2017年普通高等学校招生统一考试数学(上海卷)试题(解析版)

2017年普通高等学校招生统一考试数学（上海卷）试题一、单选题
1．关于、的二元一次方程组的系数行列式为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】关于的二元一次方程组的系数行列式，故选C. 2．在数列中，，，则（）
A. 等于
B. 等于0
C. 等于
D. 不存在
【答案】B
【解析】数列中，，则，故选B.
3．已知、、为实常数，数列的通项，，则“存在，使得、、成等差数列”的一个必要条件是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】存在，使得成等差数列，可得
，
化简可得，所以使得成等差数列的必要条件是.
4．在平面直角坐标系中，已知椭圆和. 为上的动
点，为上的动点，是的最大值. 记在上，在上，且
，则中元素个数为（）
A. 2个
B. 4个
C. 8个
D. 无穷个
【答案】D
【解析】椭圆和，为上动点，为上动点，
可设，，
则，
当时，取得最大值，
则在上，在上，且中的元素有无穷对对，故选D.
二、填空题
5．已知集合，集合，则________
【答案】
【解析】，
6．若排列数，则________
【答案】3
【解析】由，所以，解得.
7．不等式的解集为________
【答案】
【解析】由题意，不等式，得，所以不等式的解集为. 8．已知球的体积为，则该球主视图的面积等于________
【答案】
【解析】由球的体积公式，可得，则，所以主视图的面积为. 9．已知复数满足，则________
【答案】
【解析】由复数满足，则，所以，所以.
10．设双曲线的焦点为、，为该
双曲线上的一点，若，则________
【答案】11
【解析】由双曲线的方程，可得，
根据双曲线的定义可知，
又因为，所以.
11．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐
标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________
【答案】
【解析】如图所示，以长方体的顶点为坐标原点，
过的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
因为的坐标为，所以,
所以.
12．定义在上的函数的反函数为，若为奇函数，
则的解为________
【答案】-8
【解析】由，则，所以的解为.
13．已知四个函数：①；②；③；④. 从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为________
【答案】
【解析】由四个函数①；②；③；④，
从中任选个函数，共有种，
其中“所选个函数的图像有且仅有一个公共点”共有①③、①④，共有种，
所以“所选个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为.
14．已知数列和，其中，，的项是互不相等的正整数，若对于
任意，的第项等于的第项，则________
【答案】2
【解析】由，若对于任意的第项等于的第项，
则，则
所以，
所以.
15．设、，且，则的最小值等于________
【答案】
【解析】由三角函数的性质可知，，
所以，即，
所以，
所以.
16．如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点、、、以及四个标记为“ ”
的点在正方形的顶点处，设集合，点，过作直线，使得不在上的“ ”的点分布在的两侧. 用和分别表示一侧和另一侧的“ ”的点到的
距离之和. 若过的直线中有且只有一条满足，则中所有这样的为________
【答案】、
【解析】设记为“ ”的四个点是,
线段的中点分别为，
易知为平行四边形，如图所示；
又平行四边形的对角线交于点，则符合条件的直线一定过点，
且过点的直线有无数条；
由过点和的直线有且仅有1条，过和的直线有且仅有1条，
所以符合条件的点是，.
三、解答题
17．如图，直三棱柱的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4
和2，侧棱的长为5.
（1）求三棱柱的体积；
（2）设M是BC中点，求直线与平面所成角的大小.
【答案】（1）20;（2）
【解析】试题分析：（1）三棱柱的体积，由此能求出结果；
（2）连结是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的大小.试题分析：
（1）
（2），线面角为
18．已知函数，.
（1）求的单调递增区间；
（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边，角B所对边，若，求△ABC 的面积.
【答案】（1）;（2）
【解析】试题分析：（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．
试题解析：（1）函数
由，解得
时，，可得的增区间为
（2）设△ABC为锐角三角形，
角A所对边，角B所对边b=5，
若，即有
解得，即
由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc cos A，
化为c2﹣5c+6=0，
解得c=2或3，
若c=2，则
即有B为钝角，c=2不成立，
则c=3，
△ABC的面积为
19．根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），
其中，，第个月底的共享单车的保有量是前个月的
累计投放量与累计损失量的差.
（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；
（2）已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？
【答案】（1）935；（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）计算和的前项和的差即可得出答案；
（2）令得出，再计算第个月底的保有量和容纳量即可得出结论.试题分析：（1）
（2），即第42个月底，保有量达到最大
，∴此时保有量超过了容纳量.
20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，为的上顶点，为上异于
上、下顶点的动点，为x正半轴上的动点.
（1）若在第一象限，且，求的坐标；
（2）设，若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；
（3）若，直线AQ与交于另一点C，且，，
求直线的方程.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）设，联立方程组，能求出点坐标.
（2）设，由，求出；由，求出或；由，则点在轴负半轴，不合题意，由此能求出点的横坐标.
（3）设根据向量，代入椭圆的方程，求得，得到的坐标，直线的方程.试题分析：
（1）联立与，可得
（2）设，或
（3）设，线段的中垂线与轴的交点即，∵，
∴，∵，∴，代入并联立椭圆方程，
解得，，∴，∴直线的方程为
21．设定义在上的函数满足：对于任意的、，当时，都有. （1）若，求的取值范围；
（2）若为周期函数，证明：是常值函数；
（3）设恒大于零，是定义在上、恒大于零的周期函数，是的最大值.
函数. 证明：“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析
【解析】试题分析：（1）由，可得函数是一个不递减函数，得，即可求解实数的取值范围；
（2）利用反证法，假设不是常值函数，令，且存在一个，使得，
由函数的性质得到，从而得出矛盾，即可作出证明；
（3）充分性及必要性的证明：类似(2)证明充分性；再证必要性，然后分类证明即可.试题分析：
（1）因为对于任意的，当时，都有，即可知道函数
是一个不递减的函数，即.若，其导函数为，可以得到.
（2）假设不是常值函数，并且其周期为.
令，且存在一个，使得.由于的性质可知，，且.因为是周期函数，所以，这与前面的结论矛盾，所以假设不成立，即是常值函数.
（3）充分性证明：当为常值函数时，令，即，因为是周期函数，所以也是周期函数.
必要性证明：当是周期函数时，令周期为.即有，则
，又因为是周期函数，所以.即可得到，所以是周期函数，由（2）的结论可知，是常值函数.
综上所述，是周期函数的充要条件是是常值函数.
点睛：本题考查抽象函数的新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可，着重考查了逻辑思维能力与理论运算能力，及分类讨论的数学思想方法，试题难度较大，属于难题.。