高考文科数学圆锥曲线专题复习

圆锥曲线专题复习
知识概括： 名称
椭圆
y
图 象
O
x
平面内到两定点 F 1 ,F 2 的距离的和为
常数（大于
F 1F 2 ）的动点的轨迹叫椭 圆 即 MF 1
MF 2
2a
定 义
当 2 a ﹥ 2 c 时，轨迹是椭圆，
当 2 a ＝ 2 c 时 ， 轨 迹 是 一 条 线 段
F 1 F 2
当 2 a ﹤ 2 c 时，轨迹不存在
双曲线
y
O
x
平面内到两定点
F 1, F 2 的距离的差的绝
对值为常数（小于
F 1 F 2 ）的动点的轨
迹叫双曲线
即
MF 1 MF 2 2a
当 2 a ﹤ 2 c 时，轨迹是双曲线当 2 a ＝ 2 c 时，轨迹是两条射线当 2 a ﹥ 2 c 时，轨迹不存在
焦点在 x 轴上时：
x 2 y
2
a
1
x
2
y
2
2
b
2
1
焦点在 x 轴上时：
b 2 标 准
y 2
x
2
a 2
方 程
焦点在
y 轴上时：
1
焦点在 y 轴上时： y
2
x 2
a
2
b
2
1
注：依据分母的大小来判断焦点在哪一
a 2
b 2
坐标轴上
常 数
a,b,c
a 2
c 2
b 2 ， a
b 0 ，
c 2
a 2
b 2 ，
c a 0
的 关 a 最大， c
b, c b, c
b
c 最大，能够 a b, a
b,a
b
系
焦点在 x 轴上时：
x
y 0
渐 近
a b
线
焦点在 y 轴上时：
y
x 0
a
b
抛物线：
图
形
y
O
F l
y
x
F
O x
l
方 2
2 px( p
0)y
2
2 px( p 0)
x 2
2 py( p 0)
x 2
2 py( p 0)
y
程
焦 p
,0)
( p
,0) (0, p
)
(0, p )
(
点 2
2
2
2 准 p x p
y
p
y
p
x
2
2
2
2
线
（一）椭圆
x 2
y 2 a b 0)
1. 椭圆的性质：由椭圆方程
1(
a 2
b 2
（ 1）范围： a x
a ，- b
x a ，椭圆落在 x
a ，y
b 构成的矩形中。

（ 2）对称性 : 图象对于 y 轴对称。

图象对于 x 轴对称。

图象对于原点对称。

原点叫椭圆的对称中心，简
称中心。

x 轴、 y 轴叫椭圆的对称轴。

从椭圆的方程中直接能够看出它的范围，对称的截距。

（ 3）极点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的极点
椭圆共有四个极点：
A ( a,0), A 2 (a,0) ，
B (0, b), B 2 (0,b) 。

加两焦点 F 1 ( c,0), F 2 (c,0) 共有六个
特别点。

A 1 A 2 叫椭圆的长轴， B 1 B 2 叫椭圆的短轴。

长分别为 2a,2b 。

a, b 分别为椭圆的长半轴长和短半
轴长。

椭圆的极点即为椭圆与对称轴的交点。

（ 4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。

e
c
e
1 ( b
)2 。

0 e 1 。

a
a
椭圆形状与 e 的关系： e
0, c 0 ，椭圆变圆， 直至成为极限地点圆， 此时也可以为圆为椭圆在
e 0 时
的特例。

e
1, c a, 椭圆变扁，直至成为极限地点线段
F 1 F 2 ，此时也可以为是椭圆在 e 1时的特例。

2.
椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个
(0,1) 内常数 e ，那么这
个点的轨迹叫做椭圆。

此中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数
e 就是离心率。

椭圆的第二定义与第必定义是等价的，它是椭圆两种不一样的定义方式 3.
椭圆的准线方程
对于 x
2
y 2 1 ，左准线 l 1 : x a 2 ；右准线 l 2 : x a 2
a 2
b 2 c
c 对于
y
2
x 2 1，下准线 l 1 : y
a 2 ；上准线 l 2 : y a 2
a 2
b 2 c
c
焦点到准线的距离p a 2a2c2b2
c
c
（焦参数）
c c
（二）双曲线的几何性质：
1.（ 1）范围、对称性
由标准方程x
2
y21，从横的方素来看，直线x＝－ a,x ＝a 之间没有图象，从纵的方素来看，跟着x a 2b2
的增大， y 的绝对值也无穷增大，所以曲线在纵方向上可无穷伸展，不像椭圆那样是关闭曲线。

双曲线不关闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。

（ 2）极点
极点： A1 (a,0), A2a,0 ，特别点： B1 (0, b), B2 0, b
实轴： A1 A2长为2a,a叫做实半轴长。

虚轴：B1B2长为2b，b叫做虚半轴长。

双曲线只有两个极点，而椭圆则有四个极点，这是二者的又一差别。

（ 3）渐近线
过双曲线x
2
y
2 1的渐近
线y
b
x （x y0）a 2b2a a b
（ 4）离心率
双曲线的焦距与实轴长的比 e2c c
，叫做双曲线的离心率范围： e>1
2a a
双曲线形状与 e 的关系：k b c2a2c21e2 1 ，e越大，即渐近线的斜率的绝对
a a a2
值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭渐渐变得宽阔。

由此可知，双曲线的离心率越大，它的张口就越阔。

2.等轴双曲线
定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

等轴双曲线的性质：（ 1）渐近线方程为：y x ；（2）渐近线相互垂直；（3）离心率 e 2 。

3.共渐近线的双曲线系
假如已知一双曲线的渐近线方程为y
b x kb x(k 0) ，那么此双曲线方程就必定是：
a ka
x2y2
1( k 0) 或写成
x2y2 (ka)2(kb)2a2。

b2
4.共轭双曲线
以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样获得的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。

差别：三量
a,b,c 中 a,b 不一样（交换） c 同样。

共用一对渐近线。

双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。

确
定双曲线的共轭双曲线的方法：将 1 变成－ 1。

5. 双曲线的第二定义：到定点 F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数e c (c a 0) 的点的轨迹是
a
双曲线。

此中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线。

常数 e 是双曲线的离心率。

6.双曲线的准线方程：
对于 x2y 21来说，相对于左焦点 F1 ( c,0) 对应着左准线l1: x a2，相对于右焦点 F2 (c,0) 对a2 b 2c
应着右准线 l2: x a2
；c
焦点到准线的距离p b2
（也叫焦参数）。

c
对于 y2x 21来说，相对于下焦点 F1 (0, c) 对应着下准线l1: y a2；相对于上焦点 F2 (0, c) 对a2b2c
应着上准线 l2 : y a2。

c
（三）抛物线的几何性质
（ 1）范围
因为 p＞ 0，由方程y2 2 px p 0 可知，这条抛物线上的点M的坐标（ x，y）知足不等式 x≥0，所
以这条抛物线在y 轴的右边；当 x 的值增大时， |y| 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无穷延长。

（ 2）对称性
以－ y 代 y，方程y2 2 px p 0 不变，所以这条抛物线对于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做
抛物线的轴。

（ 3）极点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的极点．在方程y 2 2 px p 0 中，当y＝0时，x＝0，所以抛物线 y 22px p 0 的极点就是坐标原点。

（ 4）离心率
抛物线上的点 M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用 e 表示。

由抛物线的定义可知，e＝ 1。

【典型例题】
例 1.依据以下条件，写出椭圆方程
（ 1）中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2 、长轴长为8；
（ 2）和椭圆9x2＋ 4y2 ＝36 有同样的焦点，且经过点（2，－ 3）；
（ 3）中心在原点，焦点在x 轴上，从一个焦点看短轴两头的视角为直角，焦点到长轴上较近极点的
距离是10－ 5 。

确立剖析：求椭圆的标准方程，第一要依据焦点地点确立方程形式，其次是依据
a2、 b2 的值从而写出标准方程。

解：（ 1）焦点地点可在x 轴上，也可在y 轴上
a2＝ b2＋ c2及已知条件
所以有两解： x
2
y 2
1或 y 2
x 2
1
16
12
16 12
（ 2 ）焦点地点确立，且为（
0 ，
y 2 x 2 1 , （ a>b>0），由已知条件有
5 ），设原方程为
b 2
a 2
a 2
b 2 5
y 2
x 2
9 4
a 2 15,
b 2 10 ，故方程为
1。

a 2 b 2 1
15 10
x 2 y
2 （ 3）设椭圆方程为
2
b
a
2
1, （ a>b>0）
b c
及 a2＝ b2＋c2，解得 b ＝ 5, a10
由题设条件有
c
10
a 5
故所求椭圆的方程是
x 2
y 2
10
1。

5
例 2. 直线 y kx 1与双曲线 3x 2
y 2
1 订交于 A 、 B 两点，当 a 为什么值时， A 、 B 在双曲线的同一支 上？当 a 为什么值时， A 、 B 分别在双曲线的两支上？
解：把 y kx 1代入 3x 2
y 2 1
整理得： (3 a 2 ) x 2 2ax 2
0 （ 1）
当 a 3 时，
24 4a 2
由
>0 得
6 a
6 且 a
3 时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点
若 A 、 B 在双曲线的同一支，须
x 1 x 2 2 >0，所以 a
3 或 a
3 。

a 2
3
故当
6 a
3 或 3 a
6 时， A 、B 两点在同一支上；当
3 a
3 时， A 、B 两点在
双曲线的两支上。

例 3. 已知抛物线方程为 y 2
2p(x 1) （ p>0），直线 l : x
y
m 过抛物线的焦点 F 且被抛物线截得
的弦长为 3，求 p 的值。

解：设 l 与抛物线交于
A(x 1 , y 1 ), B( x 2 , y 2 ), 则 | AB | 3.
由距离公式 |AB| ＝ (x 1 - x 2 )
2
( y 1 y 2 ) 2
1
1
| y 1
y 2
|
2 | y 1 y 2 |
k 2
则有 ( y y )2 9 .
1
2
2
x
y
1
p
2 ，消去 x ，得 y 2 2 py p 2
由
y 2
2 p( x 1)
( 2 p) 2 4 p 2
0.
y 1 y 2 2p, y 1 y 2
p 2 .
从而 ( y 1
y 2 ) 2 ( y 1 y 2 ) 2 4 y 1 y 2
即 ( 2 p) 2 4 p 2
9
2
因为 p>0，解得 p
3
4
例 4. 过点 (1 ，0) 的直线 l 与中心在原点，焦点在
x 轴上且离心率为
2
的椭圆 C 订交于 A 、B 两点，直
2
线 y= 1
x 过线段 AB 的中点，同时椭圆
C 上存在一点与右焦点对于直线
l 对称，试求直线 l 与椭圆 C 的方
2
程 .
解法一：由 e=
c
2 , 得 a 2
b
2
1
, 从而 a2=2b2,c=b.
a 2 a 2
2
设椭圆方程为 x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)
在椭圆上 .
则 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2, 两式相减得， (x12 － x22)+2(y12 －y22)=0,
y 1
y 2 x 1 x 2 .
x 1 x 2
2( y 1 y 2 ) 设 AB 中点为 (x0,y0),
则 kAB=－
x 0
,
2 y 0
y
又 (x0,y0) 在直线 y= 1 x 上， y0= 1
x0,
2
2
1 y= x
B
2
于是－
x 0
=－ 1,kAB= － 1,
2y 0
F 2
o
F 1 x
设 l 的方程为 y=－ x+1.
A
右焦点 (b,0) 对于 l 的对称点设为 (x ′ ,y ′ ),
y
1
则 x
解得
x
1
b
b
b
y x
1
y 1
2
2
由点 (1,1 －b) 在椭圆上，得 1+2(1 － b)2=2b2,b2=
9
, a 2 9 .
16 8
∴所求椭圆 C 的方程为
8x 2
16 y 2
=1,l 的方程为 y=－ x+1.
9
9
解法二：由 e=
c
2 , 得 a 2
b
2
1
, 从而 a2=2b2,c=b.
a 2
a 2
2
设椭圆 C 的方程为 x2+2y2=2b2,l 的方程为 y=k(x － 1),
将 l 的方程代入 C 的方程，得 (1+2k2)x2 － 4k2x+2k2 － 2b2=0,
则 x1+x2=
4k 2 ,y1+y2=k(x1 － 1)+k(x2 － 1)=k(x1+x2) － 2k=－ 2k .
2k 2
2k 2
1
1 1 的中点 x 1
x 2
y 1 y 2
), 则
k
1
2k 2
直线 l ： y= x 过 AB
(
2
,
2
1 2k 2
,
2
2 1 2k 2
解得 k=0，或 k=－ 1.
若 k=0, 则 l 的方程为 y=0, 焦点 F(c,0) 对于直线 l
的对称点就是
F 点自己，不可以在椭圆 C 上，所以 k=0 舍
去，从而 k=－ 1，直线 l 的方程为 y=－ (x － 1), 即 y=－ x+1, 以下同解法一 .
解法 3：设椭圆方程为
x 2 y 2 1(a
b 0)(1)
a 2
b 2
直线 l 不平行于 y 轴，不然 AB 中点在 x 轴上与直线
y 1
x 过AB 中点矛盾。

2
故可设直线 l 的方程为 y
k( x 1) (2)
(2)代入 (1)消 y 整理得：(k 2 a
2
b 2 ) x 2 2k 2 a 2 x
a 2 k 2 a 2
b 2 0 (3)
设A(x 1，y 1 ) B( x 2，y 2 ) ， 知：
x 1
x 2
2k 2 a 2
k 2a
2
b
2
又 y 1 y 2 k (x 1 x 2 ) 2k 代入上式得：
k
x 1
2k 1 ， k 2k k 2 a 2
b 2
1 ， k k
b 2 1
， 又
e 2
x 2
2
2k 2 a 2
2
ka 2
2
2
k
2b 2 2(a 2 c 2 )
2
2e 2
1 ， 直线 l 的方程为 y
1
x ，
a 2
a 2
此时 a 2 2b 2 ， 方程 (3)化为 3x 2 4x 2
2b 2
0，
16 24(1 b 2
)
8(3b 2
1) 0
b
3 ， 椭圆 C 的方程可写成： x
2
2 y
2
2b 2
( 4) ， 又 c
2
a
2
b
2
b 2
，
3
右焦点 F (b ，0) ， 设点 F 对于直线 l 的对称点 ( x 0， y 0 ) ，
y 0
1
x 0
b
则
x
， y
0 1
b ，
y 0
x 0
b
0 1
1
2
2
又点 (1，1 b)在椭圆上，代入 (4)得：
2(1 b ) 2b
2
， b
3 3
，
1
4
3
b
2
9 ， a 2
9
16
8
所以所求的椭圆方程为：
x 2
y 2 1
9
9
8
16
例 5.
如图，已知△ P1OP2的面积为
27
，P 为线段 P1P2 的一个三均分点，求以直线
OP1、OP2为渐近线且
4
过点 P 的离心率为
13
的双曲线方程 .
2
解：以 O 为原点，∠ P1OP2的角均分线为 x 轴成立如下图的直角坐标系
设双曲线方程为
x
2
y
2
a
2
b 2 =1(a ＞ 0,b ＞0)
y
由 e2= c
2
1
(b
)
2
(
13 )2
，得
b
3 .
a 2
a
2
a 2
∴两渐近线 OP1、 OP2方程分别为 y= 3 x 和 y=－ 3
x
2 2
设点 P1(x1,
3
x1),P2(x2,
－
3
x2)(x1 ＞ 0,x2 ＞ 0),
o
2
2
则由点 P 分 P 1 P 2 所成的比λ =
P 1 P
=2,
PP 2
得 P 点坐标为 ( x 1
2x
2 ,
x
1
2 x 2 ),
3
2
又点 P 在双曲线
x
2
4y 2
2
2 =1 上，
a
9a
所以 ( x 1
2x 2 ) 2
(x 1 2 x 2 )2 =1,
9a 2
9a 2
即 (x1+2x2)2 － (x1 －2x2)2=9a2, 整理得 8x1x2=9a2
①
又|OP 1|
x 12
9
x 1 2
13
x 1 ,|OP |
x 2 2
9
x 2
2
13
x 2
4
2
4
2
2
3
2 tan P 1Ox
2 12
sin P 1OP 2
1 tan 2
P 1Ox
9
13
1
4
S POP
1
|OP 1 | |OP 2 | sin P 1 OP 2
1 13
x 1 x 2
12 27 , 1
2
2 2 4
13 4
即 x1x2= 9
②
2
由①、②得 a2=4,b2=9 .
P 2
P
x
P 1
故双曲线方程为
x 2 y 2 4
=1.
9
例 6. 已知点 B （－ 1，0）， C （ 1， 0）， P 是平面上一动点，且知足 | PC | | BC | PB CB.
（ 1）求点 P 的轨迹 C 对应的方程；
（ 2）已知点 A （m,2）在曲线 C 上，过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD 和 AE ，且 AD ⊥ AE ，判断：直线 DE 能否过定点？试证明你的结论 .
（ 3）已知点 A （ m,2）在曲线 C 上，过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD ，AE ，且 AD ，AE 的斜率 k1、k2 知足 k1·k2=2.
求证：直线 DE 过定点，并求出这个定点 .
解：（ 1）设 P ( x , y )代入 | PC | | BC |
PB CB 得 ( x
1)2
y
2
1 x ,化简得 y
2 4 x .
(2) 将 A(m,2) 代入 y 2 4x 得 m 1, 点 的坐标为
(1,2).
A
设直线
的方程为
y 2
k(x 1) 代入 y 2
4x, 得
y 24
y 8
4 0,
AD
k k
由 y 1 可得 y 2
4 2, D( 4
4 2).
2
k
1,
k 2 k
同理可设直线
AE : y
2 1 ( x 1), 代入 y 2 得 E(4k 2
1, 4k 2).
k 4x
4 4k
: y
4k 2 k ( x 4k 2
1),
则直线
方程为
化简得
DE
4
k 2 ( y
k 2 4k
2) k(x 5) ( y 2) 0,
即y
2
k
(x
5), 过定点 (5, 2).
k
2
1
(3)
将A (m,2)
代入
y 2
设直线 DE 的方程为 y
kx b 由
得 k 2 x 2 y 2 4 x
4x 得
m 1,
y kx b, D ( x 1, y 1 ), E ( x 1, y 1 )
2(kb 2) x b 2
0,
k
AD
k
AE 2,
y 1
2 y 2
2
2( x 1 , x 2
1),
x 1 1 x 2
1
且 y 1 kx 1 b, y 2 kx 2 b
(k 2 2)x 1 x 2 ( kb 2k 2)( x 1
x 2 ) (b 2) 2 2 0,
将 x 1 x 2
2(kb 2) , x 1 x 2
b 2
代入化简得 b 2
(k 2) 2
, b
( k 2).
k 2
k 2
b (k 2).
将 b k 2代入 y kx b 得 y kx k 2 k (x 1) 2, 过定点 ( 1, 2).
将 b 2
k 代入 y kx b 得 y kx 2 k
k( x
1) 2, 过定点 (1,2), 不合 , 舍去 ,
定点为 (
1, 2)
【模拟试题】 （答题时间： 50 分钟）
一、选择题
1. 是随意实数，则方程 x 2 y 2 sin
4 所表示的曲线不行能是（
）
A. 椭圆
B. 双曲线
C.
抛物线
D.
圆
2.
已知椭 x
2
( y t )2 1 的一条准线方程是 y
8，则实数 t 的值是（
）
12 21
A.7或－7
B. 4 或 12
C.1 或 15
D. 0
3.
双曲线 x
2
y 2 1的离心率 e (1,2) ，则 k 的取值范围为（
）
4
k
A. (
,0)
B.
（－ 12， 0） C.
（－ 3， 0） D.
（－ 60，－ 12）
4.
以 x 2 y 2 1的焦点为极点，极点为焦点的椭圆方程为（
）
4 12
A.
x 2
y 2
1
B. x 2
y 2
1
16 12
12
16
C.
x 2 y 2 1 D. x 2 y 2
1
16 4
4 16
5. 抛物线 y 8mx 2 的焦点坐标为（
）
A.
( 1 ,0)
B. (0, 1 )
C. (0,
1 ) D. (
1 ,0)
8m
32m
32m
32 m
6.
已知点 A （－ 2，1）， y 2 4 x 的焦点为 F ， P 是 y 2
4 x 的点，为使 PA
PF 获得最小值， P 点
的坐标是（
）
A.
(
1
,1)
B.
( 2,2 2)
C.
( 1 , 1) D. ( 2, 2 2 )
4
4
7. 已知双曲线的渐近线方程为
3x 4 y 0 ，一条准线方程为 5y 9 0，则双曲线方程为（
）
A.
y 2 x 2
1
B. x 2
y 2 1
9 16
9
16
C.
y 2 x 2 1 D. x 2 y 2
1
9 25
9 25
8. 抛物线 y
x 2 到直线 2x
y 4 距离近来的点的坐标为（
）
A.
( 3 , 5 ) B. (1,1)
C. ( 3 , 9 )
D.
( 2,4)
2 4
2 4
9. 动圆的圆心在抛物线 y
2
8x
上，且动圆与直线
x 2
0 相切，则动圆必过定点（
）
A. （4， 0）
B.
（ 2，0） C.
（0， 2） D.
（0，－ 2）
10 ．中心在原点，焦点在座标为
(0，±5
2 ) 的椭圆被直线 3x － y － 2=0 截得的弦的中点的横坐标为
1 ，
2
则椭圆方程为 ( )
2 x 2
2 y 2
1
2 x 2
2 y 2
1
A.
75
B. 75
25
25
x 2 y 2
1
D.
x 2 y 2
1
C.
75
75
25
25
二、填空题
11.
到定点（ 2， 0）的距离与到定直线
x 8 的距离之比为
2
的动点的轨迹方程为
______________。

2
12.双曲线 2mx2my2 2 的一条准线是 y1，则 m ___________。

13.已知点（－2， 3）与抛物线y22px( p0) 的焦点距离是
5，。

p ____________
14．直线 l 的方程为 y=x+3,在 l 上任取一点 P，若过点 P且以双曲线12x2－4y2=3 的焦点作椭圆的焦点，那么拥有最短长轴的椭圆方程为________________ 。

三、解答题
15.已知双曲线的中心在原点，过右焦点 F（2，0）作斜率为3
的直线，交双曲线于 M、N 两点，且MN 5
＝ 4，求双曲线方程。

16. 过椭圆x
2
y 21的左焦点F作直线l交椭圆于P、 Q ， F2为右焦点。

43
．
的最值求： PF2 QF2
17. 已知椭圆的一个焦点为F， 2 2 )，对应的准线方程为92
，且离心率 e 知足
2
，e、
4
1( 0y
33
4
成等比数列。

（ 1）求椭圆的方程。

（ 2）试问能否存在直线l ，使 l 与椭圆交于不一样的两点M、N，且线段 MN恰被直线x 1
均分？若存在，2
求出 l 的倾角的取值范围，若不存在，请说明原因。

18.如下图，抛物线y2=4x的极点为O，点A 的坐标为(5 ，0) ，倾斜角为的直线l 与线段OA订交 ( 不
4
经过点 O或点 A) 且交抛物线于M、 N 两点，求△ AMN面积最大时直线l 的方程，并求△AMN的最大面积 .
【试题答案】
1. C
2. C
3. B
4. A
5. B
6. A
7. A
8. B
9. B
11.( x 4) 2
y
2
72
1
36
12. －
4
13. 4
14.
x 2 y 2
3
5
=1
4
15. 解：设所求双曲线方程为
x 2 y 2 1 （ a>0， b>0），由右焦点为（ 2， 0）。

知 c ＝ 2，b2＝ 4－ a2
a
2
b
2
则双曲线方程为
x 2
y 2
1，设直线 MN 的方程为： y
3
( x 2) ，代入双曲线方程整理得： （ 20－
a 2
4 b 2
5
8a2） x2＋ 12a2x ＋ 5a4－ 32a2＝ 0
设 M （x1,y1 ） ,N （ x2,y2 ） , 则 x 1 x 2 12a 2
20 8a
2
5a 4 32a 2
x 1
x
2
20 8a 2
2
MN
1
3 x 1
x 2 4x 1 x 2
5
8 12a 2 2
5a 4 32a 2
4 4
5
20 8a 2
20 8a 2
解得： a 2
1 ， b
2 4 1
3
故所求双曲线方程为：
x 2
y 2
1
3
x 1
．
t
cos
16. 解：直线 l ：
0 ． 为参数
y
t sin
P 、 Q 为 l 与椭圆的交点
∴
(
1 tan
) 2
( t ． )2
1
sin
4
3
6 cos
．
9
∴ t 1 t 2
cos
2
t 1 t 2
4 cos
2
4
z PF 2 ．
( 4
PF 1 )( 4
QF 1 )
QF 2
16
4( PF 1 QF 1
) PF 1 ．
QF 1
164 t1t 2 t1．t 2
16
．129
16
39 4
cos2 4 cos2cos2 44
∴ cos21时z
min3; cos20 时z max25
4
17.解：（ 1）依题意，2
，e，
4
成等比数列，33
可得 e 22 3
设 P（x，y）是椭圆上任一点
依椭圆的定义得
x 2( y22) 2 2 2
| y9 2 |3
4
化简得 9x 2y 29
即 x 2y21为所求的椭圆方程
9
（ 2）假定l存在因 l 与直线x 1
订交，不行能垂直x 轴2
所以设 l 的方程为： y kx m y kx m
由
y 2
9 x29
消去 y得，9 x2( kx m) 29
( k 2) x2
2kmx( m2)
0 有两个不等实根
99
4k 2m24(k 29)(m29)0
m2k 290
设两交点M、 N的坐标分别为( x1，y1 ) ， ( x2，y2 ) x1 x22km
29
k 1
均分线段 MN恰被直线x
2
1x1 x2
2 2
即
2km
1
k 2 9
k
m
k 2
9
2k
代入 m 2
k 2 9
0 得
k
2
9 2
(k 2
9) 0
2k
k 2 9 0
k 2 9 1
4k
2
k 2 3
k
或 k 3
3
直线倾角的范围为
3
， 2
，
2
2
3
解：由题意，可设
l 的方程为 y=x+m,－ 5＜ m ＜ 0.
y x m
由方程组
2 , 消去 y, 得 x2+(2m － 4)x+m2=0 ①
y 4x
∵直线 l 与抛物线有两个不一样交点 M 、 N ， ∴方程①的鉴别式
=(2m － 4)2 － 4m2=16(1－ m)＞0,
解得 m ＜ 1, 又－ 5＜ m ＜ 0, ∴ m 的范围为 ( － 5， 0) 设 M(x1,y1),N(x2,y2) 则 x1+x2=4－ 2m ， x1· x2=m2,
∴ |MN|=4 2(1 m) .
点 A 到直线 l
的距离为 d=
5 m
.
2
∴ S △ =2(5+m) 1 m , 从而 S △ 2=4(1 － m)(5+m)2
2 2m 5 m
5
m
=2(2 － 2m)· (5+m)(5+m) ≤ 2(
)3=128.
∴ S △≤ 8 2 , 当且仅当 2－ 2m=5+m,即 m=－1 时取等号 .
故直线 l 的方程为 y=x － 1，△ AMN 的最大面积为 8 2 .。