导数与函数的零点.

2a 所以g(x)有最大值
g(
1
)
ln 2a
由题意知
g(
1
)
2a ln 2a
0
,得
0
a
1
2a 故a的取值范围为
(0,
1
)
2
2
1.已知函数 f ( x) x(ln x ax)有两个极值点,则实数a的取值范围()
A)( ,0)
B) (0, 1 ) 2
C)(0,1) D)(0, )
1.解 f ( x) x(ln x ax)
故g(x)不可能有两个零点,即f(x)不可能有两个极值点.
当 k e2 时,由0<X<2,得g'( x) 0 ,g(x)单调递减
故g(x)不可能有两个零点,即f(x)不可能有两个极值点.
当 1 k e2时,由 g'( x) 0 ,得x=lnk
当0<x<lnk时, g'( x) 0,函数g(x)单调递减
ln x)
f
(x)
e x x2 2xe x x4
k(
2 x2
1) x
e x x 2e x x3
k( x 2) x2
(e x kx)( x 2)
x3
由k≤0,可得 exkx0
所以当 0<x<2时, f '(x) 0,函数f(x)单调递减
所以当 0<x<2时, f '( x) 0,函数f(x)单调递增
解:(1) a 1
2
时,
f
(x)
x(e x
1)
1 2
x2
f '( x) e x 1 xex x ( x 1)(e x 1)
由 f '( x) 0 ,得x=0或x=-1
当 x (,1) (0,) 时, f '( x) 0 ,f(x)单调递增
当 x (1,0) 时, f '( x) 0 ,f(x)单调递减
x
x
则
g'( x)
xe x
(e x x2
1)
xe x
ex x2
1
设 h( x) xe x e x 1, h'( x) xe x 0
所以h(x)在 (0, )上单调递增,h(x)>h(0)=0
若a>1,则当x (0,lna) 时, g'( x) 0 ,g(x)单调递减
而g(0)=0,从而当 x (0,lna)时,g(x)<0,即f(x)<0
综上得a的取值范围为( ,1]
法二:由f(x)≤0 ,得 ax e x 1
当x=0时,0≤0恒成立
当x>0时, a e x 1 恒成立,设 g( x) e x 1
又f(x)在 (,)上单调递增
所以f(x)在 (,)上仅有一个零点.
(3)证明: f '( x) ( x 1)2 e x 令 f '( x) 0 ,得x=-1
所以点P坐标为(1, 2 a)
e
所以OP的斜率为 kOP
a
2 e
由f(x)在点M(m,n)处的切线与直线OP平行,得
f '(m) (1 m2 )em a 2 e
(1)求f(x)的单调区间 (2)证明f(x)在 (,) 上仅有一个零点. (3)若函数y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线
与直线OP平行(O是坐标原点),证明: m 3 a 2 1 e
解: f ( x) (1 x2 )e x a
f '( x) 2xe x (1 x2 )e x ( x 1)2 e x
对于 x R, f '( x) 0
所以f(x)的单调递增区间为( , )
2.证明:有(1)知f(x)在R上单调递增,且f(0)=1-a<0
f ( a 1) ae a1 a a(e a1 1)
因为a>1,故a-1>0,所以 a 1 0
所以 e a1 1 ,故 f ( a 1) 0 所以 x0 (0, a 1) ,使得 f ( x0 ) 0
A)( ,0)
B) (0, 1 ) 2
C)(0,1) D)(0, )
1.解 f ( x) x(ln x ax)
f '( x) ln x ax x( 1 a) ln x 2ax 1
x
由题意知, f '( x) 0 有两个实根
1
设 g( x) ln x 2ax 1( x 0),则 g'( x) 2a( x 0) x
(¡)当a≥0时, f '( x) 3x2 a 0 ,f(x)在(0,1)单调递增且f(0)>0
故f(x)(0,1)上无零点.
(¡¡)当a≤-3时, f '( x) 3x2 a 0 , f(x)在(0,1)单调递减
且 f (0) 1 0, f (1) a 5 0,f(x)在(0,1)内仅有一个零点.
当lnk<x<2时, g'( x) 0 ,函数g(x)单调递增
所以函数y=g(x)的最小值为g(lnk)=k(1-lnk).
由函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,得
g(0) 0
g(ln
k
)
0
，解得
ek
e2
,故k的取值范围为(e, e2 )
g(2) 0
2
2
(2)由(1)知,当k≤0时,函数f(x)在(0,2)内单调递减, 故f(x)在(0,2)无极值点 当k>0时,设函数 g( x) e x kx, x (0,2) y=f(x)在(0,2)上有两个极值点等价于g(x)在(0,2)上有两个零点
导数的应用(2)
教学目标:用导数解决零点问题,证明不等式及其应用.
教学重点:重点是用导数解决有关函数零点的问题, 不等式的证明及应用结论解决有关问题.
教学难点:难点是用导数解决函数零点问题时对参数 的讨论.
1.求函数的单调区间： 2.已知函数的单调区间或最值求参数的取值范围： 3.求函数的极值的方法及步骤：
4
4
(¡¡¡)当-3<a<0时,f(x)在 (0, a )上单调递减,在( a ,1)上单调递增
3
Hale Waihona Puke 3故f(x)在(0,1)上的最小值为 f ( a ) 2a a 1
3 3 34
a)若 f (
a ) 2a 33
a 3
1 4
0
,即
3 4
a
0
时,f(x)在(0,1)上无零点
b)若 f (
a ) 2a 33
(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.
2.设a>1,函数 f ( x) (1 x2 )e x a
(1)求f(x)的单调区间 (2)证明f(x)在 (,) 上仅有一个零点. (3)若函数y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线
与直线OP平行(O是坐标原点),证明: m 3 a 2 1 e
则 y e x 与y=kx在(0,2)上有两个交点 y
画简图如下:
o2x
当直线y=kx过点 (2, e2 ) 时, k e2
当直线y=kx与
y
e
x
切于点
(
2 m,
e
m
)
时
k em em ,解得m=1 m
所以k=e
故k的取值范围为(e, e2 ) 2
2.设a>1,函数 f ( x) (1 x2 )e x a
f f
( x0 ) 0 '( x0 ) 0
,即
x0
2
ax0
1 4
0
3x02 a 0
3
1
解得 a 4 , x0 2
当 a 3 时,x轴是y=f(x)的切线. 4
(2)当x>1时,g(x)=-lnx<0,从而h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)<0
故h(x)在 (1, )无零点.
所以 m 3 a 2 1 e
变式训练2.已知函数 f ( x) x3 ax 1 ,g(x)=-lnx (1)当a为何值时,x轴为曲线y=4f(x)的切线
(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数 h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数.
解:(1)设曲线y=f(x)与x轴切于点( x0 ,0) ,则
要证 m 3 a 2 1 e
只需证(m 1)3 a 2 (m 1)2 em e
即证 m 1 em 设 g(m) em m 1
则由 g'(m) em 1 0 ,得m=0 当 m ( ,0)时, g'(m) 0 ,g(m)单调递减 当 m (0, ) 时, g'(m) 0 ,g(m)单调递增 所以 g(m)min g(0) 0 故 m 1 em 成立
导数的应用(2)
变式训练2.已知函数 f ( x) x3 ax 1 ,g(x)=-lnx 4
(1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线 (2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数
h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数.
3.已知函数 f ( x) x(e x 1) ax2
当a≤0时 g'( x) 0 ,g(x)在 (0, )单调递增
g(x)不可能有两个零点,则f(x)不可能有两个极值点.
当a>0时,由
g'(
x)
0
,得
x
1 2a
当 x (0, 1 )时, g'( x) 0 ,g(x)单调递增
2a
当 x ( 1 , )时, g'( x) 0 ,g(x)单调递减
所以f(x)的单调递增区间为(2, ) ,单调递减区间(0,2).
(2)由(1)知,当k≤0时,函数f(x)在(0,2)内单调递减, 故f(x)在(0,2)无极值点
当k>0时,设函数 g( x) e x kx, x (0,2) 则 g'( x) e x k, x (0,2)
当0<k≤1时,由0<X<2,得g'( x) 0 ,g(x)单调递增
4.求函数的最值的方法及步骤：
导数的应用(2)
1.已知函数 f ( x) x(ln x ax)有两个极值点,则实数a的取值范围()
1
A)( ,0)
B) (0, ) 2
C)(0,1) D)(0, )
变式训练1:设函数f
(x)
ex x2
k(
2 x
ln
x)
(1)当k≤0时,求函数f(x)的单调区间.
(1)若a 1 ,求f(x)的单调区间. 2
(2)若当x≥0时f(x)≥0,求实数a的取值范围.
变式训练3.设函数 f ( x) e x x 1 ax2
(1)若a=0,求f(x)的单调区间. (2)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.
1.已知函数 f ( x) x(ln x ax)有两个极值点,则实数a的取值范围()
a 3
1 4
0
,即
a
3 4
时,f(x)在(0,1)上有一个零点
c)当 f (
a ) 2a 33
a 3
1 4
0,即
3
a
3 4
时
f (0) 1 0, f (1) a 5
4
4
故当 5 a 3 ,f(1)>0,f(x)在(0,1)内有两个零点
4
4
当 3 a 5 时,f(1)≤0,f(x)在(0,1)内有一个零点.
当x=1时,若 a 5 ,则f(1)= a 5 0
4
4
h(1)=min{f(1),g(1)}=g(1)=0,x=1是h(x)的一个零点
若 a 5 ,则h(1)=f(1)<0,h(x)无零点. 4
当0<x<1时,g(x)>0无零点,只需考虑f(x)在(0,1)上的零点个数.
f '(x) 3x2 a
f '( x) ln x ax x( 1 a) ln x 2ax 1 x
由题意知, f '( x) 0 有两个实根
即 ln x 2ax 1 有两个实根
即y=lnx与y=2ax-1的图像在(0, )有两个交点
如图
y
0
1
x
设y=lnx与y=2ax-1的图像切于点(m,lnm)
则由k 1 ln m 1 ,解得 m=1
mm
1
所以k=2a=1，得 a
故a的取值范围为(0,
1
2 )
2
变式训练1:设函数f
(x)
ex x2
k(
2 x
ln
x)
(1)当k≤0时,求函数f(x)的单调区间.
(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.
解:(1)f(x)的定义域为 (0, )
ex
2
f (x)
x2
k( x
故f(x)的单调递增区间为 ( ,1),(0, ) f(x)的单调递增区间为 (1,0)
(2) f ( x) x(e x 1 ax) 设 g( x) e x 1 ax ,则 g'( x) e x a
若a≤1,当x>0时, g'( x) 0 ,g(x)单调递增 ,而g(0)=0
所以当x≥0时,g(x)≥0,即f(x)≥0
4
综上所述:当
a3 4
或a
5 4
时,h(x)有一个零点。
当 a 3 或 a 5 时,h(x)有两个零点。
4
4
当 5 a 3 时,h(x)有三个零点。
4
4
3.已知函数 f ( x) x(e x 1) ax2
(1)若 a 1 ,求f(x)的单调区间.
2
(2)若当x≥0时f(x)≥0,求实数a的取值范围.