高中数学 课时跟踪检测(十七)幂函数 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试题

课时跟踪检测（十七） 幂 函 数
A 级——学考水平达标练
1．下列说法：
①幂函数的图象不可能在第四象限； ②n ＝0，函数y ＝x n
的图象是一条直线； ③幂函数y ＝x n
当n ＞0时，是增函数；
④幂函数y ＝x n 当n ＜0时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小． 其中正确的为( ) A ．②③ B ．③④ C ．①②
D ．①④
解析：选D 当n ＝0时，y ＝x n
的图象为除去一点的直线，②错误；y ＝x 2
不是增函数，③错误，①④显然正确，因此答案选D.
2．若幂函数y ＝(m 2
－3m ＋3)·x 22
m m －－的图象不过原点，则m 的取值是( )
A ．－1≤m ≤2
B ．m ＝1或m ＝2
C ．m ＝2
D ．m ＝1
解析：选B 由幂函数的定义，可得m 2
－3m ＋3＝1，解得m ＝1或2.当m ＝1时，y ＝x －2
，其图象不过原点；当m ＝2时，y ＝x 0
，其图象不过原点．故m ＝1或2.
3．已知幂函数f (x )＝x α
，当x ＞1时，恒有f (x )＜x ，则α的取值X 围是( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1) C ．(0，＋∞)
D ．(－∞，0)
解析：选B 当x ＞1时，恒有f (x )＜x ，即当x ＞1时，函数f (x )＝x α
的图象在y ＝x 的图象的下方，作出幂函数f (x )＝x α
在第一象限的图象．由图象可知α＜1时满足题意，故选B.
4．已知幂函数f (x )＝(n 2
＋2n －2)x 23n n
－(n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上
是减函数，则n 的值为( )
A ．－3
B ．1
C ．2
D ．1或2
解析：选B 因为f (x )为幂函数，所以n 2
＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有
n ＝1符合题意，故选B.
5．已知幂函数f (x )＝x a
的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，则函数g (x )＝(x －2)f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1上的
最小值是( )
A ．－1
B ．－2
C ．－3
D ．－4
解析：选C 由已知得2a
＝12，解得a ＝－1，∴g (x )＝x －2x ＝1－2x 在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1上单调递
增，则g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝－3.故选C.
6．已知2.4α
＞2.5α
，则α的取值X 围是________． 解析：因为0＜2.4＜2.5，而2.4α
＞2.5α
， 所以y ＝x α
在(0，＋∞)上为减函数，故α＜0. 答案：(－∞，0)
7．设α∈⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－1，12，1，3，则使f (x )＝x α
为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的
值是________．
解析：因为f (x )＝x α
为奇函数，所以α＝－1,1,3.又因为f (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以α＝－1.
答案：－1
8．已知函数f (x )＝x
2－m
是定义在区间[－3－m ，m 2
－m ]上的奇函数，则f (m )＝________.
解析：由题意得，m 2－m ＝3＋m ， 即m 2
－2m －3＝0，∴m ＝3或m ＝－1. 当m ＝3时，f (x )＝x －1
，此时x ∈[－6,6]， ∵f (x )在x ＝0处无意义，∴不符合题意； 当m ＝－1时，f (x )＝x 3，此时x ∈[－2,2]， 函数f (x )在[－2,2]上是奇函数，符合题意， ∴f (m )＝f (－1)＝(－1)3＝－1. 答案：－1
9．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )x
21
m m +-，m 为何值时，f (x )是：
(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．
解：(1)当m 2
＋m －1＝1，且m 2
＋2m ≠0，即m ＝1时，f (x )是正比例函数． (2)当m 2
＋m －1＝－1，且m 2
＋2m ≠0，即m ＝－1时，f (x )是反比例函数．
(3)当m 2＋m －1＝2，且m 2
＋2m ≠0，即m ＝－1±132时，f (x )是二次函数．
(4)当m 2
＋2m ＝1，即m ＝－1±2时，f (x )是幂函数．
10．已知幂函数f (x )＝xm 2
－2m －3(m ∈N *
)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1)
3
m -
<(3－2a )
3
m -
的a 的取值X 围．
解：∵幂函数f (x )＝x
223
m m －－在(0，＋∞)上单调递减，
∴m 2
－2m －3<0，解得－1<m <3. ∵m ∈N *
，∴m ＝1,2.
又函数的图象关于y 轴对称，∴m 2
－2m －3是偶数， 而22
－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数， ∴m ＝1. 而f (x )＝x 13
-
在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，
∴(a ＋1)
13
-
<(3－2a )13
-等价于a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a .
解得a <－1或23<a <3
2
.
故a 的取值X 围为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，32. B 级——高考水平高分练
1．若(3－2m )12＞(m ＋1)12
，则实数m 的取值X 围为________． 解析：因为y ＝x 1
2
在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪
⎧
3－2m ≥0，m ＋1≥0，
3－2m ＞m ＋1，
解得－1≤m
＜23.故m 的取值X 围为⎣
⎢⎡⎭⎪⎫－1，23. 答案：⎣
⎢⎡⎭⎪⎫－1，23
2．给出下面四个条件：①f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )；②f (m ＋n )＝f (m )·f (n )；③f (mn )＝
f (m )·f (n )；④f (mn )＝f (m )＋f (n )．如果m ，n 是幂函数y ＝f (x )定义域内的任意两个值，那
么幂函数y ＝f (x )一定满足的条件的序号为________．
解析：设f (x )＝x α，则f (m ＋n )＝(m ＋n )α，f (m )＋f (n )＝m α＋n α，f (m )·f (n )＝m α·n
α
＝(mn )α
，f (mn )＝(mn )α
，所以f (mn )＝f (m )·f (n )一定成立，其他三个不一定成立，故填③.
答案：③
3．比较下列各组数的大小． (1)3
72
-和3.2
72
-
；
(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－232
3和⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π62
3； (3)4.12
5
和3.8
43
-.
解：(1)函数y ＝x
72
-在(0，＋∞)上为减函数，又3＜3.2，所以3
72
-
＞3.2
72
-
.
(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－232
3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232
3，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π62
3＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫π62
3，函数y ＝x 2
3在(0，＋∞)上为增函数，而23＞π6，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＞⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π62
3.
(3)4.125
＞125
＝1,0＜3.843
-＜1
43
-
＝1，
所以4.12
5
＞3.8
43
-.
4．已知幂函数f (x )＝x 2
1
m
+m
(m ∈N *
)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数
a 的取值X 围．
解：(1)∵m 2
＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *
， ∴m 与m ＋1中必定有一个为偶数， ∴m 2
＋m 为偶数，
∴函数f (x )＝x 2
1
m
+m
(m ∈N *
)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在其定义域上为增函数．
(2)∵函数f (x )经过点(2，2)，
∴2＝22
1
m
+m
，即212
＝22
1
m
+m
，
∴m 2
＋m ＝2，即m 2
＋m －2＝0. ∴m ＝1或m ＝－2.
又∵m ∈N *
，∴m ＝1.
∵f (x )在[0，＋∞)上是增函数， ∴由f (2－a )＞f (a －1)得 ⎩⎪⎨⎪
⎧
2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，
解得1≤a ＜3
2
.
故m 的值为1，满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值X 围为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫1，32.
5．为了保证信息的安全传输须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y ＝x α
(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是什么？
解：由题目可知加密密钥y ＝x α
(α是常数)是一个幂函数模型，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值．由题意得2＝4α
，解得α＝12，则y ＝x 12.由x 12＝3，得x
＝9.
即解密后得到的明文是9.。