排列数、组合数公式及二项式定理的应用

排列数、组合数及二项式定理整理

慈济中学全椒 刘

1、排列数公式

m n A =)1()1(+--m n n n =！！

)(m n n -.(n ，m ∈N*，且m n ≤)．

2、排列恒等式

(1)

1(1)m

m n

n A n m A

-=-+;(2)

1m

m

n n n A A n m -=

-;(3)11m m n n A nA --=; (4)11n n n n n n nA A A ++=-;

(5)

1

1m m m n n n

A A mA -+=+.(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅+

+⋅=+-.

3、组合数公式

m n C =m n m m A A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N*，m N ∈，且m n ≤).

4、组合数的两个性质 (1)

m n C =m

n n

C - ; (2) m n C +1

-m n C =m n C 1

+.

5、排列数与组合数的关系

m m

n n

A m C =⋅！ .

6、二项式定理：

011()()n n n r n r r

n n

n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++

++

+∈

【注】：

1．基本概念：

①二项式展开式：右边的多项式叫做()n

a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r

n C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r

n r

r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r

r n T C a b -+=表示。

2．注意关键点：

①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n

a b +与()n

b a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。

各项的次数和等于n .

④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.

r n

n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。

3．常用的结论：

令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n

n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122

(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-

++

+-∈

4．性质：

①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即

0n n n C C =，···1k k n n C C -=

②二项式系数和：令

1a b ==,则二项式系数的和为

012

2r n

n n n n n n C C C C C +++

+++=， 变形式12

21r n n n n n n C C C C ++

++

+=-。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：

在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123

(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-+

+-=-=，

从而得到：024213

21

11222

r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++

++⋅⋅⋅=⨯=

④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

0011222

0120120011222021210

01230123()()1, (1)1,(1)n n n n n n

n

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=+++

+=+

+++=++++=+---------=--+-++=-----令则①令则024135

(1)(1),()

2

(1)(1),()

2

n n

n n n

n a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=②

①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和

⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n n

C 取得最大值。 如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数12n n

C -,12n n

C

+同时取

得最大值。

⑥系数的最大项：求()n

a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项

系数分别