招生国统一考试数学理试题精品解析山东卷试题

卜人入州八九几市潮王学校2021年高考卷理数试
题解析〔精编〕
150120分钟.在在考试完毕之后以后，将将本套试卷和答题卡一起交回.
本卷须知：
1.
写在答题卡和试卷规定的位置上.
2.第一卷每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案卸载试卷上无效.
3.第二卷必须用毫米黑色签字笔答题，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来之答案，然后再写上新之答案；不能
使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求答题之答案无效.
4.填空题直接填写上答案，解答题应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.
参考公式：
假设事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+.
第一卷〔一共50分〕
一、 选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合要求的
〔1〕【2021高考，理1】集合{}2430A x x x =-+<，{}24B x x =<<,那么A B =〔〕 〔A 〕〔1，3〕〔B 〕〔1，4〕〔C 〕〔2，3〕〔D 〕〔2，4〕
【答案】C 【解析】因为{}
{}243013A x x x x x =-+<=<<， 所以{}{}{}132423A B x x x x x x =<<<<=<<.
应选：C.
【考点定位】1、一元二次不等式；2、集合的运算.
【名师点睛】此题考察集合的概念与运算，利用解一元二次不等式的解法化简集合并求两集合的交集，此题属根底题，要求学生最根本的算运求解才能.
〔2〕【2021高考，理2】假设复数z 满足1z i i
=-，其中i 为虚数为单位，那么z =〔〕 〔A 〕1i -〔B 〕1i +〔C 〕1i --〔D 〕1i -+
【答案】A
【考点定位】复数的概念与运算.
【名师点睛】此题考察复数的概念和运算，采用复数的乘法和一共轭复数的概念进展化简求解.
此题属于根底题，注意运算的准确性.
〔3〕【2021高考，理3】要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象〔〕 〔A 〕向左平移12π个单位 〔B 〕向右平移
12π
个单位 〔C 〕向左平移3π个单位 〔D 〕向右平移3
π个单位 【答案】B
【考点定位】三角函数的图象变换.
【名师点睛】此题考察了三角函数的图象，重点考察学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况以下列图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.
〔4〕【2021高考，理4】菱形ABCD 的边长为a ，60ABC
∠=,那么BD CD ⋅=〔〕 〔A 〕232a -
〔B 〕234a -〔C 〕234a 〔D 〕232
a 【答案】D
【考点定位】平面向量的线性运算与数量积.
【名师点睛】此题考察了平面向量的根底知识，重点考察学生对平面向量的线性运算和数量积的理解与掌握，属根底题，要注意结合图形的性质，灵敏运用向量的运算解决问题.
〔5〕【2021高考，理5】不等式152x x ---<的解集是〔〕
〔A 〕〔-∞，4〕〔B 〕〔-∞，1〕〔C 〕〔1，4〕〔D 〕〔1，5〕
【答案】A
【考点定位】含绝对值的不等式的解法.
【名师点睛】此题考察了含绝对值的不等式的解法，重点考察学生利用绝对值的意义将含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式〔组〕从而求解的才能，此题属中档题.
〔6〕【2021高考，理6】,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
，假设z ax y =+的最大值为4，那么a =〔〕
〔A 〕3〔B 〕2〔C 〕-2〔D 〕-3
【答案】B
【解析】不等式组020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
在直角坐标系中所表示的平面区域如以下列图中的阴影局部所示，
假设z
ax y =+的最大值为4，那么最优解可能为1,1x y ==或者2,0x y ==，经检验，2,0x y ==是最优解，此时2a =；1,1x y ==不是最优解.应选B.
【考点定位】简单的线性规划问题.
【名师点睛】此题考察了简单的线性规划问题，通过确定参数a 的值，考察学生对线性规划的方法理解的深度以及应用的灵敏性，意在考察学生利用线性规划的知识分析解决问题的才能.
〔7〕【2021高考，理7】在梯形ABCD 中，2ABC π
∠=，//,222AD BC BC AD AB ===.将梯
形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为〔〕
〔A 〕23π〔B 〕43π〔C 〕53π〔D 〕2π
【答案】C
【考点定位】1、空间几何体的构造特征；2、空间几何体的体积.
【名师点睛】此题考察了空间几何体的构造特征及空间几何体的体积的计算，重点考察了圆柱、圆锥的构造特征和体积的计算，表达了对学生空间想象才能以及根本运算才能的考察，此题属中档题.
〔8〕【2021高考，理8】某批零件的长度误差〔单位：毫米〕服从正态分布()20,3N
，从中随机取一件，其长度误差落在区间〔3,6〕内的概率为〔〕
〔附：假设随机变量ξ服从正态分布()2
,N μσ，那么()68.26%P μσξμσ-<<+=， ()2295.44%P μσξμσ-<<+=。

〕
〔A 〕6%〔B 〕19%〔C 〕28%〔D 〕34%
【答案】B
【考点定位】正态分布的概念与正态密度曲线的性质.
【名师点睛】此题考察了正态分布的有关概念与运算，重点考察了正态密度曲线的性质以及如何利用正态密度曲线求概率，意在考察学生对正态分布密度曲线性质的理解及根本的运算才能.
〔9〕【2021高考，理9】一条光线从点
()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，那么反射光线所在直线的斜率为〔〕
〔A 〕53-或者35-〔B 〕32-或者23-〔C 〕54-或者45-〔D 〕43-或者34
- 【答案】D
【考点定位】1、圆的HY 方程；2、直线的方程；3、直线与圆的位置关系.
【名师点睛】此题考察了圆与直线的方程的根底知识，重点考察利用对称性解决直线方程的有关问题以及直线与圆的位置关系的判断，意在考察学生对直线与直线、直线与圆的位置关系的理解与把握以及学生的运算求解才能.
〔10〕【2021高考，理10】设函数()31,1,2,1
x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩那么满足()()()2f a f f a =的a 取值范围是〔〕
〔A 〕2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦〔B 〕[]0,1〔C 〕2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
〔D 〕[)1,+∞ 【答案】C
【考点定位】1、分段函数；2、指数函数.
【名师点睛】此题以分段函数为切入点，深化考察了学生对函数概念的理解与掌握，同时也考察了学生对指数函数性质的理解与运用，浸透着对不等式的考察，是一个多知识点的综合题.
第二卷〔一共100分〕
二、填空题：本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分.
〔11〕【2021高考，理11】观察以下各式：
……
照此规律，当n ∈N 时，
012121212121n n n n n C C C C -----++++=.
【答案】14n -
【考点定位】1、合情推理；2、组合数.
【名师点睛】此题考察了合情推理与组合数，重点考察了学生对归纳推理的理解与运用，意在考察学生观察、分析、归纳、推理判断的才能，关键是能从前三个特殊的等式中观察、归纳、总结出一般的规律，从而得到结论.此题属根底题.
(12)【2021高考，理12】假设“0,,tan 4x x m π⎡⎤∀∈≤⎢⎥⎣⎦
m 的最小值为. 【答案】1
【考点定位】
〔13〕【2021高考，理13】执行右边的程序框图，输出的T 的值是.
【答案】116
所以答案应填：
11.6 【考点定位】1、程序框图；2、定积分.
【名师点睛】此题考察了循环构造与定积分的计算，意在考察学生对程序框图的理解和根本的计算才能，以程序框图为载体，可以展开对数列、函数、不等式、定积分等多种知识点的考察，此题是一个范例.解题中要注意运算的准确性.
(14)【2021高考，理14】函数
()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，那么a b +=. 【答案】32
- 【考点定位】指数函数的性质.
【名师点睛】此题考察了函数的有关概念与性质，重点考察学生对指数函数的性质的理解与应用，利用方程的思想解决参数的取值问题，注意分类讨论思想方法的应用.
〔15〕【2021高考，理15】平面直角坐标系xoy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b
-=>>的渐近线与抛物线()22:20C x py p =>交于点,,O A B ，假设OAB ∆的垂心为2C 的焦点，那么1C 的离心率为. 【答案】32
【考点定位】1、双曲线的HY 方程与几何性质；2、抛物线的HY 方程与几何性质.
【名师点睛】此题考察了双曲线与抛物线的HY 方程与几何性质，意在考察学生对圆锥曲线根本问题的把握以及分析问题解决问题的才能以及根本的运算求解才能，三角形的垂心的概念以及两直线垂直的条件是打破此题的关键.
三、解答题：本答题一共6小题，一共75分.
〔16〕〔本小题总分值是12分〕
【2021高考，理16】设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭. 〔Ⅰ〕求()f x 的单调区间；
〔Ⅱ〕在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,假设0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭
,求ABC ∆面积的最大值. 【答案】〔I 〕单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦
； 单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦
〔II 〕ABC ∆ 【考点定位】1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、根本不等式.
【名师点睛】此题考察了三角函数的诱导公式、二倍角公式与解三角形的根本知识和根本不等式，意在考察学生综合利用所学知识分析解决问题的才能，余弦定理结合根本不等式解决三角形的面积问题是一种成熟的思路.
(17)(本小题总分值是12分)
【2021高考，理17】如图，在三棱DEF
ABC -，2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点. 〔Ⅰ〕求证：//BD 平面FGH ；
〔Ⅱ〕假设CF
⊥平面ABC ，,AB BC CF DE ⊥=，45BAC ∠=,求平面FGH 与平面ACFD 所成的角〔锐角〕的大小.
【答案】〔I 〕详见解析；〔II 〕60
又OH ⊂平面,FGH BD ⊂/平面,FGH
所以//BD 平面FGH ．
由FC
⊥平面ABC ，得HM FC ⊥ 又FC
AC C = 所以HM
⊥平面ACFD 因此GF NH ⊥
所以MNH ∠即为所求的角
【考点定位】1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角的求法；3、空间向量在解决立体几何问题中的应用.
【名师点睛】此题涉及到了立体几何中的线面平行与垂直的断定与性质，全面考察立几何中的证明与求解，意在考察学生的空间想象才能和逻辑推理才能；利用空间向量解决立体几何问题是一种成熟的方法，要注意建立适当的空间直角坐标系以及运算的准确性.
〔18〕〔本小题总分值是12分〕
【2021高考，理18】设数列{}n a 的前n 项和为n S .233n n S =+.
〔I 〕求{}n a 的通项公式；
〔II 〕假设数列
{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T . 【答案】〔I 〕13,1,3,1,n n n a n -=⎧=⎨>⎩
;〔II 〕13631243n n n T +=+⨯. 【考点定位】1、数列前n 项和n S 与通项n a 的关系；2、特殊数列的求和问题.
【名师点睛】此题考察了数列的根本概念与运算，意在考察学生的逻辑思维才能与运算求解才能，思维的严密性和运算的准确性，在利用n S 与通项n a 的关系求n a 的过程中，一定要注意1n
=的情况，错位相减不法虽然思路成熟但也对学生的运算才能提出了较高的要求.
〔19〕〔本小题总分值是12分〕
【2021高考，理19】假设n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，那么称n 为“三位递增数〞〔如137,359,567等〕.在某次数学兴趣活动中，每位参加者需从所有的““三位递增数〞的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；假设能被5整除，但不能被10整除，得1-分；假设能被10整除，得1分.
〔I 〕写出所有个位数字是5的“三位递增数〞；
X 的分布列和数学期望EX .
【答案】〔I 〕有：125，135，145，235，245，345；
〔II 〕X 的分布列为
【考点定位】1、新定义；2、古典概型；3、离散型随机变量的分布列与数学期望；4、组合的应用.
【名师点睛】此题在一个新概念的背景下，考察了学生对组合、概率、离散型随机变量的分布列等知识，意在考察学生对新知识的理解与应用才能，以及利用所学知识解决遇到了的问题的才能，解决此类问题的关键是从实际问题中抽象出数学模型. 〔20〕〔本小题总分值是13分〕
【2021高考，理20】平面直角坐标系xoy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>，左、右焦点分别是12,F F ，以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
〔Ⅱ〕设椭圆22
22
:144x y E a b +=，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .
(i)求OQ OP 的值；
〔ii 〕求ABQ ∆面积的最大值.
【答案】〔I 〕2
214
x y +=；〔II 〕(i)2；〔ii 〕. 【考点定位】1、椭圆的HY 方程与几何性质；2、直线与椭圆位置关系综合问题；3、函数的最值问题.
【名师点睛】此题考察了椭圆的概念HY 方程与几何性质以及直线与椭圆的位置关系，意在考察学生理解力、分析判断才能以及综合利用所学知识解决问题才能和较强的运算求解才能，在得到三角形的面积的表达式后，能否利用换元的方法，观察出其中的函数背景成了完全解决问题的关键.
(21)(本小题总分值是14分)
【2021高考，理21】设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-，其中a R ∈.
〔Ⅰ〕讨论函数
()f x 极值点的个数，并说明理由； 〔Ⅱ〕假设()0,0x f x ∀>≥成立，求a 的取值范围.
【答案】〔I 〕：当0a
<时，函数()f x 在()1,-+∞上有唯一极值点； 当809a ≤
≤时，函数()f x 在()1,-+∞上无极值点； 当89
a >时，函数()f x 在()1,-+∞上有两个极值点； 〔II 〕a 的取值范围是
[]0,1. 〔4〕当0a <时，设()()ln 1h x x x =-+
【考点定位】1、导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想.
【名师点睛】此题考察了导数在研究函数性质中的应用，着重考察了分类讨论、数形结合、转化的思想方法，意在考察学生结合所学知识分析问题、解决问题的才能，其中最后一问所构造的函数表达了学生对不同函数增长模型的深化理解.。