人教版九年级下数学第二十七章 相似单元练习题(含答案)

人教版九年级下数学第二十七章相似单元练习题（含答案）.doc
一、选择题
1.如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是()
A．∠C＝∠AED
B．＝
C．∠B＝∠D
D．＝
2.如图，已知矩形ABCD和矩形EFGO在平面直角坐标系中，点B，F的坐标分别为(－4,4)，(2,1)．若矩形ABCD和矩形EFGO是位似图形，点P(点P在GC上)是位似中心，则点P的坐标为()
A．(0,3)
B．(0,2.5)
C．(0,2)
D．(0,1.5)
3.如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝4，则下列结论：①＝；②S△BCE＝36；③S△ABE＝12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是()
A．①②③④
B．①④
C．②③④
D．①②③
4.如图，圆内接四边形ABCD的BA，CD的延长线交于P，AC，BD交于E，则图中相似三角形有()
A．2对
B．3对
C．4对
D．5对
5.下列各组图形中可能不相似的是()
A．各有一个角是45°的两个等腰三角形
B．各有一个角是60°的两个等腰三角形
C．各有一个角是105°的两个等腰三角形
D．两个等腰直角三角形
6.如图，把一个长方形划分为5个全等的小长方形，若要使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方形的边a，b应满足的条件是()
A．a＝5b
B．a＝10b
C．a＝b
D．a＝2b
7.如图，己知△ABC，任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是()
①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；
③△ABC与△DEF的周长比为1∶2；④△ABC与△DEF的面积比为4∶1.
A．1
B．2
C．3
D．4
8.如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB＝90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为()
A．
B．
C．
D．
9.如图，已知△ABC在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,3)，若以点B为位似中心，在平面直角坐标系内画出△A′BC′，使得△A′BC′与△ABC位似，且相似比为2∶1，则点C′的坐标为()
A．(0,0)
B．(0,1)
C．(1，－1)
D．(1,0)
10.对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q′，保
持PQ＝P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距变换的是() A．平移
B．旋转
C．轴对称
D．位似
二、填空题
11.已知：在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6.
(1)如果DE＝10，那么当EF＝________，FD＝________时，△DEF∽△ABC；
(2)如果DE＝10，那么当EF＝________，FD＝________时，△FDE∽△ABC.
12.如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE 交AD于点F.若CD＝5，BC＝8，AE＝2，则AF＝________.
13.如图，在平行四边形ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF分别交AC、CD于P、E，则图中的位似三角形共有________对．
14.已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为__________．
15.两千多年前，我国的学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验．他的做法是，在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小华在学习了小孔成像的原理后，利用如图装置来验证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔20 cm，光屏在距小孔30 cm处，小华测量了蜡烛的火焰高度为2 cm，则光屏上火焰所成像的高度为__________ cm.
16.已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2 m，b＝4 m，c＝5 m，则d＝__________ m.
17.汪老师要装修自己带阁楼的新居(如图为新居剖面图)，在建造客厅到阁楼的楼梯AC时，为避免上楼时墙角F碰头，设计墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75 m．他量得客厅高AB ＝2.8 m，楼梯洞口宽AF＝2 m，阁楼阳台宽EF＝3 m．要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75 m，楼梯底端C到墙角D的距离CD是____________ m.
18.△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2.以点C为位似中心将△ABC按∶1放大，A、B 的对应点分别为A′、B′，再将△A′B′C绕点C旋转90°，A′的对应点为P，则点P与B之间的距离为__________．
19.如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知CD＝12 m，DE＝18 m，小明和小华的身高都是1.5 m，同一时刻小明站在E处，影子落在坡面上，影长为2 m，小华站在平地上，影子也落在平地上，影长为1 m，则塔高AB是__________米．
20.如图，小强和小华共同站在路灯下，小强的身高EF＝1.8 m，小华的身高MN＝1.5 m，他们的影子恰巧等于自己的身高，即BF＝1.8 m，CN＝1.5 m，且两人相距4.7 m，则路灯AD 的高度是____________．
三、解答题
21.如图，四边形ABCD是平行四边形，E为边CD延长线上一点，连接BE交边AD于点F.请找出一对相似三角形，并加以证明．
22.作图：如图所示，O为△ABC外一点，以O为位似中心，将△ABC缩小为原图的.(只作图，不写作法和步骤)
23.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点四边形ABCD(顶点是网格线的交点)和直线l，按要求画图．
(1)作出四边形ABCD关于直线l成轴对称的四边形A′B′C′D′；
(2)以B为位似中心，在点B的下方将四边形ABCD放大2倍得到四边形A1B1C1D1，画出四边形A1B1C1D1.
24.如果两个一次函数y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2满足k1＝k2，b1≠b2，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”．
如图，已知函数y＝－2x＋4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，一次函数y＝kx＋b 与y＝－2x＋4是“平行一次函数”
(1)若函数y＝kx＋b的图象过点(3,1)，求b的值；
(2)若函数y＝kx＋b的图象与两坐标轴围成的三角形和△AOB构成位似图形，位似中心为原点，位似比为1∶2，求函数y＝kx＋b的表达式．
25.如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别是线段OA、OB、OC、OD的中点，那么▱ABCD与四边形EFGH是否是位似图形？为什么？
26.如图1，给定锐角三角形ABC，小明希望画正方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上，他发现直接画图比较困难，于是他先画了一个正方形HIJK，使得点H，I位于射线BC上，K位于射线BA上，而不需要求J必须位于AC上．这时他发现可以将正方形HIJK通过放大或缩小得到满足要求的正方形DEFG.
阅读以上材料，回答小明接下来研究的以下问题：
(1)如图2，给定锐角三角形ABC，画出所有长宽比为2：1的长方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．
(2)已知三角形ABC的面积为36，BC＝12，在第(1)问的条件下，求长方形DEFG的面积．
27.如图：已知AB⊥DB于B点，CD⊥DB于D点，AB＝6，CD＝4，BD＝14，在DB上取一点P，使以CDP为顶点的三角形与以PBA为顶点的三角形相似，则DP的长．
28.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2,1)，B(－1,4)，C(－3,2)．
(1)画出△ABC关于点B成中心对称的图形△A1BC1；
(2)以原点O为位似中心，位似比为1∶2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点坐标．
答案解析
1.【答案】D
【解析】∵∠1＝∠2，
∴∠BAC＝∠DAE.
A．∵∠C＝∠AED，∴△ABC∽△ADE，错误；
B．∵＝，∴△ABC∽△ADE，错误；
C．∵∠B＝∠D，∴△ABC∽△ADE，错误；
D．∵＝，∠B与∠D的大小无法判定，∴无法判定△ABC∽△ADE，正确．故选D.
2.【答案】C
【解析】连接BF交y轴于P，
∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为(－4,4)，(2,1)，
∴点C的坐标为(0,4)，点G的坐标为(0,1)，
∴CG＝3，
∵BC∥GF，
∴＝＝，
∴GP＝1，PC＝2，
∴点P的坐标为(0,2)，
故选C.
3.【答案】D
【解析】∵在▱ABCD中，AO＝AC，
∵点E是OA的中点，
∴AE＝CE，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴＝＝，
∵AD＝BC，
∴AF＝AD，
∴＝；故①正确；
∵S△AEF＝4，＝＝，
∴S△BCE＝36；故②正确；
∵＝＝，
∴＝，
∴S△ABE＝12，故③正确；
∵BF不平行于CD，
∴△AEF与△ADC只有一个角相等，
∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误，
故选D.
4.【答案】C
【解析】根据同弧所对的圆周角相等及相似三角形的判定定理可知，图中相似三角形有4对，分别是△ADE∽△BCE，△AEB∽△DEC，△PAD∽△PCB，△PBD∽△PCA.故选C.
5.【答案】A
【解析】A.不正确，因为没有指明这个45°的角是顶角还是底角，则无法判定其相似；B．由已知我们可以得到这是两个正三角形，从而可以根据三组对应边的比相等的两个三角形相似判定这两个三角形相似；
C．正确，已知一个角为105°，则我们可以判定其为顶角，这样我们就可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似判定这两个三角形相似；
D．正确，因为是等腰直角三角形，则我们可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定这两个三角形相似．
故选A.
6.【答案】C
【解析】∵每一个小长方形与原长方形相似，
∴＝，
∴a2＝5b2，
∴a＝b.
故选C.
7.【答案】C
【解析】根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，②△ABC与△DEF是相似图形，
∵将△ABC的三边缩小的原来的，
∴△ABC与△DEF的周长比为2∶1，
故③选项错误，
根据面积比等于相似比的平方，
∴④△ABC与△DEF的面积比为4∶1.
故选C.
8.【答案】A
【解析】如图，作BF⊥l3，AE⊥l3，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF＋∠ACE＝90°，
∵∠BCF＋∠CBF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF，
在△ACE和△CBF中，，
∴△ACE≌△CBF，
∴CE＝BF＝3，CF＝AE＝4，
∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，
∴AG＝1，BG＝EF＝CF＋CE＝7，
∴AB＝＝5，
∵l2∥l3，
∴＝＝，
∴DG＝CE＝，
∴BD＝BG－DG＝7－＝，
∴＝＝.
故选A.
9.【答案】D
【解析】如图所示：△A′BC′与△ABC位似，相似比为2∶1，
点C′的坐标为(1,0)．
故选D.
10.【答案】D
【解析】平移的性质是把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，则平移变换是“等距变换”；
旋转的性质：旋转前、后的图形全等，则旋转变换是“等距变换”；
轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等，则轴对称变换是“等距变换”；
位似变换的性质：位似变换的两个图形是相似形，则位似变换不一定是等距变换，
故选D.
11.【答案】(1)12.515(2)128
【解析】(1)∵当＝＝时，△DEF∽△ABC；
又∵AB＝4，BC＝5，CA＝6，DE＝10，
∴＝＝，
解得EF＝12.5，FD＝15；
∴当EF＝12.5，FD＝15时，△DEF∽△ABC；
(2)∵当＝＝时，△FDE∽△ABC，
又∵AB＝4，BC＝5，CA＝6，DE＝10，
∴＝＝，
解得FD＝8，EF＝12，
∴当EF＝12，FD＝8时，△FDE∽△AB C. 12.【答案】
【解析】过O点作OM∥AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴OM是△ABD的中位线，
∴AM＝BM＝AB＝，OM＝BC＝4，
∵AF∥OM，
∴△AEF∽△MEO，
∴＝，
∴＝，
∴AF＝，
故答案为.
13.【答案】5
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△ABP∽△CEP，△APF∽△CPB，△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，∴△ABF∽△CEB，△ABC≌△CDA，
∴此图中共有6对相似三角形．但△ABF∽△CEB不是位似．
14.【答案】9∶4
【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，∴△ABC与△DEF的相似比是3∶2，
∴△ABC与△DEF的面积之比为9∶4.
15.【答案】3
【解析】如图，OE＝20 cm，OF＝30 cm，AB＝2 cm，
∵AB∥CD，
∴△OAB∽△OCD，
∴＝，即＝，
∴CD＝3，
即光屏上火焰所成像的高度为3 cm.
16.【答案】10
【解析】∵线段a、b、c、d是成比例线段，
∴a∶b＝c∶d，
而a＝2 m，b＝4 m，c＝5 m，
∴d＝＝＝10(m)．
17.【答案】1.8
【解析】根据题意有AF∥BC，
∴∠ACB＝∠GAF，
又∠ABC＝∠AFG＝90°，
∴△ABC∽△GFA.
∴＝，
得BC＝3.2(m)，
CD＝(2＋3)－3.2＝1.8(m)．
18.【答案】4或2
【解析】如图所示：∵∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2，
∴BC＝1，AC＝，
∵以点C为位似中心将△ABC按∶1放大，
∴CB′＝，A′C＝3，
当将△A′B′C绕点C顺时针旋转90°，
则PB＝PC－BC＝3－1＝2，
当将△A′B′C绕点C逆时针旋转90°，
则P′B＝P′C＋BC＝3＋1＝4，
综上所述：点P与B之间的距离为4或2.
19.【答案】22.5
【解析】过D点作DF∥AE，交AB于F点，如图所示：
设塔影留在坡面DE部分的塔高AF＝h1，塔影留在平地BD部分的塔高BF＝h2，则铁塔的高为h1＋h2.
∵h1∶18 m＝1.5 m∶2 m，
∴h1＝13.5 m；
∵h2∶6 m＝1.5 m∶1 m，
∴h2＝9 m.
∴AB＝13.5＋9＝22.5(m)．
∴铁塔的高度为22.5 m.
20.【答案】4 m
【解析】设路灯的高度为x m，
∵EF∥AD，
∴△BEF∽△BAD，
∴＝，
即＝，
解得DF＝x－1.8，
∵MN∥AD，
∴△CMN∽△CAD，
∴＝，
即＝，
解得DN＝x－1.5，
∵两人相距4.7 m，
∴FD＋ND＝4.7，
∴x－1.8＋x－1.5＝4.7，
解得x＝4.
21.【答案】解①选择：△ABF∽△DEF 理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.
∴∠ABF＝∠E，∠A＝∠FDE，
∴△ABF∽△DEF.
②选择：△EDF∽△ECB
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.
∴∠C＝∠FDE.
又∵∠E＝∠E，
∴△EDF∽△ECB.
③选择：△ABF∽△CEB
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠A＝∠C.
∴∠ABF＝∠E.
∴△ABF∽△CEB.
【解析】选择△ABF∽△DEF，根据四边形ABCD是平行四边形可知AB∥CD，再由平行线的性质得出∠ABF＝∠E，∠A＝∠FDE，据此可得出结论．
22.【答案】解如图，△DEF为所作．
【解析】
23.【答案】解(1)如图，四边形A′B′C′D′即为所求；
(2)如图，四边形A1B1C1D1即为所求．
【解析】(1)分别作出点A、B、C、D关于直线l的对称点，顺次连接即可得；
(2)延长AB到A1，使BA1＝2BA，同理分别作出点D、C的对应点，顺次连接即可得．
24.【答案】解(1)由已知，得k＝－2，
把点(3,1)和k＝－2代入y＝kx＋b中，得1＝－2×3＋b，
∴b＝7；
(2)根据位似比为1∶2，得函数y＝kx＋b的图象有两种情况：
①不经过第三象限时，过(1,0)和(0,2)，这时表达示为y＝－2x＋2；
②不经过第一象限时，过(－1,0)和(0，－2)，这时表达示为y＝－2x－2；
【解析】(1)根据平行一次函数的定义可知：k＝－2，再利用待定系数法求出b的值即可；
(2)根据位似比为1∶2可知：函数y＝kx＋b与两坐标的交点坐标，再利用待定系数法求出函数y＝kx＋b的表达式．
25.【答案】解是，
理由：∵E、F分别是OA、OB的中点，
∴FE＝AB，FE∥AB，
G、H分别是OC、OD的中点，
∴HG＝CD，HG∥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴EF＝HG，FE∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
∵FE∥AB，
∴∠OEF＝∠OAB，
同理∠OEH＝∠OAD，
∴∠HEF＝∠DAB，
同理，∠EFG＝∠ABC，∠FGH＝∠BCD，∠GHE＝∠CDA，＝＝＝＝，
∴平行四边形EFGH∽平行四边形ABCD，
又∵各组对边对应点得连线相交于点O，
∴平行四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，O为位似中心．
【解析】根据三角形中位线定理得到EF＝HG，FE∥HG，根据平行四边形的判定定理证明四边形EFGH是平行四边形，再根据平行线的性质定理、相似多边形的判定定理证明．
26.【答案】解(1)如图2与备用图1，长方形DEFG即为所求作的图形；
(2)在长方形DEFG中，如果DE＝2DG，如备用图2，作△ABC的高AM，交GF于N.
∵三角形ABC的面积＝BC·AM＝×12AM＝36，
∴AM＝6.
设AN＝x，则MN＝6－x，DG＝MN＝6－x，DE＝GF＝2(6－x)＝12－2x.
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
解得x＝3，
∴DG＝6－x＝3，DE＝2DG＝6，
∴长方形DEFG的面积＝6×3＝18；
在长方形DEFG中，如果DG＝2DE，同理求出x＝，
∴DG＝6－x＝，DE＝DG＝，
∴长方形DEFG的面积＝×＝.
故长方形DEFG的面积为18或.
【解析】(1)如图2，先画长方形HIJK，使得HI＝2HK，并且H，I位于射线BC上，K位于射线BA上，连接BJ并延长交AC于点F，再将长方形HIJK通过放大可得到满足要求的长方形DEFG；如备用图，先画长方形HIJK，使得HK＝2HI，并且H，I位于射线BC上，K位于射线BA上，连接BJ并延长交AC于点F，再将长方形HIJK通过放大可得到满足要求的长方形DEFG；
(2)作△ABC的高AM，交GF于N.由三角形ABC的面积为36，求出AM＝6.再设AN＝x，由GF∥BC，得出△AGF∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式＝，由此求出x的值，进而求解即可．
27.【答案】解∵AB⊥DB，CD⊥DB
∴∠D＝∠B＝90°，
设DP＝x，
当PD∶AB＝CD∶PB时，△PDC∽△ABP，
∴＝，
解得DP＝2或12，
当PD∶PB＝CD∶AB时，△PCD∽△PAB，
∴＝，
解得DP＝5.6
∴DP＝5.6或2或12.
【解析】根据已知可以分△PDC∽△ABP或△PCD∽△PAB两种情况进行分析．
28.【答案】解(1)如图所示：△A1BC1，即为所求；
(2)如图所示：△A2B2C2，即为所求，C2点坐标为(－6,4)．
【解析】(1)利用关于点对称的性质得出A1，C1，坐标进而得出答案；
(2)利用关于原点位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
人教版九年级数学下册同步练习：第二十七章质量评估试卷
一、选择题(每小题3分，共30分) 1．如果x ∶(x ＋y )＝3∶5，那么x
y ＝( A )
A.32
B.38
C.23
D.85
【解析】 由x x ＋y
＝35，得5x ＝3(x ＋y )，∴2x ＝3y ，即x y ＝3
2.故选A.
2．如图1，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .已知AB ＝1，BC ＝3，DE ＝2，则EF 的长为( C )
图1
A ．4
B ．5
C ．6
D ．8 【解析】 本题考查平行线分线段成比例定理的运用． ∵AD ∥B
E ∥C
F ，∴AB BC ＝DE EF ，即13＝2
EF ， ∴EF ＝6.故选C.
3．[2017·普陀区一模]如图2，在四边形ABCD 中，如果∠D ＝∠BAC ，那么下列条件中不能判定△ADC 和△BAC 相似的是( C )
图2
A ．∠DAC ＝∠B
B ．CA 是∠BCD 的平分线
C ．AC 2＝BC ·C
D D.AD AB ＝DC AC
【解析】在△ADC和△BAC中，∠D＝∠BAC，如果△ADC∽△BAC，需满足
的条件有：①∠DAC＝∠B；②CA是∠BCD的平分线；③AD
AB＝
DC
AC.
4．[2018·滨州]在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，8)，
B(10，2)，若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的1 2后
得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为(C) A．(5，1) B．(4，3)
C．(3，4) D．(1，5)
【解析】∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的1
2后得
到线段CD，∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的横坐标和纵坐标的一半，又∵A(6，8)，∴端点C的坐标为(3，4)．
5．[2018·贵港]如图3，在△ABC中，EF∥BC，AB＝3AE，若S四边形BCFE＝16，则S
△ABC
＝(B)
A．16 B．18
C．20 D．24
【解析】设△AEF的面积为S，则△ABC的面积为(16＋S)，由于在△ABC中，EF∥BC，AB＝3AE，
∴S
16＋S ＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
AE
AB
2
＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
3
2
＝
1
9，解得S＝2，
∴S
△ABC
＝16＋2＝18，故选B.
图3 图4
6．如图4，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，P是AC的中点，过P点的直线交AB 于点Q，若以A，P，Q为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，则AQ的长为(B)
A．3 B．3或4 3
C ．3或3
4 D.43
【解析】 当△ABC ∽△AQP 时，AQ AB ＝AP AC ，即AQ 6＝2
4，解得AQ ＝3；当
△ABC ∽△APQ 时，AP AB ＝AQ AC ，即26＝AQ 4，解得AQ ＝43.综上所述，AQ ＝3或4
3.故选B.
7. 如图5，四边形ABCD 是平行四边形，则图中与△DEF 相似的三角形共有( B ) A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【解析】 ∵DE ∥AB ，∴△DEF ∽△ABF . ∵AD ∥BC ，∴△DEF ∽△CEB .
因此与△DEF 相似的三角形有△CEB ，△ABF ，共2个．故选B.
图5 图6
8．如图6，已知⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，AP ＝6，BP ＝2，CP ＝4，则PD 的长是( D ) A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
9．[2018·包头]如图7，在四边形ABCD 中，BD 平分∠ABC ，∠BAD ＝∠BDC ＝90°，E 为BC 的中点，AE 与BD 相交于点F .若BC ＝4，∠CBD ＝30°，则DF 的长为( D ) A.25 3 B.23 3 C.34 3 D.45 3
图7 第9题答图
【解析】 如答图，连接DE ，
∵∠BDC ＝90°，∴DE ＝BE ＝1
2BC ＝2， ∴∠CBD ＝∠EDB ＝30°， ∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD ＝∠CBD ＝30°，∴AB ∥DE ， ∴△DEF ∽△BAF ，∴DE AB ＝DF BF ， 易求得AB ＝3，∴DE AB ＝DF BF ＝2
3， ∴DF ＝25BD ＝25×23＝4
53，故选D.
10．[2018·泸州]如图8，正方形ABCD 中，E ，F 分别在边AD ，CD 上，AF ，BE 相交于点G ，若AE ＝3ED ，DF ＝CF ，则AG
GF 的值是( C ) A.43 B.54 C.65 D.76
图8 第10题答图
【解析】 设正方形的边长为4a ，则AE ＝3a ，ED ＝a ，DF ＝CF ＝2a ，如答图，延长BE ，CD 交于点M ，易得△ABE ∽△DME ，可得MD ＝4
3a ，∵△ABG ∽△FMG ，AB ＝4a ，MF ＝103a ，∴AG GF ＝AB MF ＝65. 二、填空题(每小题4分，共24分)
11．如图9，AB ∥CD ∥EF ，AF 与BE 相交于点G ，且AD ＝3，DF ＝4，BG GE ＝2
5，那么GD 的长为__1__．
图9
12．如图10，在△ABC 中，P 是AC 上一点，连接BP .要使△ABP ∽△ACB ，则必须有∠ABP ＝__∠C __或∠APB ＝__∠ABC __或__AB AP ＝AC
AB __．
图10 图11
13．如图11，铁道口的栏杆短臂长1 m ，长臂长10 m ，当短臂端点下降0.5 m 时，长臂端点升高__5__m(杆的宽度忽略不计)．
【解析】 设长臂端点升高了x m ，由相似三角形对应边成比例，得x 0.5＝101，解得x ＝5.
14．[2018·上海]如图12，已知正方形DEFG 的顶点D ，E 在△ABC 的边BC 上，顶点G ，F 分别在边AB ，AC 上．如果BC ＝4，△ABC 的面积是6，那么这个正方形的边长是__12
7__．
图12 第14题答图
【解析】 如答图，作AH ⊥BC 于点H ，交GF 于点I ，设正方形的边长是x . ∵△ABC 的面积是6，∴1
2×BC ×AH ＝6， 又∵BC ＝4，∴AH ＝3，AI ＝3－x ， ∵正方形DEFG ，∴GF ∥BC ，
∴GF BC ＝AI AH ，x 4＝3－x 3，解得x ＝127，
∴正方形的边长是12
7.
15．[2018·包头]如图13，在▱ABCD 中，AC 是一条对角线，EF ∥BC ，
图13
且EF 与AB 相交于点E ，与AC 相交于点F ，3AE ＝2EB ，连结DF .若S △AEF ＝1，则S △ADF 的值为__5
2__．
【解析】 ∵3AE ＝2EB ，∴AE EB ＝2
3， ∵EF ∥BC ，易证得△AEF ∽△ABC ， ∴S △AEF S △ABC ＝425
， 又∵S △AEF ＝1，∴S △ABC ＝25
4， ∵AC 是对角线，∴S △ADC ＝25
4， 又∵AF FC ＝AE EB ＝23，
∴S △ADF ＝25S △ADC ＝25×254＝5
2.
16．[2017·东营]如图14，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，D 为半圆上一点，AC ∥OD ，AD 与OC 交于点E ，连接CD ，BD ，给出以下三个结论：①OD 平分∠COB ；②BD ＝CD ；③CD 2＝CE ·CO ，其中正确结论的序号是__①②③__．
图14
【解析】 ①∵OC ⊥AB ，∴∠BOC ＝∠AOC ＝90°.
∵OC ＝OA ，∴∠OCA ＝∠OAC ＝45°. ∵AC ∥OD ，∴∠BOD ＝∠CAO ＝45°， ∴∠DOC ＝45°，∴∠BOD ＝∠DOC ， ∴OD 平分∠COB .故①正确；
②∵∠BOD ＝∠DOC ，∴BD ＝CD .故②正确； ③∵∠AOC ＝90°，∴∠CDA ＝45°＝∠DOC ， ∵∠OCD ＝∠OCD ，∴△DOC ∽△EDC ， ∴DC EC ＝OC
DC ，∴CD 2＝CE ·CO .故③正确． 三、解答题(共66分)
17．(6分)如图15，AD ，BE 是钝角三角形ABC 的边BC ，AC 上的高，求证：AD BE ＝AC BC .
图15
证明：∵在△ACD 和△BCE 中， ∠ACD ＝∠BCE ，∠ADC ＝∠BEC ＝90°， ∴△ACD ∽△BCE ，∴AD BE ＝AC BC .
18．(8分)[2018·青海]如图16，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 边上的中点，连接DE 并延长，交CB 的延长线于点F .
(1)求证：AD ＝BF ；
(2)若平行四边形ABCD 的面积为32，试求四边形EBCD 的面积． 解：(1)∵证明：点E 是AB 中点， ∴AE ＝BE ，
又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ， 又∵点F 在CB ，DE 延长线上， ∴AD ∥BF ，∴∠ADE ＝∠BFE ，
在△AED 与△BEF 中，⎩⎨⎧∠ADE ＝∠BFE ，
∠AED ＝∠BEF ，AE ＝BE ，
∴△AED ≌△BEF ，∴AD ＝BF ； (2)∵EB ∥CD ，∴△FEB ∽△FDC ， ∵△AED ≌△BEF ， ∴ED ＝EF ，S △AED ＝ S △BEF ， ∵EF DF ＝1
2，∴S △BEF S △DCF ＝14
， ∴设S △BFE 为x ，则S 四边形EBCD 为3x ， 由4x ＝32，得x ＝8，∴S 四边形EBCD ＝3×8＝24.
19．(10分)如图17，在平面直角坐标系网格中，将△ABC 进行位似变换得到△A 1B 1C 1.
(1)△A 1B 1C 1与△ABC 的位似比是__2__； (2)画出△A 1B 1C 1关于y 轴对称的△A 2B 2C 2；
(3)设点P (a ，b )为△ABC 内一点，则依上述两次变换后，点P 在△A 2B 2C 2内的对应点P 2的坐标是__(－2a ，2b )__．
解：(1)△A1B1C1与△ABC的位似比是A1B1
AB＝
4
2＝2；
(2)如答图所示，△A2B2C2即为所求；
第19题答图
(3)点P的对应点P2的坐标为(－2a，2b)．
20．(10分)[2017·菏泽改编]如图18，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，连接P A交⊙O于点C，连接BC.
(1)求证：∠BAC＝∠CBP；
(2)求证：PB2＝PC·P A；
(3)当AC＝6，CP＝3时，求PB的值．
图18
解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠CBA＝90°，
∵PB与⊙O相切于点B，
∴∠PBA＝90°，∴∠PBC＋∠CBA＝90°，
∴∠BAC＝∠CBP；
(2)证明：∵∠P＝∠P，∠BAC＝∠CBP，
∴△APB∽△BPC，∴AP
PB＝
PB
PC，
∴PB 2＝PC ·P A ； (3)∵AC ＝6，CP ＝3，
∴PB 2＝PC ·P A ＝3×9＝27，即PB ＝3 3.
21．(10分)[2018·金华、丽水改编]在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝12.如图19，点D 在线段CB 上，四边形ACDE 是正方形，直线AB 与直线CE ，DE 的交点分别为F ，G .
(1)若点G 为DE 的中点，求FG 的长； (2)若DG ＝GF ，求BC 的长；
图19 第21题答图
解：(1)在正方形ACDE 中，有DG ＝GE ＝6. 在Rt △AEG 中，AG ＝AE 2＋EG 2＝122＋62＝6 5. ∵EG ∥AC ，∴△ACF ∽△GEF ， ∴FG AF ＝EG AC ＝12，∴FG ＝1
3AG ＝25；
(2)如答图，连接DF ，在正方形ACDE 中，AE ＝ED ，∠AEF ＝∠DEF ＝45°， 又∵EF ＝EF ，∴△AEF ≌△DEF ， ∴∠EAF ＝∠EDF .
∵AE ∥BC ，设∠EAF ＝x ，∴∠B ＝∠EAF ＝x . ∵GF ＝GD ，∴∠BFD ＝∠EDF ＝x .
在△DBF 中，∠BFD ＋∠FDB ＋∠B ＝180°， ∴x ＋(x ＋90°)＋x ＝180°，解得x ＝30°， ∴∠B ＝30°.∴BC ＝12 3.
22．(10分)[2018·盐城]如图20，在以线段AB 为直径的⊙O 上取一点C ，连接AC ，BC .将△ABC 沿AB 翻折得到△ABD . (1)试说明点D 在⊙O 上；
(2)在线段AD 的延长线上取一点E ，使AB 2＝AC ·AE ，求证：BE 为⊙O 的切线；
图20
(3)在(2)的条件下，分别延长线段AE ，CB 相交于点F ，若BC ＝2，AC ＝4，求线段EF 的长．
解：(1)∵AB 为直径，点C 在⊙O 上，
∴∠ACB ＝90°.
将△ABC 沿AB 翻折得到△ABD ，
∴∠ADB ＝90°，点D 在⊙O 上；
(2)证明：∵AB 2＝AC ·AE ，
∴AB AC ＝AE AB ，又∵∠CAB ＝∠BAE ，
∴△CAB ∽△BAE ，∴∠ABE ＝∠ACB ＝90°，
∴BE 为⊙O 的切线；
(3)∵BC ＝2，AC ＝4，
∴BD ＝2，AD ＝4，AB ＝25，
∵AB 2＝AC ·AE ，∴AE ＝5，DE ＝1，
∵在Rt △BDF 中，BD ＝2，DE ＝1，
∴BF ＝22＋（1＋EF ）2，
∵∠C ＝∠FDB ＝90°，∠F ＝∠F ，
∴△FCA ∽△FDB ，
∴FD FC ＝DB CA ，即1＋EF 22＋（1＋EF ）2＋2
＝24， 整理，得3EF 2－2EF －5＝0，
解得EF ＝－1(舍去)，EF ＝53，
即线段EF 的长为53.
23．(12分)[2018·淮安节选]如果三角形的两个内角α与β满足2α＋β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
(1)若△ABC 是“准互余三角形”，∠C >90°，∠A ＝60°，则∠B ＝__15°__；
(2)如图21，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝5.若AD 是∠BAC 的平分线，不难证明△ABD 是“准互余三角形”．试问在边BC 上是否存在点E (异于点D )，使得△ABE 也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE 的长；若不存在，请说明理由．
图21 第23题答图 解：(1)由“准互余三角形”定义可知：若△ABC 是“准互余三角形”，又∠C ＞90°，则有2∠A ＋∠B ＝90°或2∠B ＋∠A ＝90°，
又∵∠A ＝60°，则 2∠A ＋∠B ＝90°不成立，
即代入2∠B ＋∠A ＝90°，可得∠B ＝15°.
(2)存在，BE ＝95.
如答图，∵点E 在BC 边上，∴∠AEB ＞90°，
∴2∠BAE ＋∠B ＝90°或2∠B ＋∠BAE ＝90°，
∵点E 异于点D ，
∴2∠BAE ＋∠B ＝90°不成立．
由答图可知，在Rt △ABC 中，∠BAE ＋∠EAC ＋∠B ＝90°，
又由“准互余三角形”定义可知2∠B ＋∠BAE ＝90°，
∴∠B ＝∠EAC ，∴△ABC ∽△EAC ，
∴AC EC ＝BC AC ，∵AC ＝4，BC ＝5，
∴EC ＝165，∴BE ＝BC －EC ＝95.
人教版九年级下数学第二十七章 《相似》单元练习题（含答案）
一．选择题
1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB ，AC 于点D ，E ，若＝，则下列说法不正
确的是（ ）
A ．＝
B ．＝
C ．＝
D ．＝
2．在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 上一点，且AD ＝3ED ，EC 交对角线BD 于点F ，
则等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．如图，有一块三角形余料ABC ，BC ＝120mm ，高线AD ＝80mm ，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC 上，点P ，M 分别在AB ，AC 上，若满足PM ：PQ ＝3：2，则PM 的长为（ ）
A ．60mm
B ． mm
C ．20mm
D ． mm
4．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，D 是△ABC 内部或BC 边上的一个动点（与B 、C 不重合），以D 为顶点作△DEF ，使△DEF ∽△ABC （相似比k ＞1），EF ∥BC ．两三角形重叠部分是四边形AGDH ，当四边形AGDH 的面积最大时，最大值是多少？（ ）
A ．12
B ．11.52
C ．13
D ．8
5．已知线段AB 的长为4，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞BP ），则PA 的长为（ ）
A ．2﹣2
B ．6﹣2√5
C ．
D ．4﹣2
6．如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，DE ∥BC ，DF ∥AC ，若△ADE 与四边形DBCE 的面积相等，则△DBF 与△ADE 的面积之比为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．如图，正方形OABC 的边长为8，点P 在AB 上，CP 交OB 于点Q ．若S △BPQ ＝
，则OQ 长为（ ）
A ．6
B ．
C ．
D ．
8．在△ABC 中，点D 在边BC 上，联结AD ，下列说法错误的是（ ）
A ．如果∠BAC ＝90°，A
B 2＝BD •B
C ，那么A
D ⊥BC
B ．如果AD ⊥B
C ，A
D 2＝BD •CD ，那么∠BAC ＝90°
C ．如果A
D ⊥BC ，AB 2＝BD •BC ，那么∠BAC ＝90°
D ．如果∠BAC ＝90°，AD 2＝BD •CD ，那么AD ⊥BC 9．如图，在△ABC 中，点O 是∠ABC 和∠ACB 两个内角平分线的交点，过点O 作EF ∥BC 分别交AB ，AC 于点
E ，
F ，已知△ABC 的周长为8，BC ＝x ，△AEF 的周长为y ，则表示y 与x 的函数图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图，已知△ABO 与△DCO 位似，且△ABO 与△DCO 的面积之比为1：4，点B 的坐标为（﹣3，2），则点C 的坐标为（ ）
A ．（3，﹣2）
B ．（6，﹣4）
C ．（4，﹣6）
D ．（6，4）
11．在比例尺是1：8000的地图上，中山路的长度约为25cm ，该路段实际长度约为（ ）
A ．3200m
B ．3000m
C ．2400m
D ．2000m
12．如图，△DEF 和△ABC 是位似图形，点O 是位似中心，点D ，E ，F 分别是OA ，OB ，O C 的中点，若△DEF 的周长是2，则△ABC 的周长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二．填空题
13．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点（DE不平行BC），若使△ADE与△ABC相似，则需要添加即可（只需添加一个条件）．
14．如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在边BC上，且BD＝4，CD＝2，那么AF＝．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，则EC的长为．
16．若＝，则＝．
17．如图，平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，连结EC、BD交于点F，若AE：ED＝5：4记△DFE的面积为S
，△BCF的面积为S2，△DCF的面积为S3，则DF：BF
1
＝，S1：S2：S3＝．
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC∥EF，E F分别与AB，AC，CD相交于点E，M，F，若EM：BC＝2：5，则FC：CD的值是．
19．如图，已知△ABC，AB＝6，AC＝5，D是边AB的中点，E是边AC上一点，∠ADE
＝∠C，∠BAC的平分线分别交DE、BC于点F、G，那么的值为．
三．解答题
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：DE•CD＝AD•CE；
（2）设F为DE的中点，连接AF、BE，求证：AF•BC＝AD•BE．
21．如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，联结EF、ED、DF，DE 交AF于点G，且AE2＝EG•ED．
（1）求证：DE⊥EF；
（2）求证：BC2＝2DF•BF．
22．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，DE∥BC，点F在线段DE上，过点F作FG∥AB、FH∥AC分别交BC于点G、H，如果BG：GH：HC＝2：4：3．求
的值．
23．如图，△ABC的面积为12，BC与BC边上的高AD之比为3：2，矩形EFGH的边EF 在BC上，点H，G分别在边AB、AC上，且HG＝2GF．
（1）求AD的长；
（2）求矩形EFGH的面积．
24．如图，四边形ABGH，四边形BCFG，四边形CDEF都是正方形．请在图中找出与△HBC相似的三角形，并说明它们相似的理由．
25．如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，且AD＝AB，AE⊥BC，垂足为点E．过点
D作DF∥AB，交边AC于点F，连接EF，EF2＝BD•EC．
（1）求证：△EDF∽△EFC；
（2）如果＝，求证：AB＝BD．
参考答案一．选择题
1．【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，＝＝，＝＝，
＝（）2＝，
∴＝，
故A、B、D选项正确，C选项错误，
故选：C．
2．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，
∵AD＝3ED，
∴＝，
∵AD∥BC，
∴△EFD∽△CFB，
∴＝＝，
故选：A．
3．【解答】解：如图，设AD交PN于点K．
∵PM：PQ＝3：2，
∴可以假设MP＝3k，PQ＝2k．
∵四边形PQNM是矩形，
∴PM∥BC，
∴△APM∽△ABC，
∵AD⊥BC，BC∥PM，
∴AD⊥PN，
∴＝，
∴＝，
解得k＝20mm，
∴PM＝3k＝60mm，
故选：A．
4．【解答】解：∵AB2+AC2＝100＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∵△DEF∽△ABC，
∴∠EDF＝∠BAC＝90°，
如图1延长ED交BC于M，延长FD交BC于N，
∵△DEF∽△ABC，
∴∠B＝∠E，
∵EF∥BC，
∴∠E＝∠EMC，
∴∠B＝∠EMC，
∴AB∥DE，
同理：DF∥AC，
∴四边形AGDH为平行四边形，
∵∠EDF＝90°，
∴四边形AGDH为矩形，
∵GH⊥AD，
∴四边形AGDH为正方形，
当点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，
如图2，
点D在内部时（N在△ABC内部或BC边上），延长GD至N，过N作NM⊥AC于M，∴矩形GNMA面积大于矩形AGDH，
∴点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，
只有点D在BC边上时，面积才有可能最大，
如图2，
点D在BC上，
∵△DEF∽△ABC，
∴∠F＝∠C，
∵EF∥BC．
∴∠F＝∠BDG，
∴∠BDG＝∠C，
∴DG∥AC，
∴△BGD∽△BAC，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴AH＝8﹣GA，
S
＝AG×AH＝AG×（8﹣AG）＝﹣AG2+8AG，
矩形AGDH
当AG＝﹣＝3时，S矩形AGDH最大，S矩形AGDH最大＝12．故选：A．
5．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），
∴PA＝AB＝×4＝2﹣2．
故选：A．
6．【解答】解：∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DFCE是平行四边形，
∴DE＝CF，
∵△ADE与四边形DBCE的面积相等，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴＝，
设DE＝k，BC＝2k，
∴BF＝2k﹣k，
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△BAC，
∴△DBF∽△ADE，
∴＝（）2＝＝﹣1，
故选：C．
7．【解答】解：∵四边形ABCO是正方形，
∴AB∥OC，
∴△PBQ∽△COQ，
∴＝（）2＝，
∴OC＝3PB，
∵OC＝8，
∴PB＝，
∵＝＝，BO＝8，
∴OQ＝×8＝6，
故选：B．
8．【解答】解：A、∵AB2＝BD•BC，
∴＝，又∠B＝∠B
∴△BAD∽△BCA，
∴∠BDA＝∠BAC＝90°，即AD⊥BC，故A选项说法正确，不符合题意；
B、∵AD2＝BD•CD，
∴＝，又∠ADC＝∠BDA＝90°，
∴△ADC∽△BDA，
∴∠BAD＝∠C，
∵∠DAC+∠C＝90°，
∴∠DAC+∠BAD＝90°，
∴∠BAC＝90°，故B选项说法正确，不符合题意；
C、∵AB2＝BD•BC，
∴＝，又∠B＝∠B
∴△BAD∽△BCA，
∴∠BAC＝∠BDA＝90°，即AD⊥BC，故C选项说法正确，不符合题意；
D、如果∠BAC＝90°，AD2＝BD•CD，那么AD与BC不一定垂直，故D选项错误，不符
合题意；
故选：D．
9．【解答】解：∵点O是△ABC的内心，
∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠CBO，∠FOC＝∠BCO，
∴∠ABO＝∠EOB，∠ACO＝∠FOC，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴△AEF的周长y＝AE+EF+AF＝AE+OE+OF+AF＝AB+AC，
∵△ABC的周长为8，BC＝x，
∴AB+AC＝8﹣x，
∴y＝8﹣x，
∵AB+AC＞BC，
∴y＞x，
∴8﹣x＞x，
∴0＜x＜4，
即y与x的函数关系式为y＝8﹣x（x＜4），
故选：A．
10．【解答】解：∵△ABO与△DCO位似，且△ABO与△DCO的面积之比为1：4，∴△ABO与△DCO为1：2，
∵点B的坐标为（﹣3，2），
∴点C的坐标为（6，﹣4），
故选：B．
11．【解答】解：设它的实际长度为xcm，
根据题意得：1：8000＝25：x，
解得：x＝200000，
∵200000cm＝2000m，
∴该路段实际长度约为2000m．
故选：D．
12．【解答】解：∵点D，E分别是OA，OB的中点，
∴DE＝AB，
∵△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，
∴△DEF∽△DBA，
∴＝，
∴△ABC的周长＝2×2＝4．
故选：B．
二．填空题（共7小题）
13．【解答】解：∵∠A是公共角，
如果∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B，
∴△ADE∽△ABC；
如果＝，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
故答案为：∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或＝．
14．【解答】解：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，BD＝4，CD＝2，∴AB＝AC＝6，∠B＝∠C＝∠ADF＝60°，
∴∠ADB+∠BAD＝∠ADB+∠CDF＝120°，
∴∠BAD＝∠CDF，
∴△ABD∽△DCF，
∴＝，即＝，
解得CF＝，
∴AF＝AC﹣CF＝6﹣＝，
故答案为：．
15．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，
∵四边形EFCD是矩形，
∴EF＝CD＝2，CF＝DE，
∵余下的矩形EFCD∽矩形BCDA，
∴，
即＝，
∴CF＝1，
∴EC的长＝＝＝，
故答案为：．
16．【解答】解：设＝＝k（k≠0），
则a＝2k，b＝3k，
所以＝＝4．
故答案是：4．
17．【解答】解：∵AE：ED＝5：4，
∴DE：AD＝4：9，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，＝，
∴S1：S2：S3＝16：81：36，。