高中数学选修1-1优质学案：1.4.1 全称量词-1.4.2 存在量词

1.4.1 全称量词
1.4.2存在量词
[学习目标] 1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性.
知识点一全称量词和全称命题
(1)全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.
(2)全称命题：含有全称量词的命题叫做全称命题.全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”.
知识点二存在量词和特称命题
(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.
(2)特称命题：含有存在量词的命题叫做特称命题.特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)，读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”.
思考(1)在全称命题和特称命题中，量词是否可以省略？
(2)全称命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？
[答案](1)在特称命题中，量词不可以省略；在有些全称命题中，量词可以省略.
(2)元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“∀x∈N，x≥0”.
题型一全称量词与全称命题
例1试判断下列全称命题的真假：
(1)∀x∈R，x2＋2>0；
(2)∀x∈N，x4≥1；
(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.
解 (1)由于∀x ∈R ，都有x 2≥0，因而有x 2＋2≥2>0，即x 2＋2>0，所以命题“∀x ∈R ，x 2＋2>0”是真命题.
(2)由于0∈N ，当x ＝0时，x 4≥1不成立，所以命题“∀x ∈N ，x 4≥1”是假命题.
(3)由于∀α∈R ，sin 2α＋cos 2α＝1成立.所以命题“对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1”是真命题.
反思与感悟 判定全称命题的真假的方法：(1)定义法，对给定的集合的每一个元素x ，p (x )都为真；(2)代入法，在给定的集合内找出一个x 0，使p (x 0)为假，则全称命题为假. 跟踪训练1 试判断下列全称命题的真假：
(1)∀x ∈R ，x 2＋1≥2；
(2)任何一条直线都有斜率；
(3)每个指数函数都是单调函数.
解 (1)由于∀x ∈R ，都有x 2≥0，
因而有x 2＋1≥1，所以“∀x ∈R ，x 2＋1≥2”是假命题.
(2)当直线的倾斜角为π2
时，斜率不存在，所以“任何一条直线都有斜率”是假命题. (3)无论底数a ＞1或是0<a <1，指数函数都是单调函数，所以“每个指数函数都是单调函数”是真命题.
题型二 存在量词与特称命题
例2 判断下列特称命题的真假：
(1)∃x 0∈Z ，x 30<1；
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
(3)有一个实数α，tan α无意义；
(4)∃x 0∈R ，cos x 0＝π2
. 解 (1)∵－1∈Z ，且(－1)3＝－1<1，
∴“∃x 0∈Z ，x 30<1”是真命题.
(2)真命题，如梯形.
(3)真命题，当α＝π2
时，tan α无意义.
(4)∵当x ∈R 时，cos x ∈[－1,1]，而π2
>1， ∴不存在x 0∈R ，使cos x 0＝π2
， ∴“∃x 0∈R ，cos x 0＝π2
”是假命题. 反思与感悟 判定特称命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x ，使命题p (x )为真，否则命题为假.
跟踪训练2 试判断下列特称命题的真假：
(1)∃x 0∈Q ，x 20
＝3； (2)∃x 0，y 0为正实数，使x 20＋y 20＝0；
(3)∃x 0∈R ，tan x 0＝1；
(4)∃x 0∈R ，lg x 0＝0.
解 (1)由于使x 20＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，
所以命题“∃x 0∈Q ，x 20＝3”为假命题.
(2)因为x 0>0，y 0>0，所以x 20＋y 20>0，所以“∃x 0，y 0为正实数，使x 20＋y 20＝0”为假命题.
(3)当x 0＝π4时，tan π4
＝1，所以“∃x 0∈R ，tan x 0＝1”为真命题. (4)当x 0＝1时，lg1＝0，所以“∃x 0∈R ，lg x 0＝0”为真命题.
题型三 全称命题、特称命题的应用
例3 (1)若命题p ：存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0，求实数a 的取值范围；
(2)若不等式(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.
解 (1)由ax 20＋2x 0＋a <0，得a (x 20＋1)<－2x 0，
∵x 20＋1>0，∴a <－2x 0x 20＋1＝－2x 0＋1x 0
， 当x 0>0时，x 0＋1x 0≥2，∴－2x 0＋1x 0
≥－1， 当x 0<0时，x 0＋1x 0
≤－2，∴－2x 0＋1x 0≤1，
∴－2x 0＋1x 0
的最大值为1. 又∵∃x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0成立，
∴只要a <1，∴a 的取值范围是(－∞，1).
(2)①当m ＋1＝0即m ＝－1时，2x －6<0不恒成立.
②当m ＋1≠0，则
⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1<0，Δ<0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m <－1，
Δ＝(m －1)2－4(m ＋1)·
3(m －1)<0， ⇒⎩
⎪⎨⎪⎧ m <－1，m <－1311或m >1，综上，m <－1311. 反思与感悟 有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用，注意二者的区别.
跟踪训练3 (1)已知关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，求实数a 的取值范围；
(2)若命题p ：1－sin2x ＝sin x －cos x 是真命题，求实数x 的取值范围.
解 (1)关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，
解得a ≥74，∴实数a 的取值范围为[74
，＋∞). (2)由
1－sin2x ＝sin x －cos x ， 得
sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ＝sin x －cos x ， ∴(sin x －cos x )2＝sin x －cos x ，
即|sin x －cos x |＝sin x －cos x ，
∴sin x ≥cos x .
结合三角函数图象得，2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4
(k ∈Z )，此即为所求x 的取值范围. 即p ：∀x ∈[2k π＋π4，2k π＋5π4
](k ∈Z )，有1－sin2x ＝sin x －cos x 是真命题.
化归思想的应用
例4对任意x∈[－1,2]，有4x－2x＋1＋2－a<0恒成立，求实数a的取值范围.
分析通过换元，可转化为一元二次不等式的恒成立问题，通过分离参数，又可将恒成立问题转化为求最值的问题.
解原不等式化为22x－2·2x＋2－a<0，①
，4]，
令t＝2x，因为x∈[－1,2]，所以t∈[1
2
则不等式①化为t2－2t＋2－a<0，即a>t2－2t＋2.
，4]，a>t2－2t＋2恒成立，
所以原命题等价于∀t∈[1
2
令y＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1，
，4]时，y max＝10，所以只需a>10即可.
因为当t∈[1
2
故实数a的取值范围是(10，＋∞).
解后反思在本题的解答过程中，用到了两次化归思想，在第一次通过换元，化归为一元二次不等式恒成立时，要特别注意新元的取值范围.
1.下列命题中全称命题的个数是()
①任意一个自然数都是正整数；
②有的等差数列也是等比数列；
③三角形的内角和是180°.
A.0B.1C.2D.3
[答案] C
[解析] ①③是全称命题.
2.下列命题中，不是全称命题的是( )
A.任何一个实数乘以0都等于0
B.自然数都是正整数
C.每一个向量都有大小
D.一定存在没有最大值的二次函数
[答案] D
[解析] D 选项是特称命题.
3.下列特称命题是假命题的是( )
A.存在x ∈Q ，使2x －x 3＝0
B.存在x ∈R ，使x 2＋x ＋1＝0
C.有的素数是偶数
D.有的有理数没有倒数
[答案] B
[解析] 对于任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34
>0恒成立. 4.下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( )
A.存在一个α0，使tan(90°－α0)＝tan α0
B.存在实数x 0，使sin x 0＝π2
C.对一切α，sin(180°－α)＝sin α
D.对一切α，β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
[答案] A
[解析] 含有存在量词的命题只有A ，B ，
而sin x 0≤1，所以sin x 0＝π2
不成立，故选A. 5.已知命题p ：∃x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0，命题q ：∀x ∈(0，π2
)，cos x <1，则下列命题为真命题的是( )
A.p ∧q
B.p ∨(綈q )
C.(綈p)∧q
D.p∧(綈q)
[答案] C
[解析]当x0<0时，2x0<3x0不成立，
∴p为假命题，綈p为真命题，
而x∈(0，π
2)时，cos x<1成立，∴q为真命题.
1.判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.
2.要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题.
3.要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题.。