高三数学易错立体几何多选题 易错题难题测试基础卷试卷

高三数学易错立体几何多选题 易错题难题测试基础卷试卷
一、立体几何多选题
1．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC AA ===，90ACB ∠=︒，D ，E ，F
分别为AC ，1AA ，AB 的中点．则下列结论正确的是（ ）
A ．1AC 与EF 相交
B ．11//B
C 平面DEF C ．EF 与1AC 所成的角为90︒
D ．点1B 到平面DEF 的距离为
32
2
【答案】BCD 【分析】
利用异面直线的位置关系，线面平行的判定方法，利用空间直角坐标系异面直线所成角和点到面的距离，对各个选项逐一判断． 【详解】
对选项A ，由图知1AC ⊂平面11ACC A ，EF 平面11ACC A E =，且1.E AC ∉由异面直
线的定义可知1AC 与EF 异面，故A 错误；
对于选项B ，在直三棱柱111ABC A B C -中，11B C //BC ．
D ，F 分别是AC ，AB 的中点， //∴FD BC ，11B C ∴ //FD ．
又
11B C ⊄平面DEF ，DF ⊂平面DEF ，
11B C ∴ //平面.DEF 故B 正确；
对于选项C ，由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
则(0C ，
0，0)，(2A ，0，0)，(0B ，2，0)，1(2A ，0，2)，1(0B ，2，2)，1(0C ，0，2)，(1D ，0，0)，(2E ，0，1)，(1F ，1，0)．
(1EF ∴=-，
1，1)-，1(2AC =-，0，2)． 1·2020EF AC =+-=，1EF AC ∴⊥，1EF AC ∴⊥． EF 与1AC 所成的角为90︒，故C 正确；
对于选项D ，设向量(n x =，y ，)z 是平面DEF 的一个法向量． (1DE =，
0，1)，(0DF =，1，0)， ∴由n DE n DF ⎧⊥⎨
⊥⎩，
，
，即·0·
0n DE n DF ⎧=⎨
=⎩，
，，得00.
x z y +=⎧⎨
=⎩，
取1x =，则1z =-，(1
n ∴=，0，1)-， 设点1B 到平面DEF 的距离为d ． 又
1(1DB =-，
2，2)，
1·102
DB n d n
-+
∴=
=
=
， ∴点1B 到平面DEF 的距离为2
，故D 正确．
故选：BCD 【点睛】
本题主要考查异面直线的位置关系，线面平行的判定，异面直线所成角以及点到面的距离，还考查思维能力及综合分析能力，属难题．
2．
在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为底面
ABCD 内（含边界）一点．（ ） A ．若1A P P 点有且只有一个 B ．若1A
P ，则点P 的轨迹是一段圆弧 C ．若1
//A P 平面11B D C ，则1A P
D ．若1A P 且1//A P 平面11B D C ，则平面11A PC 截正方体外接球所得截面的面积为
23
π 【答案】ABD 【分析】
选项A ，B 可利用球的截面小圆的半径来判断；由平面1//A BD 平面11B D C ，知满足1//A P 平面11B D C 的点P 在BD 上，1A P 长的最大值为2；结合以上条件点P 与B 或D 重合，利用12sin 60A P r =︒，求出6
3
r =，进而求出面积. 【详解】
对A 选项，如下图：由13A P =，知点P 在以1A 为球心，半径为3的球上，又因为P 在底面ABCD 内（含边界），底面截球可得一个小圆，由1A A ⊥底面ABCD ，知点P 的轨迹是在底面上以A 为圆心的小圆圆弧，半径为22112r A P A A =-=，则只有唯一一点C
满足，故A 正确；
对B 选项，同理可得点P 在以A 为圆心，半径为22111r A P A A =
-=的小圆圆弧上，在
底面ABCD 内（含边界）中，可得点P 轨迹为四分之一圆弧BD .故B 正确；
对C 选项，移动点P 可得两相交的动直线与平面11B D C 平行，则点P 必在过1A 且与平面
11B D C 平行的平面内，由平面1//A BD 平面11B D C ，知满足1//A P 平面11B D C 的点P 在BD
上，则1A P 长的最大值为12A B C 不正确； 对选项D ，由以上推理可知，点P 既在以A 为圆心，半径为1的小圆圆弧上，又在线段BD 上，即与B 或D 重合，不妨取点B ，则平面11A PC 截正方体外接球所得截面为11A BC 的
外接圆，利用2126622,,sin 603
A B r r S r π
π=
=∴=∴==
︒.故D 正确.
故选：ABD 【点睛】
（1）平面截球所得截面为圆面，且满足222=R r d +（其中R 为球半径，r 为小圆半径，
d 为球心到小圆距离）；
（2）过定点A 的动直线平行一平面α，则这些动直线都在过A 且与α平行的平面内.
3．在直角梯形ABCD 中，2
ABC BCD π
∠=∠=
，1AB BC ==，2DC =，E 为DC 中
点，现将ADE 沿AE 折起，得到一个四棱锥D ABCE -，则下列命题正确的有（ ） A ．在ADE 沿AE 折起的过程中，四棱锥D ABCE -体积的最大值为1
3
B ．在ADE 沿AE 折起的过程中，异面直线AD 与B
C 所成的角恒为
4
π C ．在ADE 沿AE 折起的过程中，二面角A EC D --的大小为45︒
D ．在四棱锥D ABC
E -中，当D 在EC 上的射影恰好为EC 的中点
F 时，DB 与平面ABCE
所成的角的正切为155
【答案】ABD 【分析】
对于A ，四棱锥D ABCE -的底面面积是固定值，要使得体积最大，需要平面DAE ⊥平面ABCE ，此时DE CE ⊥，可求得11
33
D ABC
E ABCE V S DE -=
⋅=可判断A ；对于B ，在ADE 沿AE 折起的过程中，//AE BC ，所以异面直线AD 与AE 所成的角即为AD 与BC
所成角，由翻折前可知4
DAE π
∠=
可判断B ；对于C ，利用线面垂直的判定定理，结合翻折前可知AE ⊥平面DEC ，又AE ⊂平面ABCE ，所以平面DEC ⊥平面ABCE ，即二面角A EC D --的在大小为
2
π
判断C ；对于D ，利用线面垂直的判定定理可知DF ⊥平面ABCE ，所以DBF ∠为直线DB 与平面ABCE 所成的角，在直角DFB △中，
15
tan
DF DBF BF ∠=
=，可判断D 正确；
【详解】
对于A ，ADE 沿AE 折起得到四棱锥D ABCE -，由四棱锥底面面积是固定值，要使得体积最大，需要四棱锥的高最大，即平面DAE ⊥平面ABCE ，此时DE CE ⊥，由已知
得1DE =，则111
111333
D ABC
E ABCE V S DE -=
⋅=⨯⨯⨯=，故A 正确； 对于B ，在ADE 沿AE 折起的过程中，//AE BC ，所以异面直线AD 与AE 所成的角即
为AD 与BC 所成角，又1AB BC ==，2DC =，E 为DC 中点，可知4
DAE π
∠=
，即异面直线AD 与BC 所成的角恒为
4
π
，故B 正确； 对于C ，由翻折前知，,AE EC AE ED ⊥⊥，且EC
ED E =，则AE ⊥平面DEC ，
又AE ⊂平面ABCE ，所以平面DEC ⊥平面ABCE ，即二面角A EC D --的大小为
2
π
，故C 错误； 对于D ，如图连接,DF BF ，由C 选项知，AE ⊥平面DEC ，又DF ⊂平面DEC ，则
AE DF ⊥，又由已知得EC DF ⊥，且EC AE E ⋂=，则DF ⊥平面ABCE ，所以
DBF ∠为直线DB 与平面ABCE 所成的角，在直角DFB △中，
2
2
2222
113
12215
2tan 5511122DE CE DF
DBF BF
BC CE ⎛⎫⎛⎫
-- ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
∠=
====⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以DB 与平面ABCE 15
D 正确； 故选：ABD 【点睛】
关键点睛：本题考查立体几何综合问题，求体积，求线线角，线面角，面面角，解题的关键要熟悉几种角的定义，通过平移法找到线线角，通过证垂直找到线面角和面面角，再结
合三角形求出角，考查了学生的逻辑推理能力，转化能力与运算求解能力，属于难题.
4．如图，矩形ABCD 中， 22AB AD ==，E 为边AB 的中点.将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △（点1A 不落在底面BCDE 内），若M 在线段1A C 上（点M 与1A ，C 不重合），则在ADE 翻转过程中，以下命题正确的是（ ）
A ．存在某个位置，使1DE A C ⊥
B ．存在点M ，使得BM ⊥平面1A D
C 成立 C ．存在点M ，使得//MB 平面1A DE 成立
D ．四棱锥1A BCD
E -体积最大值为2
4
【答案】CD 【分析】
利用反证法可得A 、B 错误，取M 为1A C 的中点，取1A D 的中点为I ，连接,MI IE ，可证明//MB 平面1A DE ，当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -体积最大值，利用公式可求得此时体积为24
. 【详解】
如图（1），取DE 的中点为F ，连接1,A F CF ， 则45CDF ∠=︒，22DF =
，故212254222222
CF =+-⨯⨯=， 故222DC DF CF ≠+即2
CFD π
∠≠
．
若1CA DE ⊥，因为11,A D A E DF FE ==，故1A F DE ⊥，而111A F A C A ⋂=， 故DE ⊥平面1A FC ，因为CF ⊂平面1A FC ，故DE CF ⊥，矛盾，故A 错． 若BM ⊥平面1A DC ，因为DC ⊂平面1A DC ，故BM DC ⊥， 因为DC CB ⊥，BM CB B ⋂=，故CD ⊥平面1A CB ，
因为1
AC ⊂平面1A CB ，故1CD A C ⊥，但1A D CD <，矛盾，故B 错． 当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -体积最大值， 由前述证明可知1A F DE ⊥，而平面1A DE
平面BCDE DE =，
1A F ⊂平面1A DE ，故1A F ⊥平面BCDE ，
因为1A DE △为等腰直角三角形，111A D A E ==，故12
2
A F =， 又四边形BCDE 的面积为13211122
⨯-⨯⨯=， 故此时体积为1322
3224
⨯
⨯=
D 正确． 对于C ，如图（2），取M 为1A C 的中点，取1A D 的中点为I ，连接,MI I
E ，
则1//,2IM CD IM CD =
，而1
//,2
BE CD BE CD =， 故//,IM BE IM BE =即四边形IEBM 为平行四边形，
故//IE BM ，因为IE ⊂平面1A DE ，BM ⊄平面1A DE ，故//MB 平面1A DE ， 故C 正确．
故选：CD.
【点睛】
本题考查立体几何中的折叠问题，注意对于折叠后点线面的位置的判断，若命题的不成立，往往需要利用反证法来处理，本题属于难题.
-，平面PAD⊥平面ABCD，侧面PAD是边长为26的正三5．如图四棱锥P ABCD
CD=，点Q是PD的中点，则下列结论正确的是（）角形，底面ABCD为矩形，23
A．CQ⊥平面PAD
22
B．PC与平面AQC
-的体积为62
C．三棱锥B ACQ
-外接球的内接正四面体的表面积为3
D．四棱锥Q ABCD
【答案】BD
【分析】
OE OP，则由已知可得OP⊥平面ABCD，而底取AD的中点O，BC的中点E，连接,
OD OE OP所在的直线为x轴，y
面ABCD为矩形，所以以O为坐标原点，分别以,,
轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量依次求解即可.
【详解】
OE OP，
解：取AD的中点O，BC的中点E，连接,
⊥,
因为三角形PAD为等边三角形，所以OP AD
因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面 ABCD ， 因为AD OE ⊥，所以,,OD OE OP 两两垂直，
所以，如下图，以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴，
建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(O D A ，
(P C B ，
因为点Q 是PD
的中点，所以)2
Q ， 平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，
6(
22
QC =-，显然 m 与QC 不共线， 所以CQ 与平面PAD 不垂直，所以A 不正确；
3632
(6,23,32),(
,0,),(26,22
PC AQ AC =-=
=， 设平面AQC 的法向量为(,,)
n x y z =，则
3602260n AQ x z n
AC ⎧
⋅=
+=⎪⎨
⎪⋅=+=⎩
，
令=1x ，则y z ==， 所以(1,2,n =-， 设PC 与平面AQC 所成角为θ，
则21
sin 3
6n PC n PC
θ⋅=
=
=， 所以cos θ=
，所以B 正确； 三棱锥
B ACQ -的体积为
1
132
B
ACQ Q ABC ABC
V V S
OP --==⋅ 1
11
6322=⨯⨯⨯
=， 所以C
不正确；
设四棱锥Q ABCD -
外接球的球心为
)M a ，则MQ MD
=，
所以2
2
2
2
2
22a a
⎛⎫
+
+-=++ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，
解得0a =，即M 为矩形ABCD 对角线的交点，
所以四棱锥Q ABCD -外接球的半径为3，
设四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的棱长为x ， 将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，
故正方体的棱长为2x ，所以2
2
2362x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，得224x =， 所以正四面体的表面积为2
34243x ⨯=，所以D 正确. 故选：BD
【点睛】
此题考查线面垂直，线面角，棱锥的体积，棱锥的外接球等知识，综合性强，考查了计算能力，属于较难题.
6．如图，已知矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成1A DE ∆，若M 为线段1A C 的中点，则ADE ∆在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A ．线段BM 的长是定值
B ．存在某个位置，使1DE A
C ⊥ C ．点M 的运动轨迹是一个圆
D ．存在某个位置，使MB ⊥平面1A D
E 【答案】AC 【分析】
取CD 中点F ，连接BF ，MF ，根据面面平行的判定定理可得平面//BMF 平面
1A DE ，由面面平行的性质定理可知//BM 平面1A DE ，可判断D ；在BFM ∆中，利用余弦定理可求得BM a =为定值，可判断A 和C ；假设1DE A C ⊥，由线面垂直的判定定理可得DE ⊥平面1A CE ，由线面垂直的性质定理可知1DE A E ⊥，与11DA A E ⊥矛盾，可判断B ．
【详解】
解：取CD 的中点F ，连接BF ，MF ，
∵M ，F 分别为1A C 、CD 中点，
∴1MF A D ∥，
∵1A D ⊂平面1A DE ，MF ⊄平面1A DE ，
∴MF 平面1A DE ，
∵DF BE ∥且DF BE =，
∴四边形BEDF 为平行四边形，
∴BF DE ，
∵DE ⊂平面1A DE ，BF ⊄平面1A DE ，
∴BF ∥平面1A DE ，
又BF MF F =，BF 、MF ⊂平面BMF ，
∴平面//BMF 平面1A DE ，
∵BM ⊂平面BMF ，
∴BM ∥平面1A DE ，即D 错误，
设22AB AD a ==， 则112MF A D a =
=，2BF DE a ==，145A DE MFB ︒∠=∠=， ∴222cos45BM MF BF MF BF a ︒=+-⋅⋅=，
即BM 为定值，所以A 正确，
∴点M 的轨迹是以B 为圆心，a 为半径的圆，即C 正确， ∵2DE CE a ==
，2CD AB a ==， ∴222DE CE CD +=， ∴DE CE ⊥，
设1DE A C ⊥，
∵1A C 、CE ⊂平面1A CE ，1AC CE C =，
∴DE ⊥平面1A CE ，
∵1A E ⊂平面1A CE ，
∴1DE A E ⊥，与11DA A E ⊥矛盾，
所以假设不成立，即B 错误.
故选:AC .
【点睛】
本题考查立体几何中的翻折问题，涉及到线段长度的求解、直线与平面位置关系的判定、点的轨迹的求解、反证法的应用等知识点，考查学生的空间立体感和推理论证能力．
7．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM 沿直线AM 翻折成1AB M ，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ）
A ．存在某个位置，使得CN A
B ⊥
B ．翻折过程中，CN 的长是定值
C ．若AB BM =，则1AM B
D ⊥
D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π
【答案】BD
【分析】
对于选项A ，取AD 中点E ，取1AB 中点K ，连结KN ，BK ，通过假设CN AB ⊥，推出AB ⊥平面BCNK ，得到AB BK ⊥，则22AK AB BK AB =+>，即可判断； 对于选项B ，在判断A 的图基础上，连结EC 交MD 于点F ，连结NF ，易得
1NEC MAB ∠=∠，由余弦定理，求得CN 为定值即可；
对于选项C ，取AM 中点O ，1B O ，DO ，由线面平行的性质定理导出矛盾，即可判断； 对于选项D ，易知当平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥1B AMD -的体积最大，说明此时AD 中点E 为外接球球心即可.
【详解】
如图1，取AD 中点E ，取1AB 中点K ，连结EC 交MD 于点F ，连结NF ，KN ，BK ,
则易知1//NE AB ，1//NF B M ，//EF AM ，//KN AD ，112NE AB =，EC AM = 由翻折可知，1MAB MAB ∠=∠，1AB AB =， 对于选项A ，易得//KN BC ，则K 、N 、C 、B 四点共面，由题可知AB BC ⊥，若CN AB ⊥，可得AB ⊥平面BCNK ，故AB BK ⊥，则22AK AB BK AB =+>，不可能，故A 错误；
对于选项B ，易得1NEC MAB ∠=∠，
在NEC 中，由余弦定理得222cos CN CE NE NE CE NEC =+-⋅⋅∠，
整理得2
22212422
AB AB AB CN AM AM BC AB AM =+-⋅⋅=+， 故CN 为定值，故B 正确；
如图2，取AD 中点E ，取AM 中点O ，连结1B E ，OE ，1B O ，DO ，，
对于选项C ，由AB BM =得1B O AM ⊥，若1AM B D ⊥，易得AM ⊥平面1B OD ，故有AM OD ⊥，从而AD MD =，显然不可能，故C 错误；
对于选项D ，由题易知当平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥B 1﹣AMD 的体积最大，此时1B O ⊥平面AMD ，则1B O OE ⊥，由1AB BM ==，易求得122
BO =，
2DM =，故22
2211221
22B E OB OE ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，因此1EB EA ED EM ===，E 为三棱锥1B AMD -的外接球球心，此外接球半径为1，表面积为4π，故D 正确.
故选：BD.
【点睛】
本题主要考查了立体几何中的翻折问题以及空间图形的位置关系，考查了空间想象能力，属于较难题.
8．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则（ ）
A ．直线BD 1⊥平面A 1C 1D
B ．三棱锥P ﹣A 1
C 1
D 的体积为定值
C ．异面直线AP 与A 1
D 所成角的取值范用是[45°，90°]
D ．直线C 1P 与平面A 1C 1D 6 【答案】ABD
【分析】
在A 中，推导出A 1C 1⊥BD 1，DC 1⊥BD 1，从而直线BD 1⊥平面A 1C 1D ；在B 中，由B 1C ∥平面 A 1C 1D ，得到P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，再由△A 1C 1D 的面积是定值，从而三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值；在C 中，异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°，90°]；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线C 1P 与平面A 1C 1D 6． 【详解】
解：在A 中，∵A 1C 1⊥B 1D 1，A 1C 1⊥BB 1，B 1D 1∩BB 1＝B 1，
∴A 1C 1⊥平面BB 1D 1，∴A 1C 1⊥BD 1，同理，DC 1⊥BD 1，
∵A 1C 1∩DC 1＝C 1，∴直线BD 1⊥平面A 1C 1D ，故A 正确；
在B 中，∵A 1D ∥B 1C ，A 1D ⊂平面A 1C 1D ，B 1C ⊄平面A 1C 1D ，
∴B 1C ∥平面 A 1C 1D ，
∵点P 在线段B 1C 上运动，∴P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，
又△A 1C 1D 的面积是定值，∴三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值，故B 正确；
在C 中，异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°，90°]，故C 错误；
在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1，P （a ，1，a ），
则D （0，0，0），A 1（1，0，1），C 1（0，1，1），1DA ＝（1，0，1），1DC ＝（0，1，1），1C P ＝（a ，0，a ﹣1），
设平面A 1C 1D 的法向量(),,n x y z =，
则1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取x ＝1，得1,1,1n ，
∴直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为： 11||
||||C P n C P n ⋅⋅＝22(1)3a a +-⋅＝21132()22
a ⋅-+， ∴当a ＝12时，直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为6，故D 正确． 故选：ABD ．
【点睛】
求直线与平面所成的角的一般步骤：
（1）、①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解；
（2）、用空间向量坐标公式求解.。