勾股定理拔高-讲义

勾股定理 拔高训练
1.如图,P 是等边三角形ABC ∆内的一点，连结PA 、PB 、PC ，以BP 为边作
60=∠PBQ ，且BQ=BP ，连结CQ 、PQ ，若PA ：PB ：PC=3：4：5，试判断PQC ∆的形状。

2.如图，ADC ∆和BCE ∆都是等边三角形，
30=∠ABC ,试说明：2
2
2
BC AB BD +=
3.在等腰直角三角形中，AB=AC,点D 是斜边BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF 。

（1）说明：2
2
2
EF CF BE =+ （2)若BE=12,CF=5,试求DEF ∆的面积。

4。

为了美化环境，计划在某小区用草地铺设一个等腰三角形,使它的面积为30平方米且有一边长为10米，求另外两条边。

勾股定理提高训练(一）
1、在Rt △ABC 中,若直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为_____________．
2、已知直角三角形的两边长为
3、2，则另一条边长是________________．
3．在一个直角三角形中，若斜边长为5cm ，直角边的长为3cm,则另一条直角边的长为（ ). A ．4cm B ．4cm 或cm 34 C ．cm 34 D ．不存在 4、在直角三角形ABC 中，斜边AB=1，则AB 2
2
2
AC BC ++的值是（ ） A.2 B.4 C.6 D.8
5、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．
6、如图,学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米）,却踩伤了花草．
C
D
B
第7题
F
E
D
C
B
A
第9题
B
A
6cm
3cm 1cm
第10题图
C
B
A
7
15
24
25
207
1520
24
25
15
7
2520
24
257
202415
(A)(B)
(C)
(D)
7、如图,在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，D 是AB 的中点，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，则DE 的长是__. 8、把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是9㎝2
，那么还要准备一根长为____的铁丝才能把三角形做好．
9．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与 A 点重合,则EB 的长是( )． A ．3
B ．4 C
D ．5
10、如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．
①如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要__cm ； ②如果从点A 开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B ，那么所用细线最短需要______cm ．
勾股定理提高训练（二）
1、如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点,则∠ABC 的度数为（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°
2、下列各组数据中,不能作为直角三角形三边长的是（ ） A.9，12,15 B 。

4
3
,1,45 C 。

0。

2，0。

3，0.4 D.40,41，9 3、满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A.三个内角比为1∶2∶1 B.三边之比为1∶2∶5 C 。

三边之比为3∶2∶5 D. 三个内角比为1∶2∶3
4、已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ） A.2 B.102 C 。

10224或 D 。

以上都不对
5、 五根小木棒，其长度分别为7，15,20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形,其中正确的是（ )
A B C D
6、△ABC 的三边分别是
7、24、25，则三角形的最大内角的度数是 7、已知△ABC 的三边长满足18,10==+ab b a ，8=c ，则为 三角形.
8、将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 （ )． A 。

直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D 。

不是直角三角形
9、在三角形ABC 中，AB=12cm ,AC=5cm ，BC=13cm ，则BC 边上的高为AD= cm . 10、下列命题中是假命题的是( )．
A ．△ABC 中,若∠B=∠C－∠A,则△ABC 是直角三角形。

B ．△AB
C 中，若a 2
=（b+c)(b －c ）,则△ABC 是直角三角形. C ．△ABC 中，若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5则△ABC 是直角三角形. D ．△ABC 中,若a∶b∶c=5∶4∶3则△ABC 是直角三角形.
11．如图,已知四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3,BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。

12、如图，AB 为一棵大树，在树上距地面10m 的D 处有两只猴子,它们同时发现地面上的C 处有一筐水果，一只猴子从D 处上爬到树顶A 处，利用拉在A 处的滑绳AC,滑到C 处，另一只猴子从D 处滑到地面B,再由B 跑到C ，已知两猴子所经路程都是15m ，求树高AB 。

13、如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B＝45°, AD ＝1，B C ＝4,求DC 的长．
15、如图,某学校（A 点）与公路（直线L)的距离为300米，又与公路车站（D 点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C 点),使之与该校 A 及车站D 的距离相等,求商店与车站之间的距离．
第11题图
B
A C
D .
第12题图
B C
A D
A
D
E
B
C
16．如图，铁路上A ，B 两点相距25km,C ，D 为两村庄,DA⊥AB 于A,CB⊥AB 于B,已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？
17、如图所示，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB 的长。

中考试题精选
（2012广州市)在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C 到AB 的距离是( ) A 。

365 B 。

1225 C 。

94 D. 33
4
（2012巴中市）已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且满足关系c 2
-a 2
—b 2
+|a-b|=0,则△ABC 的形状为______
(2013巴中）若直角三角形的两直角边长为a 、b ，且满足，则该直角三角形的
斜边长为 ．
（2013黔西南州）一直角三角形的两边长分别为3和4。

则第三边的长为（ ） A 、5 B 、7 C 、5 D 、5或7 （2013柳州）在△ABC 中,∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD A ．
B ．
平分∠BAC 交BC 于D ，则BD 的长为（ ） C ．
D ．
第17题图
(2012南充市）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD的面积是24cm2，则AC长是_____________cm.
（2013•湘西州）如图，Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．
（2013•达州)如图，折叠矩形纸片ABCD,使B点落在AD上一点E处，折痕的两端点分别在AB、BC上（含端点）,且AB=6，BC=10。

设AE=x,则x 的取值范围是.
（2013•资阳）如图1，点E在正方形ABC D内，满足90
∠=︒,AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是 ( ）
AEB
A．48B．60C．76D．80
（2013鞍山）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6,BD=4，CD=3,E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD 的中点，则四边形EFGH的周长是．
图1
（2013•鄂州）如图,已知直线a∥b,且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b 的距离为3，AB=．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（)A． 6 B． 8 C． 10 D． 12
（2013山东滨州）在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为______．
（2013•鄂州）小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高．小明说：“这楼起码20层！”小华却不以为然：“20层？我看没有，数数就知道了！"小明说:“有本事，你不用数也能明白！"小华想了想说：“没问题！让我们来量一量吧!”小明、小华在楼体两侧各选A、B两点，测量数据如图，其中矩形CDEF表示楼体，AB=150米，CD=10米，∠A=30°,∠B=45°,（A、C、D、B四点在同一直线上）问：
（1）楼高多少米？
(2）若每层楼按3米计算，你支持小明还是小华的观点呢？请说明理由．（参考数据：≈1.73，≈1.41，≈2.24）
（2013•襄阳)在一张直角三角形纸片中,分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是6或2．
考点：图形的剪拼；勾股定理．
分析：先根据题意画出图形，此题要分两种情况，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半即可求出斜边的长．
解答：
①如图所示:连接CD，CD==，∵D为AB中点，∴AB=2CD=2；
，
②如图所示：连接EF，EF==3，
∵E为AB中点，∴AB=2EF=6，故答案为：6或2．
点评:此题考查了图形的剪拼，解题的关键是能够根据题意画出图形，在解题时要注意分两种情况画图，不要漏解．
（2013•莆田)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的面积分别为2,5，1，2．则最大的正方形E的面积是10．
分析：根据正方形的面积公式,结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C,D的面积和即为最大正方形的面积．
解答：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3,于是S3=S1+S2,即S3=2+5+1+2=10．故答案是：10．
点评：本题考查了勾股定理的应用．能够发现正方形A，B,C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A,B，C，D的面积和即是最大正方形的面积．
（2013•东营）如图，圆柱形容器中，高为1。

2m，底面周长为1m，在容器内壁
．．离容器底部0.3m的点
B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁
．．的点A处,则壁虎捕捉蚊子的
．．,离容器上沿0.3m与蚊子相对
最短距离为1。

3 m(容器厚度忽略不计）.
（2014•湘潭)如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度,想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作一直线（在山的旁边经过)，与L相交于D点,经测量∠ABD=135°,BD=800米,求直线L上距离D点多远的C 处开挖？(≈1。

414，精确到1米）
考点：勾股定理的应用．
分析:首先证明△BCD是等腰直角三角形，再根据勾股定理可得CD2+BC2=BD2，然后再代入BD=800米进行计算即可．
解答：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°,∵∠ABD=135°，∴∠DBC=45°，∴∠D=45°，∴CB=CD,
在Rt△DCB中：CD2+BC2=BD2，2CD2=8002，CD=400≈566（米)，
答：直线L上距离D点566米的C处开挖．
点评:此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
(2014•湖南张家界）如图，在Rt△ABC中,∠ACB=60°,DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD=2，则AC的长是（)A．4 B．4C．8 D．8
考点：线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形;勾股定理．
分析:求出∠ACB,根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB,由勾股定理求出BC，再求出AC即可．
解答：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=60°,∴∠A=30°．
∵DE垂直平分斜边AC，∴AD=CD，∴∠A=∠ACD=30°,∴∠DCB=60°﹣30°=30°，
∵BD=2，∴CD=AD=4,∴AB=2+4+2=6，
在△BCD中，由勾股定理得:CB=2，
在△ABC中，由勾股定理得：AC==4，故选:B．
点评：本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中．
（2014•十堰）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3,EC=1，则DE的长为（)
A．2B．C．2D．
考点:勾股定理；等腰三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线．
分析：根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG，根据等腰三角形的性质可得∠GAD=∠GDA，根据三角形外角的性质可得∠CGD=2∠GAD，再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD=∠CGD,根据等腰三角形的性质可得CD=DG,再根据勾股定理即可求解．
解答：∵AD∥BC,DE⊥BC，∴DE⊥AD，∠CAD=∠ACB
∵点G为AF的中点，∴DG=AG，∴∠GAD=∠GDA，∴∠CGD=2∠CAD，
∵∠ACD=2∠ACB,∴∠ACD=∠CGD，∴CD=DG=3，
在Rt△CED中,DE==2．故选：C．
点评：综合考查了勾股定理,等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明CD=DG=3．
（2014•山东枣庄）图①所示的正方体木块棱长为6cm,沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角,得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（3+3）cm．
考点：平面展开—最短路径问题；截一个几何体
分析：要求蚂蚁爬行的最短距离,需将图②的几何体表面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．解答：如图所示：△BCD是等腰直角三角形，△ACD是等边三角形，
在Rt△BCD中，CD==6cm,∴BE=CD=3cm，
在Rt△ACE中，AE==3cm，∴从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（3+3）cm．故答案为：（3+3）．
点评：考查了平面展开—-———最短路径问题，本题就是把图②的几何体表面展开成平面图形,根据等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质解决问题．
(2014•山东潍坊）我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上’高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是__________尺．
考点:平面展开－最短路径问题；勾股定理的应用．
分析：这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．
解答：如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，另一条直角边长5×3=15（尺),因此葛藤长2
2
2015 =25（尺）．故答案为：25
点评:本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形,本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解．
（2014•四川凉山州)已知一个直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 5或 ．
考点：勾股定理．专题：分类讨论．
分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边;②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长． 解答:①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：=
； ②长为3、4的边都是直角边时:第三边的长为:
=5;故第三边的长为:5或
．
点评:此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论,以免漏解．
（2014•四川凉山州）如图，圆柱形容器高为18cm ，底面周长为24cm ，在杯内壁离杯底4cm 的点B 处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外币A 处到达内壁B 处的最短距离为 20 cm ．
考点：平面展开－最短路径问题
分析:将杯子侧面展开,建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．解答：如图:将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B,则A′B即为最短距离，A′B===20（cm)．故答案为：20．
点评：本题考查了平面展开﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
11．（2014•甘肃白银）等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高是cm．
考点：勾股定理；等腰三角形的性质．
分析：利用等腰三角形的“三线合一”的性质得到BD=BC=6cm，然后在直角△ABD中，利用勾股定理求得高线AD的长度．
解答：如图，AD是BC边上的高线．∵AB=AC=10cm，BC=12cm，∴BD=CD=6cm,
∴在直角△ABD中，由勾股定理得到：AD===（8cm)．故答案是：8．
点评：本题主要考查了等腰三角形的三线合一定理和勾股定理．等腰三角形底边上的高线把等腰三角形分成两个全等的直角三角形．
（2014年广西钦州）如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中,如图从A点到B 点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（）
A．1种B．2种C．3种D．4种
考点：勾股定理的应用．专题:计算题．
分析:如图所示，找出从A点到B点的最短距离的走法即可．
解答：根据题意得出最短路程如图所示，最短路程长为+1=2+1，则从A点到B点的最短距离的走法共有3种,故选C
点评：此题考查了勾股定理的应用，弄清题意是解本题的关键．
（2014•乐山)如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则CD的长为（）A．B．C．D．
考点：勾股定理;三角形的面积．.
分析：利用勾股定理求得相关线段的长度，然后由面积法求得BD的长度；最后在直角△BCD中，利用勾股定理来求CD的长度．
解答：如图，由勾股定理得AC==．∵BC×2=AC•BD，即×2×2=×BD∴BD=．
在直角△BCD中，由勾股定理知，CD==．故选：C．
点评:考查了勾股定理，三角形的面积．利用面积法求得线段BD的长度是解题的关键．
（2014•无锡）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于8．
考点：勾股定理；直角三角形斜边上的中线
分析：由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角△ACD中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可．
解答：如图，∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点,DE=5，∴DE=AC=5，∴AC=10．
在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6,AC=10，则根据勾股定理，得
CD===8．故答案是：8．
点评：本题考查了勾股定理,直角三角形斜边上的中线．利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC的长度是解题的难点．
(2014•黑龙江牡丹江)如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BC边上的高AD=6cm，腰AB上的高CE=8cm,则△ABC的周长等于12cm．
考点：勾股定理;三角形的面积；等腰三角形的性质
分析：根据三角形的面积求得=，根据勾股定理求得AB2=BC2+36,依据这两个式子求出AB、BC 的值,即可求得周长．
解答：∵AD是BC边上的高，CE是AB边上的高，∴AB•CE=BC•AD，
∵AD=6，CE=8，∴=，∴=，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC=BC，
∵AB2﹣BD2=AD2,∴AB2=BC2+36,∴=，整理得；BC2=,
解得：BC=，∴AB=×BC=×=，
∴△ABC的周长=2AB+BC=2×+=12．故答案为12．
点评:考查了三角形的面积以及勾股定理的应用，找出AB与BC的数量关系是本题的关键．
（2014•湖北黄石）小明听说“武黄城际列车"已经开通,便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B,现在可以在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B．设AB=80km，BC=20km，∠ABC=120°．请你帮助小明解决以下问题:
（1）求A、C之间的距离；（参考数据=4。

6）
（2）若客车的平均速度是60km/h，市内的公共汽车的平均速度为40km/h,城际列车的平均速度为180km/h,为了最短时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案?请说明理由．（不计候车时间)
第1题图
考点：勾股定理的应用
分析：(1）过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E点，利用勾股定理求得AC的长即可;
（2)分别求得乘车时间，然后比较即可得到答案．
解答：(1)过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E点，∵∠ABC=120°,BC=20，∴BE=10，
在△ACE中,∵AC2=8100+300，∴；
（2）乘客车需时间(小时）；乘列车需时间（小时）；∴选择城际列车．点评:本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形．。