2014四川自贡中考数学

四川自贡市初中2014届毕业生学业考试数学试卷解析
一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分） 1、比1-大1的数是（ ）
A 、2
B 、1
C 、0
D 、－2 【思路分析】就是把1-加上1，即11-+。

【答案】C
【点评】本题主要考查如何用代数式表示“比1-大1的数”，再利用有理数的加法法则做答。

2、
()24x 等于（ ）
A 、6
x B 、8
x C 、16
x D 、4
2x
【答案】B
【点评】本题主要考查幂的运算，掌握同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方的运算法则是解题的关键。

根据同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方的运算法则对各选项逐次作出判断，然后选择正确答案。

3、如图，是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上的小立方块的个数，这个几何体的正视图是（ ）
D
C
B
A
【思路分析】首先根据俯图，想象出该物体的实物图，再根据实
物图，画出实物的三视图。

【答案】D
【点评】本题考查了学生的空间想象能力，根据实物的俯视图翻译出该实物的立体图形，这是正确做答的关键所在。

然后根据三视图的制作方法：正（主）视图反映的是物体的长和高，俯视图
反映物体的长和宽，左视图反映物体的宽和高，正确画出正视图。

4、拒绝“餐桌浪费”刻不容缓，据统计全国每年浪费食物总量约为50000000000千克，这个数据用科学记数法表示为（ ）
A 、10
510⨯ B 、11
0.510⨯ C 、11
510⨯ D 、10
0.510⨯
【思路分析】此题考查用科学记数法表示较大的数的方法。

一个较大的数总可以表示成
10n a ⨯的形式。

其中110a ≤<，且n 为原数的整数位数减1。

本题5,10a n ==。

【答案】A
【点评】科学记数法可以表示较大的数，也可以表示较小的数，其形式都可以表示成10n
a ⨯，其中110a ≤<。

当这个数的绝对值大于10时，n 为原数的整数位数减1；若当这个数的绝对值小于1时，n 为第一个有效数字前0的个数的相反数。

若这个数是正数，则在10n
a ⨯它的前面加正号，若为负数，则在它的前面加负号。

5、一元二次方程2
450x
x -+=的根的情况是（ ）
A 、有两个不相等的实数根
B 、有两个相等的实数根
C 、只有一个实数根
D 、没有实数根
【思路分析】此题主要是考查利用根的判别式判断一元二次方程根的个数。

【答案】D
本题的关键是正确计算2
4b ac ∆=-的值。

6、下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
D
C B A
【思路分析】此题主要是考查轴对称图形、中心对称图形的概念。

【答案】C
【点评】如果一个图形沿着某直线翻折后直线左侧的部分能够与直线右侧的部分完全重合，则称该图形是轴对称图形，该直线称之对称轴；如果一个图形绕着某一定点旋转180︒后所得到的图形能够与原图形完全重合，则称该图形是中心对称图形，该定点称之为对称中心。

选项A 、D 是中心对称图形，而不是轴对称图形；选项B 中心对称图形而不是轴对称图形；选项C 既是轴对称图形，又是中心对称图形。

7、一组数据，6，4，a ，3，2的平均数是5，这组数据的方差为（ ）
A 、8
B 、5
C 、
D 、3
【思路分析】此题主要是考查平均数的概念及方差的计算公式。

对于一组数据12,,
,n x x x ，
有()()()222
12212,n n x x x x x x x x x x S n
n
⎡⎤
-+-+
+-++
+⎣
⎦=
=。

【答案】A
【点评】本题的关键是求出a 值。

由题意可列关于a 的方程，
6432
5,105
a x a ++++===，
再根据方差公式求出方差。

()()()()()222222
6545105352585
S ⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦==。

8、一个扇形的半径为8cm ，弧长为
16
3
cm π，则扇形的圆心角为（ ） A 、60︒ B 、120︒ C 、150︒ D 、180︒
【思路分析】此是主要考查扇形的弧长计算公式，根据半径、弧长计算圆心角。

【答案】B
【点评】设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，则弧长计算公式为180
r
l απ=。

这三个
量中只要知道其中的两个就可以求出第三个量。

即：
168,1203180
παπ
α==︒。

故选B 。

9、关于x 的函数()
1y k x =+和()0k
y k x
=≠在同一坐标系中的图像大致是（ ）
A B C D 【思路分析】此题主要是根据一次函数()
1y k x =+与反比例函数()0k
y k x
=≠的图象在平面直角坐标系中的象限分布。

【答案】D 【点评】
故选D 。

10、如图，在半径为1的⊙O 中，∠AOB ＝45︒，则sin C 的值为（ ）
A
、
2 B
C
D
、4【思路分析】此题主要考解直角三角形及三角函数值的计算
【答案】B
【点评】过B 点作BD ⊥AC 于D 点。

在Rt △BDO 中，OB=1， ∠AOB ＝45︒，根据sin 45,cos 45BD OD
OB OB
︒=
︒=，求得：
2
OD BD ==
，根据勾股定理求
得OB =，
故2
2
222sin 4BD C BC -===。

因∠C 为锐角，故
sin C
＞0
，则sin C =。

二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分） 11、因式分解：2
x
y y -= 。

【思路分析】此题主要考查因式分解的方法。

首选提公因式法，再考虑公式法。

【答案】()()11y x x -+
【点评】首先提取公因式，再利用公式法因式分解。

公因式的确定方法：各项系数的最大公
约数与各项公因式的最低次幂之积。

公式法主要考查平方差公式、完全平方公式，即
()()()2
2222;2a b a b a b a ab b a b -=+-±+=±。

本题提取公因式y ，再将因式21x -运
用平方差公式分解成()()11x x -+，即()()2
11x y y y x x -=-+。

12、不等式组23010
x x ⎧-+≥⎨
->⎩的解集是 。

【思路分析】主要考查一元一次不等式组的解法 【答案】3
12
x <≤。

详解：解不等式230x -+≥得32x ≤；解不等式10x ->得1x >。

在
同一条数轴上表示出这两个不等式的解集，并找出它们解集的公共部分。

如下图示：
，故解集为312
x <≤。

【点评】此题的基础是正确解不等式，关键是根据数轴确定这两个不等式解集的公共部分。

13、一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180︒，则它的边数是 。

【思路分析】主要考多边形内角和公式，外角和为360度。

【答案】7。

详解：设多边形的边数为x ，根据题意得：()33601802180x ⨯--=，解得7x =。

【点评】本题在正确运用多边形内角和公式的基础上根据题意列方程是关键。

14、如图，一个边长为4cm 的等边三角形ABC 的高与⊙O 的直径相等，⊙O 与BC 相切于点C 与AC 相交于点E ，则CE 的长为 cm 。

【思路分析】主要考查正三角形的性质，解直角三角形，垂径定理，切线的性质定理等。

【答案】3。

详解：连OC ，分别过A 、O 点作AF ⊥BC ，OD ⊥AC ，垂足分别为F 、D 点。

因⊙O 与BC 相切于点C ，则∠OCB ＝90︒，又等边三角形ABC ，有∠ACB ＝60︒，∠OCD ＝30︒；在直角三角形ACF 中，根据sin 60,4AF
AC AC ︒
=
=求得
AF =，所以OC =3
cos30,2
CD CD OC ︒==。

再根据垂径定理得3CE =。

【点评】首先由正三角形的边长及其性质求出高线的长度；再是求出OD 的长，最后根据垂
径定理求出CE 的长。

本题添加合适的辅助性构造直角三角形是关键。

15、一次函数y kx b =+，当34x ≤≤时，36y ≤≤，则
b
k
的值是 。

【思路分析】此题主要考学生运用待定系数法确定一次函数的解析式及分类思想。

【答案】详解：第一种情况，一次函数图象经过点()()3,3,4,6，则有3364k b
k b
=+⎧⎨
=+⎩，解得
3
6k b =⎧⎨=-⎩
，即一次函数的解析式为36y k =-；第二种情况()()3,6,4,3，同理可求得一次函数的解析式为315y k =-+。

【点评】运用分类思想，根据自变量、因变量的取值范围确定一次函数图象经过的点的坐标，再利用待定系数法求解析式。

三、解答题（共2个小题，每题8分，共16分） 16、解方程：()()
3222x x x -=-
【思路分析】把上述方程通过去括号将方程化成一元二次方程的最简形式，再选择合理的方法解方程。

【答案】详解：2
3440x x --=，()()3220x x +-=，122
,
23
x x =-
=
【点评】解一元二次方程有四种方法：直接开平方法，配方法，求根公式法，因式分解法，此题选择因式分解法为最优。

17、计算：(
)
2
13.1414cos 452π
-⎛⎫-+-+--︒ ⎪⎝⎭
【思路分析】此题主要考查学生实数的运算能力。

【答案】详解：原式
=14452
++⨯
= 【点评】本题涉及到的知识点有：⑴()010a a =≠；⑵()1
0p
p a
a a
-=
≠；⑶；()
()
00a
a a a
a ≥⎧⎪=⎨
-<⎪⎩；⑷特殊角的三角函数值。

四、解答题（共2个小题，每题8分，共16分）
18、如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离2.7米的A 处自B 点看塑像头顶D 的仰角为45︒，看塑像底部C 的仰角为30︒，求塑像CD 的高度。

（最后结果精确到0.1米，1.7=）
【思路分析】主要是考查解直角三角形在实际生活中的应用。

【答案】过B 点作BE ⊥DC 于E 点。

因BA ⊥AF ，DF ⊥AF ，故四边形ABEF 为矩形， 2.7BE =。

在Rt △BEC 中，∠CBE ＝30︒，根据tan 30,2.7
CE CE
CE BE ︒=
==；同理可求得2.7DE =， 2.7 1.2DC =-≈。

【点评】学生根据实际问题，构造直角三角形，并分别解Rt △BEC 、Rt △BED 。

19、如图，四边形ABCD 是正方形，BE ⊥BF ，BE ＝BF ，EF 与BC 交于点G 。

⑴求证：AE ＝CF 。

⑵若∠ABE ＝55︒，求∠EGC 的大小。

D
【思路分析】此题主要考查等腰直角三角形、正方形的性质，定理“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”，三角形全等的判定。

【答案】⑴证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴ AB=BC ，∠ABC ＝90︒；∵ BE ⊥BF ， ∴ ∠EBF ＝90︒， ∴ ∠ABE ＝∠CBF 。

∵ AB=BC ，∠ABE ＝∠CBF ，BE ＝BF ， ∴△ABE ≌△CBF ，∴ AE ＝CF
⑵∵ BE ＝BF ，∠EBF ＝90︒，∴ ∠BEF ＝45︒；∵ ∠ABC ＝90︒，∠ABE ＝55︒， ∴ ∠GBE ＝35︒， ∴ ∠EGC ＝80︒。

【点评】要证明线段相等，通常转化成证明三角形全等得到对应线段相等。

本题要充分利用正方形的性质“四边相等；四个内角都等于90︒；对角线互相垂直平分相等，且每一条对角线平分一组对角；正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形等”并根据题意选取合适的性质加以运用。

等腰直角三角形的两锐角相等为45︒，底边上的高线、中线、顶角的平分线重合，且等于底边的一半。

三角形全等的判定：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL 等，这要求考生根据图中的条件选取合理的方法不证明三角形全等。

五、解答题（共2个小题，每题10分，共20分） 20、为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，我市举办了首届“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如下：
⑴求表中a 的值；
⑵请把频数分布直方图补充完整；
⑶若测试成绩不低于40分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？
⑷第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10各同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小宇与小强两名男同学能分在同一组的概率。

【思路分析】此题主要频数分布直方图及概率初步。

频数(人数)测试成绩
162530354550
4812
40
【答案】⑴5048161012a =----=；
⑵频数分布直方图如右图所示。

⑶由直方图可知，40分以上的学生有12+10=22人，优秀率为
22
100%44%50
⨯= ⑷记小宇与小强的编号分别为1,2号，其他两各男生分别记为3,4号，他们分组的情况见下表：
故小宇与小强分在同一组的概率为
6。

【点评】这是一道统计与概率的综合题，它要求考生读懂读图表中提供的信息，在此基础正解选用列表法列举出四名男生分成两组的所有可能结果，计算概率。

21、学校新到一批理、化、生实验器材需要整理，若实验管理员李老师一人单独整理需要40分钟完成。

现在李老师与工人王师傅共同整理20分钟后，李老师因事外出，王师傅再单独整理了20分钟才完成任务。

⑴王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟完成；
⑵完成这学校要求王师傅的工作时间不能超过30分钟，要完成整理这批器材，李老师至少要工作多少分钟？
【思路分析】本题主要是考查分式方程、一元一次不等式在实际生活中的应用。

【答案】⑴解：设王师傅单独整理这批实验器材需要x 分钟完成。

1120201,8040x x x ⎛⎫
+⨯+== ⎪
⎝⎭。

经检验得80x =是原分式方程的根。

答：师傅单独整理这批实验器材需要80分钟完成；
⑵设李老师要工作m 分钟。

301,254080
m x +≥≥。

答：李老师至少要工作25分钟。

【点评】这是一道常规题，只要考生能正确的理解题意就可以做答。

但容易出错的地方有两个：1、忽视分式方程最后的验根；2、第2小问考生设未知数错误，通常设成“李老师至少要工作m 分钟”。

六、解答题（本题满分12分）
22、如图，一次函数y kx b =+与反比例函数()6
0y x x
=
>的图像交于A (),6m ，
B ()
3,n 两点。

⑴求一次函数的解析式； ⑵根据图像直接写出6
0kx b x
+-
<的x 的取值范围；
⑶求△AOB 的面积；
【思路分析】此题主要考查用待定系数法求函数解析式及转化思想的应用。

【答案】解：⑴∵A
(),6m ，B ()3,n 两点在反比例函数()6
0y
x x
=
>图象上。

∴1
2m n =⎧⎨=⎩
，即()()1,6,3,2A B 。

又∵()()1,6,3,2A B 在一次函数y kx b =+图象上，
∴623k b
k b
=+⎧⎨
=+⎩，解得28k b =-⎧⎨=⎩，即一次函数解析式为28y x =-+。

⑵根据图象可知6
0kx b x
+-
<的x 的取值范围是01x <<或3x >。

⑶分别过A 、B 点作AE ⊥x 轴，BC ⊥x 轴，垂足分别为E 、C 点，
直线AB 交x 轴于D 点。

令280y x =-+=得4x =，即()4,0D 。

∵ ()()1,6,3,2A B ，∴ 6,2AE BC ==。

∴11
4642822
AOB AOD DOB S S S ∆∆∆=-=
⨯⨯-⨯⨯=。

【点评】用待定系数法求函数解析式是初中阶段数学学习的核心知识点之一。

本题首先要确
定出A 、B 两点坐标，再求出一次函数解析式；难点是如何将边不与坐标轴平行（或重合）三角形的面积计算转化成边与坐标轴平行（或重合）三角形（或梯形）的面积计算。

七、解答题（满分12分）
23、如图①在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E （点E 不与A 、B 重合），分别连接ED 、EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的“强相似点”。

解决问题：
⑴如图①∠A ＝∠B ＝∠DEC ＝45︒，试判断点E 是否四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由；
⑵如图②，在矩形ABCD 中，A 、B 、C 、D 四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD 的边上的强相似点；
⑶如图③，将矩形ABCD 沿CM 折叠，使点D 落在AB 边上的点E 处，若点E 恰好是四边
x
形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系。

A B
E
图①图②图③
【思路分析】此题主要考查三角形相似，三角形全等、直径所对的圆周角是直角等知识点。

【答案】⑴E点是四边形ABCD的边AB上的相似点。

理由如下：
∵∠DEC＝45︒，∴∠DEA＋∠CEB＝135︒；∵∠A＝45︒，∴∠ADE＋∠AED＝135︒，∴∠ADE=∠CEB，∴△ADE∽△BEC，∴E点是四边形ABCD的边AB上的相似点。

⑵作法：以CD为直径作圆，它与AB交于E1，E2点，E1，E2点即为所作。

⑶点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，可分两种情况。

第一种情况：△MAE∽△EBC∽△MEC，则有：
AM AE AE
AE
ME EC CD AB
==
=。

过E点作EN ⊥MC于N点。

由角平分线性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”易证AE=EN=EB。

则E为AB中点，
1
2
AM
ME
=，∠MEA＝∠ECB＝30︒
，
EB AB
BC BC
==。

第二种情况：△MAE∽△EBC∽△CEM，则∠CEB＝∠ECM，CM∥EB，与题意不符，假设不成立。

综上所述，
AB
BC
=
【点评】本题综合性较强，注重对考生基本知识，基本技能，基本数学思想的考查，尤其关注考生的阅读理解能力，知识迁移能力，动手操作能力及数学中的分类思想的考查。

八、解答题（满分14分）
24、如图，已知抛物线2
3
2
y ax x c
=-+与x轴相交于A、B两点，并与直线
1
2
2
y x
=-交于B、C两点，其中点C是直线
1
2
2
y x
=-与y轴的交点，连接AC。

⑴求抛物线的解析式；
⑵证明：△ABC为直角三角形；
⑶△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG？（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）若
能，求出最大面积；若不能，请说明理由。

（答题卡上的备用图①、②、③供解题时选用）
【思路分析】此题主要考查二次函数、相似三角形、勾股定理逆定理等知识点。

【答案】⑴令1202y x =-=得，4x =，即()4,0B ；将0x =代入到1202
y x =-=得2y =-，即()0,2C -。

因()4,0B 、()0,2C -两点在抛物线232
y ax x c =-+上，所以有： 01662a c c =-+⎧⎨-=⎩，解得122
a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，213222y x x =-- ⑵证明：方法一、解方程2132022
x x --=得121,4x x =-=，则()1,0A -，AO=1，BO=4，CO=2。

∴2C O A O B O =⨯。

∵ ∠AOC=∠COB ＝90︒，∴ △AOC ∽△COB ，∴ ∠ACO=∠OBC 。

又∵∠COB ＝90︒，∴ ∠OCB+∠CBO ＝90︒，∴ ∠OCB+∠ACO ＝90︒，即∠ACO ＝90︒。

故△ABC 为直角三角形。

方法二：由()1,0A -、(
)4,0B 、()
0,2C -三点坐标可求出5,AB AC BC ===222AB AC
BC =+，所以∠ACE ＝90︒。

故△ABC 为直角三角形。

⑶如下图示：
图（1） 图2
①当DG ∥AB 时，设,DG x DE y ==，则△CDG ∽△CAB ，25,2CO AB CH DG y x ==-，得 1025x y -=，()DEFG 1025
x x S -=矩形。

由二次函数的性质可知：当52x =时，52Max S =。

②G 与C 重合时，DE ∥CB ，设,D C x D E y ==
，则△BEF ∽△BCA ，
BF EF CB AC ==
，x =
，()DEFG 2y y S =矩形。

由二次函数的性质
可知：当y =52
Max S =。

综上所述，能截出面积最大的矩形DEFG ，其最大面积是52。

【点评】1、利用待定系数法确定二次函数的解析式；2、运用相似三角形的判定或勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形；3、运用相似三角形的性质“相似三角形对应边上的高线之比等于相似比找出矩形相邻两边之间的关系，构造二次函数，确定出函数的最大值。