浓度问题十字交叉原理

浓度问题十字交叉原理
一、基础题型。

1. 现有浓度为20%的盐水300克，要配制成浓度为40%的盐水，需要加入浓度为70%的盐水多少克？
- 解析：
- 设需要加入浓度为70%的盐水x克。

- 根据十字交叉原理，(70% - 40%):(40% - 20%) = 300:x。

- 即30%:20%=300:x，(30%)/(20%)=(300)/(x)，x = 200克。

2. 有浓度为10%的酒精溶液50千克，要配制成浓度为30%的酒精溶液，需加入浓度为60%的酒精溶液多少千克？
- 解析：
- 设需加入浓度为60%的酒精溶液y千克。

- 十字交叉可得(60% - 30%):(30% - 10%)=50:y。

- 即30%:20% = 50:y，(30%)/(20%)=(50)/(y)，解得y=(100)/(3)千克。

3. 浓度为15%的糖水400克，与浓度为25%的糖水600克混合后，得到的糖水浓度是多少？
- 解析：
- 首先用十字交叉求混合时两种糖水的质量比对应的比例关系。

(25% - x):(x - 15%)=400:600，这里x是混合后的浓度。

- 化简得3(25% - x)=2(x - 15%)。

- 75% - 3x = 2x-30%。

- 5x = 105%，x = 21%。

二、溶液混合中有部分蒸发或增加溶质的题型。

4. 有浓度为20%的盐水溶液300克，蒸发掉多少克水后，浓度变为40%？
- 解析：
- 盐的质量为300×20% = 60克。

- 设蒸发掉z克水后浓度变为40%。

- 根据浓度公式(60)/(300 - z)=40%，60 = 40%(300 - z)。

- 60 = 120-0.4z，0.4z = 60，z = 150克。

- 用十字交叉原理来理解：原来盐水浓度20%，可看作是盐和水的比例关系，盐20份，水80份；后来浓度40%，盐40份，水60份。

设蒸发掉z克水，(40% - 20%):(20%)=(300×20%):z，也可得出z = 150克。

5. 在100克浓度为15%的糖水中加入多少克糖后，浓度变为25%？
- 解析：
- 原来糖水中糖的质量为100×15% = 15克，水的质量为100 - 15=85克。

- 设加入m克糖后浓度变为25%。

- 根据(15 + m)/(100 + m)=25%，15+m = 25%(100 + m)。

- 15+m=25 + 0.25m，0.75m = 10，m=(40)/(3)克。

- 用十字交叉理解：原来糖和水的比例关系为15:85，后来糖和水的比例关系为25:(100 - 25)=25:75。

设加入m克糖，(25% - 15%):(100%)=(100×15%):m，同样可得出m=(40)/(3)克。

三、多种溶液混合题型。

6. 有浓度为10%、20%、30%的三种盐水，按1:2:3的质量比混合后得到的盐水浓度是多少？
- 解析：
- 设三种盐水质量分别为x、2x、3x。

- 总溶质质量为10%x+20%×2x + 30%×3x=0.1x + 0.4x+0.9x = 1.4x。

- 总溶液质量为x + 2x+3x = 6x。

- 混合后浓度为(1.4x)/(6x)=(7)/(30)≈23.3%。

- 用十字交叉原理，先将10%和20%的盐水按1:2混合，设混合后浓度为y，(20% - y):(y - 10%) = 1:2，解得y=(40)/(3)%。

- 再将(40)/(3)%的盐水和30%的盐水按1 + 2:3=1:1混合，设最终混合浓度为z，(30% - z):(z-(40)/(3)%)=1:1，解得z = 23.3%。

7. 三种不同浓度的酒精溶液A、B、C，浓度分别为40%、36%、35%，它们按3:4:5的比例混合后得到的酒精溶液浓度是多少？
- 解析：
- 设三种溶液质量分别为3m、4m、5m。

- 总溶质质量为40%×3m+36%×4m + 35%×5m=(1.2m +
1.44m+1.75m)=4.39m。

- 总溶液质量为3m + 4m+5m = 12m。

- 混合后浓度为(4.39m)/(12m)≈36.6%。

- 用十字交叉原理，先将40%和36%的溶液按3:4混合，设混合后浓度为y，(36% - y):(y - 40%)=(3)/(4)，解得y = 37.6%。

- 再将37.6%的溶液和35%的溶液按3 + 4:5 = 7:5混合，设最终混合浓度为z，(35% - z):(z - 37.6%)=(5)/(7)，解得z = 36.6%。

四、与比例相关的浓度问题。

8. 甲容器中有浓度为8%的盐水300克，乙容器中有浓度为12.5%的盐水120克。

往甲、乙两个容器中分别倒入等量的水，使两个容器中盐水的浓度相同。

每个容器应倒入多少克水？
- 解析：
- 设每个容器应倒入x克水。

- 甲容器中盐的质量为300×8% = 24克，乙容器中盐的质量为120×12.5% = 15克。

- 根据浓度相同可得(24)/(300 + x)=(15)/(120+x)。

- 24(120 + x)=15(300 + x)。

- 2880+24x = 4500+15x。

- 9x = 1620，x = 180克。

- 用十字交叉原理，设混合后相同的浓度为y，(12.5% - y):(y -
8%)=(300):(120)，解得y=(24)/(420)。

- 再根据(24)/(300 + x)=(24)/(420)，解得x = 180克。

9. 有两种硫酸溶液，一种浓度为60%，另一种浓度为90%，现在要配制浓度为70%的硫酸溶液300克，两种硫酸溶液各取多少克？
- 解析：
- 设取60%的硫酸溶液x克，则取90%的硫酸溶液(300 - x)克。

- 根据十字交叉原理(90% - 70%):(70% - 60%)=x:(300 - x)。

- 即20%:10%=x:(300 - x)，2:1=x:(300 - x)，2(300 - x)=x，600 - 2x=x，3x = 600，x = 200克。

- 所以取60%的硫酸溶液200克，取90%的硫酸溶液300 - 200 = 100克。

五、综合题型。

10. 一容器内有浓度为25%的糖水，若再加入20千克水，则糖水的浓度变为15%，问这个容器内原来含有糖多少千克？
- 解析：
- 设容器内原来糖水质量为x千克。

- 糖的质量为25%x千克。

- 根据(25%x)/(x + 20)=15%。

- 25%x=15%(x + 20)。

- 0.25x=0.15x + 3。

- 0.1x = 3，x = 30千克。

- 原来糖的质量为30×25% = 7.5千克。

- 用十字交叉原理理解：原来糖水浓度25%，后来浓度15%，设原来糖水质量为x千克，(25% - 15%):(15%)=20:x，解得x = 30千克，糖的质量为30×25% = 7.5千克。

11. 有浓度为30%的酒精溶液若干，加入一定量的水后浓度变为24%，如果再加入同样多的水，浓度会变为多少？
- 解析：
- 设原来酒精溶液质量为a，加入水的质量为b。

- 酒精质量为30%a。

- 根据(30%a)/(a + b)=24%，30%a=24%(a + b)。

- 0.3a = 0.24a+0.24b。

- 0.06a = 0.24b，a = 4b。

- 如果再加入同样多的水，浓度变为(30%a)/(a +
2b)=(30%×4b)/(4b+2b)=(1.2b)/(6b)=20%。

- 用十字交叉原理，第一次加水时，(30% - 24%):(24%)=b:a - b，得出a =
4b。

- 第二次加水后，设浓度为y，(30% - y):(y - 24%)=(2b):(a)，把a = 4b代入可得y = 20%。

12. 在浓度为40%的酒精溶液中加入5千克水，浓度变为30%，再加入多少千克酒精，浓度变为50%？
- 解析：
- 设原来酒精溶液质量为x千克。

- 酒精质量为40%x千克。

- 根据(40%x)/(x + 5)=30%。

- 40%x=30%(x + 5)。

- 0.4x = 0.3x+1.5。

- x = 15千克。

- 原来酒精质量为15×40% = 6千克，加入5千克水后溶液质量为15 + 5 = 20千克。

- 设再加入y千克酒精浓度变为50%。

- 根据(6 + y)/(20 + y)=50%。

- 6 + y=50%(20 + y)。

- 6 + y = 10+0.5y。

- 0.5y = 4，y = 8千克。

- 用十字交叉原理，第一次加水时，(40% - 30%):(30%)=5:x，解得x = 15千克。

- 第二次加酒精时，设加入酒精质量为y千克，(50% - 30%):(100% - 50%)=(20×30%):y，解得y = 8千克。

13. 有A、B两瓶不同浓度的盐水，A瓶盐水重120克，B瓶盐水重80克。

从两瓶中倒出等量的盐水，然后分别加入等量的水，使两瓶盐水的浓度都变为原来的一半。

问从每瓶中倒出的盐水是多少克？
- 解析：
- 设从每瓶中倒出的盐水是x克。

- 设A瓶原来浓度为a，B瓶原来浓度为b。

- 对于A瓶，原来盐的质量为120a，倒出x克盐水（其中盐的质量为ax）后，盐的质量为120a-ax，加入x克水后浓度变为(120a-ax)/(120)=(a)/(2)。

- 对于B瓶，原来盐的质量为80b，倒出x克盐水（其中盐的质量为bx）后，盐的质量为80b - bx，加入x克水后浓度变为(80b - bx)/(80)=(b)/(2)。

- 由(120a-ax)/(120)=(a)/(2)，120a-ax = 60a，ax = 60a，x = 60克。

- 用十字交叉原理，设A瓶原来盐。