类比、归纳、联想与直觉在解题中的应用

课程小论文：
构造相关例题对自选的3种数学方法的应用予以说明。

类比、归纳、联想与直觉在解题中的应用
摘要 本文将从具体的数学方法——类比、归纳、联想与直觉出发，通过构造相关例题，分析说明这三种数学方法在初等数学解题中的应用，注重培养发展学生的推理能力。

关键词 类比；归纳；联想与直觉
1、引言
数学方法论是研究数学的发展规律，数学思想、方法、原则以及数学中的发现、发明与创新法则的学科。

其中数学思想方法是数学方法论其中一个非常重要的研究对象。

在《义务教育数学课程标准（2011版）》提到：在数学课程中，应当注重发展学生的推理能力。

其中推理一般包括演绎推理和合情推理，而合情推理就包含类比、归纳、联想与直觉等方法。

本文将从类比、归纳、联想与直觉的具体方法出发，通过构造相关例题，分析说明这三种数学方法在初等数学解题中的应用。

2、类比法在初等数学解题中的应用
类比——根据两个不同对象的某些方面（如特征、属性、关系等）的相同或相似，推出它们在其他方面也可能相同或相同的思维形式。

它是以比较为基础的一种从特殊到特殊的推理方法.
类比法是由此及彼以及由彼及此的联想方法，著名数学教育家波利亚指出“类比是一个伟大的引路人”，类比具有启迪思维、提供线索、举一反三的作用，对发展思维特别是创造性思维十分有利。

同时，类比法是系统掌握新知识、巩固旧知识，使新旧知识融会贯通的有效方法。

在数学解题过程中，当我们的思维遇到障碍时，运用类比推理，往往能实现知识的正迁移，将已学过的知识或已掌握的解题方法迁移过来。

2.1 解（证）题方法上的类比
例2.1 若2()4()()0c a a b b c ----=，且a b c ≠≠。

求证：2b a c =+（即,,a b c
成等差数列）
分析：观察已知等式，类比联想到一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系，从而可以构造一元二次方程进行求证。

证：构造 2()()()0a b x c a x b c -+-+-=，容易知道1x =是方程的一个解。

由已知可得：2()4()()0c a a b b c ∆=----=。

因此，方程有两个相等的实根，121x x ==。

由韦达定理可知：121b c x x a b
-==-，整理即2b a c =+。

2.2 数与形的类比
在数学研究中，数与形的类比经常在相反的方向上得到应用。

即通过与“形”的比较去推测“数”的有关性质，又通过与“数”的比较去推测“形”的有关性质。

例2.2 已知x 为实数，求代数式22416(8)x x +++-的最小值。

分析：观察比较这个式子，联想到勾股定理，可以把24x +看成是两直角边为2,x 的直角三角形的斜边；同理216(8)x +-可看成是两直角边为4,8x -的直角三角形的斜边，从而可以构造这样的图形（如图1）
图 1
从图中可以知道，问题转化为求A E 、两点间的直线距离。

除了以上两种方法，类比方法在解题中还有非常多的应用，在解题过程中应有意识地培养学生类比猜想的思想方法。

3、归纳法在初等数学解题中的应用
归纳是一种由特殊到一般的思维过程，即通过对特例的分析来导出普遍的结论，把某类中个别事物所具有的的规律作为该类事物的普遍规律。

从推理角度看，归纳分为完全归纳法和不完全归纳法，而其中的不完全归纳法属于合情推理的一种，是一种数学发现的方法，这与类比法一样，都可能由此思维形式导出数学猜想。

现主要举例不完全归纳法在解选择题与填空题中独到的应用。

3.1 利用不完全归纳法解选择题
例 3.1 已知数列{}n a 满足 11(n 2)n n n a a a +-=-≥， 12,a a a b ==,记
12n n S a a a =+++ ，则下列结论正确的是（ ）。

100100A ,2a a S b a =-=- 100100 ,2B a b S b a =-=-
100100 ,C a b S b a =-=- 100100 ,D a a S b a =-=-
解：3213123, 2a a a b a S a a a b =-=-=++=。

432434, 2a a a a S S a b a =-=-=+=-。

543545, a a a b S S a b a =-=-=+=-。

654656, 0a a a a b S S a =-=-=+=。

765767, a a a a S S a a =-==+=。

通过观察、分析，知,n n a S 都是以6为周期，所以由不完全归纳法，得
1006164410061644; S 2a a a a S S b a ⨯+⨯+===-===-。

因此本题选择A.
3.2 利用不完全归纳法解填空题
例3.2 已知113, 1(1,2,)n n n a a a a n +=-== ，n A 表示数列{}n a 的前n 项之积，则2002A = 。

解：由1121a a a -=，得223a =
；由2231a a a -=，得312
a =-； 由3341a a a -=，得43a =；由4451a a a -=，得523a = 通过观察、分析，容易知道n a 是以3为周期的。

所以由不完全归纳法可以知道： 1231a a a ⨯⨯=-，200213a a ==；66766720021232002()(1)33A a a a a =⨯⨯⨯=-⨯=-。

因此答案为-3.
4.联想与直觉在初等数学解题中的应用
联想——是一种自觉的、有目的的思维活动，是由当前感知或思考的事物，想起有关的另一种事物，或由此再想象其他事物的心理活动。

而数学联想是以观察为基础，根据所研究的对象或问题的特点，联系已有的知识、技能、经验进行想象的思维方法，它是类比、模拟、归纳、猜想等合情推理的基础，同时，它在形象思维、抽象思维等心理活动中发挥一定的作用。

人们通常理解的直觉是大脑不经过演绎、不经过推理就能够立即感知的事实；数学直觉是人脑对数学对象的某种直接的领悟和洞察，这是一种非逻辑的思维，是一种下意识（潜意识）活动参与的思维。

联想与直觉有利于寻找解题的思路，有利于突破解题的难点，提升数学解题思维层次的阶梯等等。

以下具体以两个例子来说明。

例4.1 求函数13y x x =-+-的最小值。

分析：这是一道求含有绝对值的函数最值问题。

看到这种题型，对绝对值比较敏感的同学就会联想到与数轴有关，并且利用数形结合的思想将问题直观化。

因此马上就可以得出函数13y x x =-+-的几何意义：设(1,0),(3,0),(,0)A B P x 为数轴上的三个实数点，则函数13y x x =-+-就是动点P 与两个定点,A B 之间的距离之和，而最小值则是动点P 与两个定点,A B 之间的距离之和的最小值。

我们又知道当且仅当点P 在线段AB 上时，函数取得最小值min 2y =。

例4.2 （1） 设函数1()22x f x =
+，求(5)(4)(0)(5)(6)f f f f f
-+-++++ 的值为 。

（2）已知函数2
2()1x f x x =+，那么111(1)(2)(3)(4)()()()432f f f f f f f ++++++的值为 。

分析：两小题都是求函数值的和，可以联想到数列求和的问题。

观察各函数值中自变量的特点，联想等差数列求和的方法是12132n n n a a a a a a --+=+=+= ；于
是对于第（1）小题，可以采用求(5)(6)(4)(5)(0)(1)f f f f f f -+-++ 、、
、，自变量有564501-+=-+==+ 。

因此可以考虑一般情形：
11112221()(1)2222222222(22)2
f f λλλλλλλλλ-++-=+=+==+++++ ； 因此，原式的函数值的和为16322
⨯=。

而对于第（2）小题，同理联想并观察自变量，可以考虑一般情形，并容易得到
1()()1f f λλ+=；从而解得原式的值为1131322
⨯+=。

可见，在解题活动中，各种想法念头的产生，都是依赖于解题者的联想与直觉思维，它提供了解题的方向、方法，并结合类比等方法，一步一步接近正确的解题方法。

5.结语
目前，有教育家指出：加强合情推理的教育将有助于发挥学科的两个功能,并学会发现和发明的方法.合情推理是"发现真理"的思维.因此,波利亚呼吁:"让我们教猜想吧!"我国的理科教学,历来较多强调逻辑推理,而对合情推理有所忽视.再联想到有关团体对中外学生调查结果显示的中国学生科学测验成绩较差的信息,不能不使我们感到加强对合情推理能力的培养已是刻不容缓.因此,"既教
证明,又教猜想",给合情推理能力的教学以适当的地位,是开发学生创造性素质的需要,是全面提高学生优秀文化素质的需要,是全面开发大脑潜力的需要.因此，无论是在小学、中学还是大学的数学教育教学中，在注重逻辑思维能力培养的同时，应该自觉渗透类比、归纳、联想与直觉等数学思想方法，提高学生的合情推理能力，培养他们的创造性和创新思维能力。

参考文献
[1]中华人民共和国教育部.《义务教育数学课程标准（2011版）》[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]郑毓信.《数学方法论》[M].南宁：广西教育出版社，第9版，2008.
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[4]吴亚红.观察归纳在数学解题中的应用[J].宁波教育学院学报，2010（4）
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