 1
0 0 0 0 0
0
x1 x2
7x5 1
x3 4x5 2
x415 3x5 1
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2.1 高斯消元法
• 矩阵举例 与原方程组同解，得
x1 1 k1 7k2
为
齐次线性
am2 x2
方
程
组，否
amn xn
则称为
bm
非
齐
次
线
性
方
程
组
。
齐
次
线
性
方
程
组
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2.1 高斯消元法
• 矩阵举例 例3：解线性方程组
x1 x2 x3 1
x1
2x2 5x3 2
2x1 3x2 4x3 5
18
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2.1 高斯消元法
• 矩阵举例
2.1 高斯消元法
• 高斯消元法 任意一个线性方程组都可以用高斯消元法将其化为容易求解的、同解的阶梯形线性方程组。所谓消元，就是将
元的系数化为0。
为了使消元过程书写简便，我们可以把线性方程组
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 am1x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b1
c1n d1
c2n
d2
crn
dr
0
d
r
1
0 0
0 0
2.1 高斯消元法
• 线性方程组的解
该行简化阶梯矩阵所对应的线性方程组与原方程组是同解方程组，因此线性方程组有解的充要条件是dr+1=0， 在有解的情况下：
1）当r=n时，有唯一解
x1 d1
x2
d2
xn dn
22
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2.1 高斯消元法
• 高斯消元法 3）将第2个方程乘-2，并分别加到第3,4个方程上
x1 x2
3x4 1
x2 2x3 2x4 0
将第3个方程乘-1，第4个方程乘-1/3，并交换第3,4个方x程4 的0位置
3x3 9x4 3
x1 x2
3x4 1
x2 2x3 2x4 0
阵A和A的行列式是不同的概念，当detA=0（此时A不一定为0矩阵）时，称A为奇异矩阵。 detA≠0，称 A为非奇异矩阵。
28
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2.2 矩阵的加法、数量乘法、乘法
• 矩阵的加法 定义：设A=(aij)和B=(bij) ∈Fm×n，规定
a11 b11
A
B
(aij
bij
)
乘
-
2
,
-
3
,
-
5
，
并
分
别加32到xx11
第
x2 2x3 4x4 2x2, 3, 44个x3方 程4 x上4
2 3
5x1 3x2 x3 20x4 2
x1 x2
3x4 1
x2 2x3 2x4 0 2x2 4x3 5x4 0
2 x2
x3
5
3
x4
3
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立即可得x=3, y=2, z=-8。
x 1 8 3 1 z
0
y
4
0
2
4
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2.2 矩阵的加法、数量乘法、乘法
• 矩阵与行列式的区别 矩阵与行列式的本质区别： 1）行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表； 2）矩阵的行数和列数也可以不同；对于n阶方阵A，虽然有时也要计算它的行列式（记作|A|或detA），但方
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2.1 高斯消元法
• 线性方程组的解 还需指出：用不同的消元步骤，将增广矩阵化为阶梯矩阵时，阶梯矩阵的形式不是唯一
的，但阶梯矩阵的非0行数是唯一确定的，当线性方程组有解时，这表明解中任意常数 的个数是相同的，但是解的表示式不是唯一的，然而每一种解的表示式中包含的无穷 多个解的集合又是相等的。
2.1 高斯消元法
• 线性方程组的解
2）当r<n时，有无穷多解，把每行第一个非0元素cii所在列对应的未知量（这里是x1, x2, ... , xr）取为基本 未知量，其余未知量（这里是xr+1, xr+2, ... , xn）取为自由未知量，并令自由未知量依次取任意常数k1, k2, ... , kn-r，即可求得
对应的矩阵
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 am1x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b1
amn xn bm
a11 a12
a21
a22
称
为
增
广
矩
阵
，
记
为
(
Aa, mb1
)
。
am
2
a1n b1
a2n
b2
amn
bm
10
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2.1 高斯消元法
• 矩阵举例 这种含有矛盾方程而无解的方程组称为不相容方程组，有解的方程组称为相容方程组。
在行简化阶梯矩阵中，全0的行表示的方程称为多余方程；在行简化阶梯矩阵中，如果某 行未知量系数全为0，而对应的常数量不为0，则此行表示的方程为矛盾方程。
在高斯消元法的消元过程中，在增广矩阵上会清楚地揭示出方程组中的多余方程和矛盾 方程。
2.1 高斯消元法
• 矩阵的定义 其中由未知元系数排列成的矩阵A
a11 a12
a21
a22
称为线性方程组的 系数矩阵。am1 am2
a1n
a2n
amn
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2.1 高斯消元法
• 矩阵举例 用消元法解线性方程组的消元步骤可以在增广矩阵上实现，下面举例说明
例2：求解线性方程组
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2.1 高斯消元法
• 线性方程组的解 对于一般的线性方程组，通过消元步骤，可以将其增广矩阵化为如下所示的行简化阶梯矩阵：
c11 0
0
c22
(A, b)
0 0
0 0
0 0
0 0
0 c1,r 1 0 c2,r 1
crr cr,r 1 00 00
00
21
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第2章 矩阵
• 高斯消元法 • 矩阵的加法、数量乘法、乘法 • 矩阵的转置、对称矩阵 • 可逆矩阵的逆矩阵 • 矩阵的初等变换和初等矩阵 • 分块矩阵
1
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2.1 高斯消元法
• 高斯消元法 消元法的基本思想是通过变形把方程组化成容易求解的同解方程。在解未知量较多的方程组时，需要使消元步
解：
1 1 1 1
1 1 1 1
(A,b) 1
2
5
2
2 1(1) 3 1 (2)
0
1
6
1
2 3 4 5
0 1 6 3
1 1 1 1
1 0 7 0
3 2 (1)
0
1
6
1 12(1) 0
1
6
1
第3行表示
0 0 0 2
0 0 0 2
是无解的，故原方程组无解。0x1 0x2 0x3 2
19
元过程就可以在这张数表上进行操作，这张数表就称之为矩阵(matrix)。
7
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2.1 高斯消元法
• 矩阵的定义
定义：数域F中的m×n个元素aij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)排列成m行n列，并括以圆括 号（或方括弧）的数表
a11 a12
a21
a22
a1n
• 矩阵的加法 矩阵的加法满足以下运算律： 1）交换律：A+B=B+A； 2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C)； 3）零矩阵满足：A+0=A，其中0是与A同型的零矩阵； 4）存在矩阵(－A)满足A+(－A)=0，此时，如果A=(aij)m×n，则(－A) =(－aij)m×n，并
x1 d1 c1,r 1k1
x2
d2
c2,r 1k1
c1n knr c2n knr
xr
dr
cr,r 1k1
xr
1
k1
crn knr
xn knr
23
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2.1 高斯消元法
• 线性方程组的解 齐次线性方程组总是有解的，这是因为d1=...=dr=dr+1=0。 1）当r=n时，只有0解； 2）当r<n时，有无穷多解。 如果齐次线性方程组中方程的个数m小于未知量个数n，则必有无穷多个非0解。
x2 x3
k1 2
4k2
x4
1 3k2
x5 k2
16
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2.1 高斯消元法
• 矩阵举例 当线性方程组
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2
a1n xn b1 a2n xn b1
的
常数 的解
项 法
b1=b2=. 与前面一
..=b 样。
m
=
0
时
，
我们a称m1 x它1
amn xn bm
6
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2.1 高斯消元法
• 高斯消元法 对应的系数按顺序排成一张矩形数表
a11 a12
a21
a22
a1n b1
a2n
b2
其中aij (i=1,2,...,m; j=1a,2m,1...,na)m表2示第i个方am程n第jb个m未 知变量xj的系数。这样，高斯消
1 1 1 0 3 1
第4
行
乘
-
1
/
3
，
并和
第
3
行(交A换, b，)
得
0 0
0 0
1 0
2
2
0
0 0 0
0 0
0 3 9
3
1 1 1 0 3 1
(A,b) 0 0
1
2 2
0
0 0 0 1 3 1
0 0
000
0
பைடு நூலகம்
14
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2.1 高斯消元法
• 矩阵举例
此阶梯形增广矩阵所对应的线性方程组与原线性方程组是同解的，为了在求解时省去回代的步骤，我们把每一 行第一个非0元素所在的列的其余元素全化为0，即
-
1
，
并(A依,次b)加到第23
2
,
2 3, 43行
1 上1，
2 消4去
4 后5三
2 个方3程
中
的
x
1
（
此
时
也
消
去
了
x
2
），得
1 1
1
18
2
1 1 1 0 3 1
(A,b) 0 0
1
2 2
0
0 0 2 4 4 0
0 0
2 131 5
3
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2.1 高斯消元法
• 矩阵举例 将第2行乘-2，分别加到第3,4行上，得
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2.2 矩阵的加法、数量乘法、乘法
• 矩阵的相等 定义：如果两个矩阵A=(aij)和B=(bij)的行数和列数分别相等，且各对应元素也相等，即
就称A和B相等，记作A=B。
aij bij i 1, 2, , m; j 1, 2, , n
由定义可知，两个m×n矩阵构成一个矩阵等式，等价于m×n个元素的等式，例如由