第二章 生命表函数与生命表构造

设生存分布函数
s(t ) e , t 0, 其中 0为参数。 求死亡力（t）,（t）,F t）。 f （
t
例1.1答案
(t ) e t -s 根据定义：（t）= t s (t ) e f (t ) - s(t ) e
t t

死亡效力与生存函数的关系
s( x) exp{ s ds}
0 t x x t
px exp{ s ds} exp{ x s ds}
x 0
t
死亡效力

死亡效力与密度函数的关系
f ( x) x s( x) x exp{ s ds}
死力的性质
1、当x 0时， x 0； 2、对于任意x 0，都有 3、 x 是死力，则
＋ t 0 ＋ x
s ds ；
p x s ds 1
死力性质2的证明
s( x t ) 证：性质 、显然成立,由于t p x＝ 13 , 且 lim s( x) 0 s ( x) x 故有lim t p x＝lim
/(n 1)} , k 0, n 0, x 0
参数模型的问题




至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。 这四个常用模型的拟合效果不令人满意。 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生 很大的误差 寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而 是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命 的分布。 在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的 分布。
0
x

死亡效力表示剩余寿命的密度函数 fT (t ) & g (t )
s ( x) s ( x t ) FT (t ) t qx 1 t px s ( x) d d s ( x) s ( x t ) s ( x t ) x t fT (t ) FT (t ) t px x t dt dt s ( x) s ( x)
j 1 j 1 j 1 l0 l0 l0
记 : l x E ( Lx ) l 0 s ( x) — 表示数目为l 0 个新生儿能活到 岁的期望人数。 x
生命表的构造

l l0 个新生生命能生存到年龄x的期望个数：x
由：lx l0 s ( x), lx t
s( x t ) l0 s ( x t )且有 t px , s ( x)
0
特别的有： 新生儿剩余寿命的期望值(均值)

o
简记为
e0
整值剩余寿命的期望与方差

( 期望整值剩余寿命： x ) 整值剩余寿命的期望值 (均值),简记 e x
ex E ( K ( x)) k k px qx k k 1 px
k 0 k 0

整值剩余寿命的方差
l Tx x t ex l 0 l dt 0 t p x dt x x 0
40
80
年龄
本节函数关系式的总结
分布函数 密度函数 生存函数 死力 f T(t ) xt t qx t px F T (t ) 1 F T (t ) F T (t ) 1 F T (t )
t
qx
f T(t )
t
f
0
t
T
( s)ds
s ( x t ) s ( x) t p x x t
x
x
1 s ( x＋t ) 0 s ( x)
lim ln( p
x t x
x
) ,
＋
x
s ds lim
x

x t
x
s ds
lim －ln(t p x ) ＝＋
死力图
x
0.04 0.03 0.02
0.01
10
0
Lx I j , 其中，
j 1
l0
x 1 当第j个新生儿生存到 岁时 Ij 0 其他
根据假设，有： E ( I j ) 1 s ( x) 0 1－s ( x)) s ( x) （ 故：E ( L x ) E ( I j ) E ( I j ) s (x) l 0 s ( x)
F (t ) 1 s (t ) 1 e
例1.2

已知生存函数
x 1/ 2 s( x) (1 ) , 0 x 100. 100 计算 17 p19 , 15 q36 , 15|13 q36 , e10 , e0 .
o
例1.2答案
x 1/ 2 From : s ( x) (1 ) , 0 x 100. 100 s (19 17) 8 To : 17 p19 s (19) 9 s (36 15) 7 15 q36 1 15 p36 1 s (36) 8
整值剩余寿命

定义：( x )未来存活的完整年数，简记 K ( x)
K ( X ) k,

k T ( x) k 1, k 0,1,
概率函数
Pr( K ( X ) k ) Pr( k T ( x) k 1)
k 1
qx k qx k px k 1 px

qx ：x岁的人将在1年内去世的概率
s( x) s( x 1) qx 1 qx 1 px s ( x)
tu
qx ：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁
之间去世的概率
qx t u qx t qx t px t u px tu t p x u qx t

生命表的构造




有关分数年龄的三种假定
本章中英文单词对照



死亡年龄 生命表 剩余寿命 整数剩余寿命 死亡效力 极限年龄 选择与终极生命表



Age-at-death Life table Time-until-death Curtate-futurelifetime Force of mortality Limiting ate Select-and-ultimate tables
第一节 生命表函数
生存函数

定义
S ( x) Pr(X x)


意义：新生儿能活到 x岁的概率。 与分布函数的关系： S ( x) 1 F ( x) 与密度函数的关系： f ( x) S ( x) 新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：
Pr( x X z) s( x) s( z)

生命表的特点

生命表的构造

原理

在大数定理的基础上，用观察数据计算各年 龄人群的生存概率。（用频数估计频率）

常用符号



l 新生生命组个体数（生存人数）： 0 新生生命组生存到x岁的总数（生存人年 数）： Lx 年龄： x 极限年龄：
生存人数 l x 的数理意义

考察一组数目为 l 0 的零岁新生儿群体，且 群体中每一个新生儿的死亡年龄的概率分 布服从同一生存函数s（x）。则这群新生 l lx 儿生存到x岁的人数为
剩余寿命的生存函数 t px ：
t
px Pr(T ( x) t ) Pr( X x t X t ) s( x t ) s ( x)

特别：
x
p0 s( x)
剩余寿命

px ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率
s( x 1) px 1 px s ( x)
剩余寿命


定义：已经活到x岁的人（简记(x)）， 还能继续存活的时间，称为剩余寿命， 记作T(x)。 分布函数 t qx ：
t
qx Pr(T ( X ) t ) pr ( x X x t X x) s ( x) s ( x t ) s ( x)
剩余寿命

15|13
q36 15 p36 13 q3615
s (36 15 13) (1 15 q36 )(1 ) s (36 15)
1 8
例1.3
已知：（x+t）=t , t 0。
2
求 : f T (t )
例1.3答案
由：fT (t ) ( x t ) t p x 0 ( x t ) dt e t p x e
有关寿命分布的参数模型

Makeham模型(1860)
x x
x A Bc

s( x) exp{ Ax B(c 1) / ln c} , B 0,A -B,c 1,x 0
Weibull模型(1939)
n n 1
x kx
s( x) exp{kx
102482第三节有关分数年龄的假设生命表提供了整数年龄上的寿命分布但有时我们需要分数年龄上的生存状况于是我们通常依靠相邻两个整数生存数据选择某种分数年龄的生存分布假定估计分数年龄的生存状况yqtq为整数假设死力恒定
第二章
生命表函数与生命表构造
本章重点

生命表函数

生存函数 剩余寿命 死亡效力 有关寿命分布的参数模型 生命表的起源 生命表的构造 选择与终极生命表
1 f T( s )ds
0
t
f T (t ) 1 f
t 0 s ( x t ) s( x t ) T
px
s( x t ) s ( x)
t 0
( s )ds
x
1 exp( x s ( s)ds
exp( x s ( s)ds
0
t
例1.1
2 2 2
Var ( K ( x)) E ( K ) E ( K ) (2k 1) k 1 px ex
k 0
死亡效力

定义： ( x ) 的瞬时死亡率，简记 x
s( x) f ( x) x ln[ s ( x)] s ( x) s ( x) s( x t ) x t ln[ s ( x t )] s( x t )
lx t 则：px l x t t px l x t lx lx t 同样有 : t qx 1 lx

l0 个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡
的期望个数：n d x 特别：n=1时，记作d x
d x l x l x n l x n qx n d x lx lx1 lx qx
k px qx k k qx
剩余寿命的期望与方差

( 期望剩余寿命： x ) 剩余寿命的期望值(均值), 简记 o ex
ex E (T ( x)) td (1 t px ) t px dt
0 0

o剩余寿命的 Nhomakorabea差 2 2 o 2
Var (T ( x)) E(T ( x) ) E(T ( x)) 2 t t px dt ex
生命表起源

生命表的定义

根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资 料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总 表. 1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期 的洗礼和死亡名单,写过《生命表的自然和 政治观察》。这是生命表的最早起源。

生命表的发展历史


1693年，Edmund Halley,《根据Breslau 城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估 计》，在文中第一次使用了生命表的形式给 出了人类死亡年龄的分布。人们因而把 Halley称为生命表的创始人。 构造原理简单、数据准确（大样本场合）、 不依赖总体分布假定（非参数方法）
生命表的构造
l0
t 个新生生命在年龄x至x+t区间共存活人年数：Lx
t

Lx
x t
x
l y dy
l0 个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿命总人
年数：x T
Tx Lx Lx1 Lx2 Lx3
Tx



0
l x t dt
l0 个新生生命中能活到年龄x的个体，其以后生存的

t
t3 3
fT (t ) t e
t3 2 3
第二节 生命表的构造
有关寿命分布的参数模型

De Moivre模型(均匀分布）(1729)
1 x x x s ( x) 1


,
0 x
Gompertze模型(1825)
x x
x Bc
s( x) exp{ B(c 1) / ln c} , B 0,c 1,x 0