初中数学几何最值专题44：阿波罗尼斯圆问题(最全修正版)

阿波罗尼斯圆问题（阿氏圆）
所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．
如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k ≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．
【问题引入】
如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两
点，点P 是圆C 上一个动点，则12
PA PB 的最小值为__________；则PA+2
3PB 的最小值为__________；
解析提示：
解析提示：
【问题分析】
这个问题最大的难点在于转化1
2PA ，此处P 点轨迹是圆，注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含
线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=1
2PA ．
问题转化为PM+PB 最小值，直接连BM 即可． 【问题剖析】
（1）这里为什么是1
2
PA ？
（2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少？
【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决． 【思考】分析解析提示2中原理
E
A
B C D
P
M
P
D
C
B
A
【问题引入】
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两
，则2PM+PN的最小值为__________；则2PM+3PN的最小值为点，点P是圆C上一个动点，CM=1，CN=4
3
__________；
解析提示：解析提示：
【问题分析】
这个问题最大的难点在于转化2PM，此处P点轨迹是圆，注意到圆C半径为2，CM=1，连接CP，构造包含线段PM的△CMP，连接AP，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即2PM=PA．
问题转化为PN+PA最小值，直接连AN即可．
【问题剖析】
（1）这里为什么是2PM？
（2）如果问题设计为PM+kPN最小值，k应为多少？
【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．
【思考】分析解析提示2中原理
【例题精讲】
例1、如图，点A、B在圆O上，且OA=OB=6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD=4。

动
解析提示：
总结：
例2、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝12，AC ＝9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2
3
AD ＋BD 的最小值是 。

解析提示：
总结：
例3、点P 是边长8的正三角形ABC 的内切圆的一个动点，求BP+PC 的最小值 。

解析提示：
总结：
例4、如图，已知正方ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，则1
2PD PC 的最大
值为 。

解析提示：
总结：
例5、问题提出：如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 的半径为2，P 为圆上一动点，连接AP 、BP 2
（1
）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP ，在CB 上取一点D ，使CD
＝1，则
2
1
==CB CP CP CD ．又∠PCD ＝∠BCP ，所以△PCD ∽△BCP ．所以． 所以PD ＝PB ，所以PD AP BP AP +=+2
1
．
1
的最小值为 ；
（23
（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD 中，∠COD ＝90°，OC ＝6，OA ＝3，OB ＝5，P 是上一点，求2PA+PB
的最小值．
解析提示：
A B C
D
P
总结：
例6、
如图1，平行ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，设PB+PD的值为a，如图2，⊙O是正方形ABCD的内切圆，AB＝4，点P是⊙O上一个动点，设AP+DP的值为b，
如图3，MN＝4，∠M＝75°，MG＝3．点O是△MNG内一点，设点O到△MNG三个顶点的距离和的值为c，则a2+b2+c2的最小值为。

解析提示：
总结：
针对训练
1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，AP+ BP的最小值为。

2、如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为上一动点，则PC+PD的最小值为。

3、【定义】满足一定条件的点所经过的路线称为这个点的轨迹．
【命题】已知平面上两个定点A，B，则所有满足＝k（k＞0且k≠1）的点P的轨迹是一个圆．
【证明】如图①，要使需＝k，一定在直线AB上存在一点O，使△OPB∽△OAP，这时＝k，且OP2＝OB×OA，设AB＝p，OB＝a，则OP＝ka．
请你完成余下的证明．
【应用】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，c＝2，b＝2a，求三角形ABC面积的最大值．【拓展】如图②，⊙O是正方形ABCD的内切圆，AB＝4，点P是⊙O上一个动点，求AP+DP的最小值．
4、问题提出：
如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连接AP，BP，求AP+BP的最小值（1）尝试解决：
为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将BP转化为某一条线段长，具体方法如下：（请把下面的过程填写完整）
如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有
又∵∠PCD＝∠
△∽△
∴
∴PD＝BP
∴AP+BP＝AP+PD
∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．
（2）自主探索：
如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则AP+PC的最小值为．（请
在图3中添加相应的辅助线）
（3）拓展延伸：
如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA+PB
的最小值，画出示意图并写出求解过程．
5、（1）初步思考：
如图1，在△PCB中，已知PB＝2，BC＝4，N为BC上一点且BN＝1，试证明：PN＝PC
（2）问题提出：
如图2，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+PC的最小值．（3）推广运用：
如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD﹣PC 的最大值．
6、问题提出
（1）如图①，线段在OA＝4，OB＝2，将OB绕点O在平面内旋转360°，AB的最大值是，最小值是；问题探究
（2）如图②，已知在△BPC中，BP＝2，BC＝4，在BC上取一点D，当BD的长为多少时，PD＝PC，说明理由．
问题解决
（3）在一次“激流勇进，冲关我最棒”活动中，最后一关示意图如图③，活动区域为菱形ABCD和⊙B的部分．已知菱形的边长为4m，∠ABC＝60°，⊙B的半径为2m，点P为转动的圆盘B上的一个动点（P为⊙B 上一点），D为冲关起点，参赛者沿上坡路线DP冲到圆盘边上一动点P，再沿下坡路线PC快速下滑到点C．其中，DP，PC的长度随点P的位置伸缩，若上坡的平均速度为v，下坡的平均速度为2v，求冲关者冲关的最短时间（用含v的式子表示）．。