高中数学选修1-1课时作业2：3.3.3 函数的最大(小)值与导数

3.3.3 函数的最大(小)值与导数
一、基础达标
1．函数y ＝f (x )在[a ，b ]上( ) A ．极大值一定比极小值大 B ．极大值一定是最大值 C ．最大值一定是极大值 D ．最大值一定大于极小值 [答案] D
[解析] 由函数的最值与极值的概念可知，y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值一定大于极小值．
2．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是( ) A ．[0,1) B ．(0,1) C ．(－1,1) D.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，12 [答案] B
[解析] ∵f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0，可得a ＝x 2， 又∵x ∈(0,1)，∴0<a <1，故选B. 3．函数y ＝ln x
x 的最大值为( ) A ．e －1 B ．e C ．e 2 D.103 [答案] A
[解析] 令y ′＝(ln x )′x －ln x ·x ′x 2＝1－ln x
x 2＝0(x ＞0)．
解得x ＝e.当x >e 时，y ′<0；当0＜x <e 时，y ′>0.
y 极大值＝f (e)＝1
e ，在定义域内只有一个极值， 所以y max ＝1
e .
4．函数y ＝4x
x 2＋1在定义域内( )
A ．有最大值2，无最小值
B ．无最大值，有最小值－2
C ．有最大值2，最小值－2
D ．无最值
[答案] C
[解析] 令y ′＝4(x 2＋1)－4x ·2x (x 2＋1)2＝－4x 2＋4
(x 2＋1)2
＝0， 得x ＝±1.
最大值2.
5．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________． [答案] (－∞，2ln 2－2]
[解析] 函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，即方程e x －2x ＋a ＝0有实根，即函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，而g ′(x )＝2－e x ，易知函数g (x )＝2x －e x 在(－∞，ln 2)上递增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g (x )＝2x －e x 的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，只需a ≤2ln 2－2即可． 6．函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2上的最大值是________． [答案] π
6＋ 3
[解析] y ′＝1－2sin x ＝0，x ＝π6，比较0，π6，π2处的函数值，得y max ＝π
6＋ 3.
7．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值及f(x)在[－2,2]上的最大值．
解f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x －2(－2,0)0(0,2) 2
f′(x)＋0－0
f(x)－40＋a 极大值a －8＋a
min
当x＝0时，f(x)的最大值为3.
二、能力提升
8．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小值时t的值为()
A．1 B.1
2 C.
5
2 D.
2
2
[答案] D
[解析]由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出|MN|＝y＝t2－ln t(t>0)．
y′＝2t－1
t
＝
2t2－1
t
＝2(t＋
2
2)(t－
2
2)
t.
当0<t<2
2时，y′<0，可知y在(0，2
2)上单调递减；
当t>2
2时，y′>0，可知y在(2
2
，＋∞)上单调递增．
故当t ＝2
2时，|MN |有最小值．
9．(2014·湖北重点中学检测)已知函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x ，若对于任意的a ∈
[]1，2，b ∈(2,3]，函数f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则实数t 的取值范围是
( ) A ．(－∞，3] B ．(－∞，5] C ．[3，＋∞) D ．[5，＋∞)
[答案] D
[解析] ∵f (x )＝x 3－tx 2＋3x ，∴f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于函数f (x )在(a ，b )上单调递减，则有f ′(x )≤0在[a ，b ]上恒成立，即不等式3x 2－2tx ＋3≤0在[a ，b ]上恒成立，即有t ≥32(x ＋1x )在[a ，b ]上恒成立，而函数y ＝32(x ＋1
x )在[1,3]上单调递增，由于a ∈[1,2]，b ∈(2,3]，当b ＝3时，函数y ＝32(x ＋1
x )取得最大值，即y max ＝32(3＋1
3)＝5，所以t ≥5，故选D.
10．如果函数f (x )＝x 3－3
2x 2＋a 在[－1,1]上的最大值是2，那么f (x )在[－1,1]上的最小值是________． [答案] －1
2
[解析] f ′(x )＝3x 2－3x ， 令f ′(x )＝0得x ＝0，或x ＝1. ∵f (0)＝a ，f (－1)＝－5
2＋a ， f (1)＝－1
2＋a ，∴f (x )max ＝a ＝2. ∴f (x )min ＝－52＋a ＝－1
2.
11．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．
(1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值；
(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,6]时，f (x )<2|c |恒成立，求c 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ，
∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值， ∴－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根． ∴⎩⎪⎨⎪⎧
－1＋3＝2
3a －1×3＝b 3
，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝3
b ＝－9
.
(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ， f ′(x )＝3x 2－6x －9.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )随x 的变化如下表：
∴当x ∈[－2,6]时，f (x )的最大值为c ＋54， 要使f (x )<2|c |恒成立，只要c ＋54<2|c |即可， 当c ≥0时，c ＋54<2c ，∴c >54； 当c <0时，c ＋54<－2c ，∴c <－18.
∴c ∈(－∞，－18)∪(54，＋∞)，此即为参数c 的取值范围． 12．已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a . (1)求f (x )的单调递减区间；
(2)若f (x )在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 解 (1)∵f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9. 令f ′(x )＜0，解得x ＜－1或x ＞3，
∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．
(2)∵在(－1,3)上f′(x)＞0，
∴f(x)在[－1,2]上单调递增．
又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，且
f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，
f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，
∴f(2)＞f(－2)．
∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，
于是有22＋a＝20，∴a＝－2.
∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.
∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，
即f(x)最小值为－7.
三、探究与创新
13．(2013·新课标Ⅰ)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.
(1)求a，b，c，d的值；
(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．
解(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4,
而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝e x(cx＋d＋c)，∴a＝4，b＝2，d＝2，c＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2e x(x＋1)，
设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2k e x(x＋1)－x2－4x－2(x≥－2)，
F′(x)＝2k e x(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(k e x－1)．
由题设可得F(0)≥0，即k≥1.
令F′(x)＝0得，x1＝－ln k，x2＝－2，
①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0，∴当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0，当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增，故F(x)在x＝x1时取最小值F(x1)，而F(x1)＝2x1＋2－x21－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.
∴当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．
②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(e x－e2)，
∴当x≥－2时，F′(x)≥0，∴F(x)在(－2，＋∞)单调递增，而F(－2)＝0，∴当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立，
③若k＞e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0，
∴当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．
综上所述，k的取值范围为[1，e2].。