2004年北京市高级中等学校招生统一考试 海淀卷 人教版

2004年北京市高级中等学校招生统一考试 海淀卷
考生须知：
1. 本试卷共4页，28道题；满分120分；考试时间120分钟。

2. 试题答案一律填涂、书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

3. 认真填写学校名称、姓名和准考证号。

4. 解题前，请认真阅读答题卡的要求，按要求解答。

解答题要写明主要步骤，结果必须明确。

5. 作答用笔要求请见答题卡。

一. 选择题：（本题共40分，第1~8题各3分，第9~12题各4分） 在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的。

1. 图1是圆规示意图，张开的两脚所形成的角是（ ） A. 平角 B. 钝角 C. 直角 D. 锐角
图1
21
4.
的算术平方根是（） A. 12 B. -12 C. 116 D. 1
2
±
3. 从“第二届互联网大会”上获悉，中国的互联网上网用户已超过7800万，居世界第二位。

7800万用科学记数法表
示为（ ）
A. 7.8×106
B. 7.8×107
C. 7.8×108
D. 0.78×108
42010.,不等式组的解集为（
）x x -<+>⎧⎨⎩
A x
B x ..>-<1
2
C x
D x x ..-<<<->12
12或
5. 下列各运算中，结果正确的是（ ） A a a a
B a a a ..3
4
12
1025⋅=÷=
C a a a
D a a a ..235
43+=-=
62
.在反比例函数的图象上的一个点的坐标是（）y x
= ()()A B ..21
21，，-
C D ..212122，，⎛⎝
⎫⎭
⎪
⎛⎝ ⎫⎭
⎪ 7. 若两个圆只有两条公切线，则这两个圆的位置关系是（ ）
A. 外离
B. 相交
C. 内切
D. 内含
84212
2
.()若的值使得成立，则的值为（）a x x a x a ++=+-
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
9903
2.cos sin 在中，°，若，则的值为（）∆ABC C B A ∠==
A B C D ..
.
.
332
33
12
10. 如图2所示，在圆O 中，AB 为弦，OC ⊥AB ，垂足为C 。

若AO=5，OC=3，则弦AB 的长为（ ） A. 10 B. 8 C. 6
D. 4
图2
11. 多项式ac-bc+a 2-b 2分解因式的结果是（ ） A a b a b c .()()-++
B a b a b c .()()-+-
C a b a b c .()()++-
D a b a b c .()()+-+
12. 图3是饮水机的图片。

饮水桶中的水由图4的位置下降到图5的位置的过程中，如果水减少的体积是y ，水位下降的高度是x ，那么能够表示y 与x 之间函数关系的图象可能是（ ）
图3 图4 图5
y
y
y y
O
O
O
O
x x x x A
B
C
D
二. 填空题：（本题共28分，第13~19题每空3分，第20题4分）
13. 已知梯形中位线的长为6，下底的长为7，那么上底的长为______________。

1452050522
.,,,,
方程组可化为两个方程组x y x xy y x y x y x y +=+-=⎧⎨⎩+=-=⎧⎨⎩+=⎧⎨⎩
15. 下表是食品营养成份表的一部分（每100克食品中可食部分营养成份的含量）
在表中提供的碳水化合物的克数所组成的数据中，中位数是______________，平均数是______________。

16320.||.已知，那么的值为
-+-=+x x y x y
17. 如果圆柱的底面半径为3cm ，母线长为3cm ，那么这个圆柱的侧面展开图的面积是______________cm 2。

18. 某课外活动小组的同学在研究某种植物标本（如图6所示）时，测得叶片①最大宽度是8cm ，最大长度是16cm ；叶片②最大宽度是7cm ，最大长度是14cm ；叶片③最大宽度约为6.5cm ，请你用所学数学知识估算叶片③的完整叶片的最大长度，结果约为_______________cm 。

图6
19735.如图所示，在圆中，，，，则的长O AB AC CD AB AE ED EC ⋂=⋂=⋂
=⋅=为________________。

图7
20. 观察下列各等式：
2246
642-+-=， 5543342-+-=，
7741
142-+-=，
101042
24
2-+---=， 依照以上各式成立的规律，在括号中填入适当的数，使等式202044
2-+-=()
()成立
三. （本题共23分，第21题5分，第22~24题各6分）
21231
3141202
.(.)计算：+--+⎛⎝ ⎫
⎭⎪-π
22151
6..解方程
x x x
x +++= 23. 已知：如图8所示，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且CE=CF 。

（）求证：；1∆∆ABE ADF ≅
（2）过点C 作CG//EA 交AF 于H ，交AD 于G 。

若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC 的度数。

图8
24. 已知：如图9所示，梯形ABCD 中，AD//BC ，BD 平分∠ABC ，∠A=120°，BD BC ==43，求梯形的面积。

图9
四. （本题共13分，第25题6分，第26题7分） 25. 列方程（组）解应用题：
在某校举办的足球比赛中规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。

某班足球队参加了12场比赛，共得22分。

已知这个队只输了2场，那么此队胜几场？平几场？
26. 已知：关于x 的一元二次方程ax 2+2ax+c=0的两个实数根之差的平方为m 。

（）试分别判断当，与，时，是否成立，并说113224a c a c m ==-==
≥明理由；
（2）若对于任意一个非零的实数a ，m ≥4总成立，求实数c 及m 的值。

五. （本题共16分，第27、28题各8分） 27. 已知：如图10所示，A 、K 为圆O 上的两点，直线FN ⊥MA ，垂足为N ，FN 与圆O 相切于点F ，∠AOK=2∠MAK 。

（1）求证：MN 是圆O 的切线； （2）若点B 为圆O 上一动点，BO 的延长线交圆O 于点C ，交NF 于点D ，连结AC 并延长交NF 于点E 。

当FD=2ED 时，求∠AEN 的余切值。

图10
28. 已知：在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点A 的坐标为（0，2），以OA 为直径作圆B 。

若点D 是x 轴上的一动点，连结AD 交圆B 于点C 。

（）当时，求直线的解析式；11
2
tan ∠=
DAO BC （2）过点D 作DP//y 轴与过B 、C 两点的直线交于点P ，请任意求出三个符合条件的点P 的坐标，并确定图象经过这三个点的二次函数的解析式；
（3）若点P 满足（2）中的条件，点M 的坐标为（-3，3），求线段PM 与PB 的和的最小值，并求出此时点P 的坐标。

试题答案
一. 选择题：（本题共40分，第1~8题各3分，第9~12题各4分） 1. D 2. A 3. B 4. C 5. D 6. A 7. B
8. C
9. B
10. B 11. A
12. C
二. 填空题：（本题共28分，第13~19题每空3分，第20题4分）
13. 5 14. x+2y=0 15. 4，4 16. 9
17. 18π
18. 13
19. 2
20. -12，-12
三. （本题共23分，第21题5分，第22~24题各6分） 21. 解：
231
3141202
+--+⎛⎝ ⎫⎭⎪
-(.)π
=
-+--+231313114
3()
()()
分
=-+313
=+32
5分
22. 解：方法一：方程两边同乘以x(x+1)，得
()()
x x x x ++=+1561222分
整理得4x=1 x =
14
5分
经检验，是原方程的根x =
1
4
∴=原方程的根为分x 1
4
6
方法二：设，分x x
y +=1
1
原方程变形为分y y
+=562
y y 2650-+=
解得，分y y 1215
4==
当时，
，此方程无解；y x x =+=11
1
当时，，y x x =+=51
5
去分母，得x+1=5x ， ∴=x
14
5分
经检验，是原方程的根。

x =
1
4
∴=原方程的根为分x 1
4
6.
23. （1）证明： 四边形是菱形，ABCD ∴===AB AD BC DC ，分1
∠=∠B D ，
分2
CE CF =， ∴=BE
DF
3分
∴≅∆∆ABE ADF 。

　分4
（2）解： ∆∆ABE ADF ≅,
∴∠=∠=DAF
BAE 25°
四边形为菱形，ABCD ∴∠=∠=BAD BCD 130° ∴∠=EAF 805°
分
CG EA /
/，
∴∠+∠=EAH AHC 180° ∴∠=AHC
1006°
分
图1
24. 方法一：过点B 作BE ⊥DA 交DA 的延长线于E 。

1分 ∠=BAD
120° ∴∠=
EAB 60°
BD ABC 平分，∠ ∴∠=∠12 AD BC /
/
∴∠=∠32
∴∠=
∠=13302°分
在Rt △BDE 中， BD =43，
∴=
==⨯=BE
BD ED BD 1
2
233064，°分cos
在Rt △BEA 中， ∴=⋅=⨯
=AE
BE cot 60233
3
2 ∴=-=-=AD ED AE 6245分
()
∴=
+⋅=⨯+⨯=+S AD BC EB 梯形
分121
2
4432343126()
图2
方法二：过点A 作AE ⊥BD 于E ，过点D 作DF ⊥BC 于F 。

1分 ∵BD 平分∠ABC ∴∠1=∠2 ∵AD//BC ， ∴∠3=∠2 ∴∠1=∠3 ∴AB=AD ∵∠BAD=120°
∴∠2=∠3=∠1=30° 2分 BD =43
∴=
=ED
BD 1
2
233分
在中，°
分Rt AED AD ∆=
=23
304
4cos
在中，分Rt BFD DF BD ∆=
=1
2
235
()
∴=
+⋅=⨯+⨯=+S AD BC DF 梯形
分121
2
4432343126()
图3
四. （本题共13分，第25题6分，第26题7分） 25. 解：设这支足球队胜x 场，平y 场。

1分 依题意，得
x y x y ++=+=⎧⎨
⎩2123224,
.分
解这个方程组，得
x y ==⎧⎨
⎩64
5分
答：这支足球队胜了6场，平了4场。

6分 26. 解：（）当，时，成立；1134a c m ==-≥
当，时，不成立。

a c m ==≥224
当，时，原方程为，则，a c x x x x ==-+-===-1323013212
[]∴=
--=>m 131642()，
即m ≥4成立。

当，时，原方程为a c x x ==++=2224202
由，可设方程的两根分别为，∆=4-⨯⨯>2124220x x
则，x x x x 1212222
+=-⋅=
∴=-=+-=-<m x x x x x x ()()1221221244224，
即不成立。

分m ≥43
（2）依题意，设原方程的两个实数根是x 1，x 2，
则，x x x x c
a
12122+=-⋅=.
可得m x x c a
=-=-
()12244 对于任意一个非零的实数都有，a c
a
444-≥ ∴=c 05分
当时，分c a ==4>00
62∆
∴==c m 047，分
五. （本题共16分，第27、28题各8分）
27. （1）证明：如图4所示，延长AO 交圆O 于G ，连结KG ，则AG 为直径。

∴∠=AKG 90°
∠=∠22G ，
又，∠=∠221
∴∠=∠G 1
∠+∠=G 390°
∴∠=∠+∠=MAO
1390°
点在圆上，A O ∴MN O 是圆的切线。

分2
图4
（2）解：依题意，分两种情况： 情况一：如图5所示，连结AB ，OF 。

BC O 为圆的直径， ∴∠=BAC
90°
FN MA N ⊥于， ∴∠=ANE
90°
MN O 是圆的切线， ∴∠=∠1B ∴∠=∠42
又， ∠=∠23
∴∠=∠43 ∴=DC
DE 。

NF O F 切圆于， ∴∠=OFN 90°
又° ∠=NAO 90
∴四边形是矩形AOFN OA
OF =，
∴矩形是正方形AOFN ∴==AN NF OF NF O F 切圆于， ∴=⋅FD
DC DB 2
设圆O 的半径为r ，ED=x 。

FD ED =2， ∴=+()()222
x x x r
解得x r =
23
在中，°∆AEN ANE ∠=90
cot .∠=
=+==AEN NE AN NF FE AN r
r
336分
图5
情况二：如图6所示，设圆O 的半径为r ，ED=x 。

类似地，有x r =
23
在中，°，∆AEN ANE ∠=90
cot ∠==-==AEN NE AN NF FE AN r
r 131
3
∴∠AEN 的余切值为或。

分31
3
8
图6
28. 解：（1）如图7所示，当点D 在x 轴的正半轴上时，连结OC ，过C 点作CK ⊥y 轴于点K 。

OA B C B 为圆的直径，点在圆上， ∴∠=ACO
90°
∴∠=∠12
tan ∠=
112 ∴∠=tan .21
2
设OK 的长为x ，则KC=2x ，可得AK=4x
点的坐标为（，），A OK KA OA 02+=
∴=点的坐标为（，），B x
015 2.
∴=
x
25 ∴=KC 4
5
∴⎛⎝
⎫⎭
⎪点的坐标为，C 4525 设直线的解析式为BC y kx k =+≠10()
得
254
5
1=+k ∴=-k 3
4
∴=-+直线的解析式为BC y x 3
4
1
当点在轴的负半轴上时，同理可得直线的解析式为D x BC y x =
+3
41 ∴=-+=+满足题意的直线的解析式为或分BC y
x y x 3413
4
12.
图7
（2）∵DP//y 轴， ∴⊥DP x 轴。

当点D 位于如图7的位置时，有D （1，0）。

可得点的纵坐标为P y =-
⨯+=341114
. ∴⎛
⎝
⎫⎭
⎪点的坐标为，
P 114 如图8所示，当点D 的坐标为（2，0）时，△AOD 为等腰三角形。

连结OC ，
OA B 为圆的直径， ∴⊥OC AD ∴C AD 为中点 ∴BC OD //
又轴， DP y 1//
∴点的坐标为（，）P 121
图8
如图9所示，类似地，可得点P 2的坐标为（-2，1）
设图象经过、、三点的二次函数的解析式为P P P y ax bx c a 1220=++≠()
得1
4142142=++=++=-+⎧⎨⎪⎪
⎩
⎪⎪a b c a b c a b c ,,
解这个方程组，得a b c ===⎧⎨⎪⎪
⎩
⎪⎪1400,,.
∴图象经过这三个点的二次函数的解析式为分y x =
14
62.
图9
（3）如图10所示，∵AB//PD ，
∴⊥=
PD x AB DP BC
PC
轴， AB BC =
，
∴=DP PC
∴+=++PM PB PM PC BC
=++PM PD BC
由几何知识可知，当直线DP 经过点M （-3，3）时，PM+PD 的值最小。

又是圆的半径， BC B
∴当直线DP 过点M 时，PM+PB 的值最小。

∴PM+PB 的最小值是MD+BC=3+1=4 7分 ∵OD=3，OA=2
由勾股定理有AD =13
又可证DO 是圆B 的切线。

∴=⋅OD DC AD 2
∴=
=CD
AC 913413
，则
可求DP AB DC AC =
⋅=9
4
∴-⎛⎝
⎫⎭
⎪点的坐标为，
　分P 3948
图10
【试卷分析】
结合北京市2004高级中等学校招生统一考试海淀卷作如下分析： 一. 试卷特点：
作为北京市海淀区的中考统一招生试题，此份试卷有如下几方面的特点：
1.较全面地考察了初中数学所要求的数学基础知识和基本技能。

初中数学所要求的数学基础知识和基本技能是每一个完成初中数学学习的
学生都应达到的水平，也是义务教育阶段所要求的每个学生应该达到的层次。

本份试卷较好体现了学生对初中数学知识和基本技能的掌握，真正体现了教学大纲和新课程标准对初中数学学习的要求。

2.有较好的区分度。

充分体现了中考统一招生考试的选拔功能。

中考统一招生考试作为向高一级学校提供学生学习情况的考试必须具有良好的区分度。

否则就达不到学生分流的目的。

本份试卷一方面重视了对数学基本知识和基本技能的考察，同时，在题目中有起伏，有层次，即使是同一个题目也体现了对学生的不同层次的要求，具有良好的区分度。

3.充分体现了初中数学中所要求的数学思想。

数学思想作为学习初中数学所应具备的一种良好素养。

它的目的是教会学生运用数学的思维方法，去推理、分析问题。

初中数学中所要求的转化思想、方程思想、换元思想、数形结合思想、分类讨论思想等在本份试卷中都有充分的体现，通过这一方面的考察，能充分展示学生的数学思维过程。

4.体现数学教学大纲与新课程标准的结合，海淀区作为新课程改革的实验区，从下一年起就完全按新课程标准去命题中考，因此本份试卷是由旧教材向新课标过渡的一年。

在本份试卷中也体现了新大纲所重点强调的数学思维。

本份试卷中体现了学生 去学数学、用数学、用数学知识来解决实际问题这一命题原则。

大家从试卷中的那些与我们生活息息相关的数学题中都能体会到这一点，题目中所描述和说明的问题并不复杂，需要我们运用的数学知识也不复杂，但是要真正充分利用已有的数学知识去解决它，却需要我们平常数学知识的积累和数学思维习惯的养成。

二. 试题分析： （选择题）：
1. 此题考察的是对我们所学的角的概念的理解和角的分类的掌握，题目不难，但改变了以前那种定式的考察。

大家结合图形和题目，想到的绝不是我们书中所说的“死记”的定义。

而是去分析这个概念的图形意义，解决这一题的方法很多，我就不一一叙述。

此题的答案是 D.锐角。

2. 此题考察了学生对算术平方根、平方根的知识、非零实数的非负平方根是其算术平方根，也即正数的正的平方根是其算术根。

0的算术平方根是0，如果我们运用数学符号来运算，这一道题也就不会出错了，
1
4
的算术平方根也就是
1412=，因此答案应是A 。

3. 此题一方面是对科学记数法知识的考察，另一方面也是对学生进行国情教育的机会，同时也要求学生有良好的心态和心理素质把题目看清，因为题目中是以万为单位的，而答案中却没有单位“万”，因此此题的答案为：B 。

4. 此题是对学生不等式组解集的考察。

一方面要求会解不等式，另一方面会求不等式组的解集，因此此题的答案是：C 。

5. 此题是对同底数幂乘法、除法及整式的加减法法则的考察，同底数幂的乘、除法实际上是指数运算，整式的加、减法实际上是系数运算，故此题的答案是：D 。

6. 此题是对函数及函数图像知识的考察，一个点在函数图像上，则其点的横纵坐标应满足函数的解析式，故此题应选：A 。

7. 此题是对两圆位置关系及两圆公切线知识的考察，两个圆只有两条公切线，则两圆必是相交关系，故此题应选：B 。

8. 此题是对配方法知识和多项式恒等变形的考察，两个多项式相等，则对应的项应该都相等。

因此只要把右边的平方式展开然后整理即可。

此题的答案是C 。

9. 此题是对特殊角三角函数和互为余角的角的三角函数知识的考察。

因为在Rt △ABC 中，∠A+∠ B=90°故sinA=cosB=
3
2。

当然也可由cos B =
32可知∠=B 30 ，则∠=A 60
，故sin A =32
，此题的答案是B 。

10. 此题是对垂径定理和勾股定理知识的考察。

此题的答案是B
11. 此题是对多项式因式分解的考察。

对于题目中的四项式显然应该运用分组分解法，最后的答案是A 12.此题实际上是结合实际问题求函数解析式。

由题中的图示可知，下降的体积实际上是一个圆柱体的体积。

即y r x =⋅π2显然πr 2为一
个常数，因此y 与x 成正比例。

符合此函数解析式的图像只能是C
二. 填空题
13. 此题是对梯形中位线知识的考察，梯形的中位线长等于上、下底长和的一半，因此最后求得的上底长为5。

14. 此题是对二元二次方程组的解法的考察。

对于题目中的提示，此题应是把第二个方程化成两个一次方程，然后重新构成两个二元一次方程组即可，显然由x
xy y 2
220+-=可得()()x y x y -+=20，即x y -=0或x y +=20，故此题应填x y +=20。

15. 此题是对中位数，平均数知识的考察，同时又告诉了我们相关的科学知识，此题的答案都是4。

16. 此题是对初中所学的非负数知识的考察。

由
320
-+-=x x y ||可得：
3020
-=-=x x y 且，故
x y x y ==∴+=369，，。

17. 此题是对圆柱体侧面展开图面积的考察，我们知道圆柱体侧开图为矩形，其面积s rl =2π，其中r 表示底面圆的半径，l 表示圆柱体的母线长，故此题的答案为18元。

18. 此题是结合生活中的数学知识对相似形知识的考察，同一株植物的叶子可以看成是相似图形。

也即他们的最大宽度与最大长度的比是一个定值，在本题中通过前面的两组数据可知，此定值为
1
2
，因此此题应填13。

19. 此题一方面考察了图中弧、弦、圆周角之间的关系，另一方面又是对相似形和相交弦定理的考察。

由AB AC CD ⋂=⋂=⋂
可知AC=AB=3
同样可得∠=∠EAC B 则∆∆ACE
BCA ~
∴
=
∴=⋅=+AC CE CB
AC
AC CE CB CE CE BE 2()
又又 AE CE CE BE CE CE CE ⋅=⋅=∴=+>∴=5
3502
22
20. 此题是对学生灵活运用数学知识能力的考察。

由前面的提示可知，这儿填的两个数相同，因此可以用方程知识来解。

即
202044
2-+-=x
x
解方程得x =-12符合题意。

因此此题应填--1212，。