劳斯判据的证明

1、劳斯判据证明思路：
（1）将给定的描述系统运动的高阶齐次微分方程变换为齐次状态方程．
（2）给定对称正定（或非负定）矩阵Ｑ，根据式Ax x
= ,Q PA P A T -=+求出相应的矩阵Ｐ
（3）由要求矩阵Ｐ为正定的条件证明赫尔维茨稳定判据
2、赫尔维茨稳定性判据证明．
Ax x
= （1） Q PA P A T -=+ （2）
设在输入信号为零的情况下，系统的齐次微分方程为
01111=++⋅⋅⋅++---x a dt
dx a dt x d a dt x d n n n n n n （3） 式（3）的系数行列式为：
n n n a a a a a a a a a a a 000000000000
0000010000011
12345
123
1
-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∆ 赫尔维茨判据为：系数行列式n ∆的各阶顺序主子式大于0.
证明：
首先将系统的高阶微分方程写成状态方程的形式．
选择系统的状态变量为 []T n x x x x 21=
令x x =1，则式（2）等价于下列状态方程：Ax x
= ，其中 12
1000001000000
000100
0000100000010
b b b b A n n
----=-
(4)
该矩阵特点是：主对角线上除最后一个元素外，其余元素均为0；主对角线以上各元素为1；主对角线以下各元素从第二行开始依次为-bn 到-b1。

其次，应给定矩阵Ｑ，并根据式（2）去求矩阵P
设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡-=21200000000b Q (5) 这是一个对称非负定矩阵，由此可知李雅普诺夫函数的导数为 2212n
T x b Qx x V -=-= 。

只要x1，x2，…，xn 不全都为零，则0≠n x ，于是()x V 不可能恒为零．所以按式（4）选定的矩阵Ｑ是合理的．
再假设矩阵Ｐ是对角线矩阵
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-12
1000000
000000p p p p P n n (6) 将式（４）、式（5）、式（6）代人式（２），即可得 ⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-11
2121120
0000000
000
0b b b b b b b b b P n n 最后检验矩阵Ｐ的正定性．如欲系统的半衡点是大范围渐近稳定的，则矩阵Ｐ应是正定的，亦即矩阵Ｐ主对角线上各元素均应大于零，即有 0,0,012121>>>b b b b b b n 。

考虑到i i b ∆和（ｉ＝１，２，…，n ）的关系，也就是要满足以下不等式的条件
11>∆=b 0211
212>∆=∆∆∆=b b 131********∆∆=∆∆∆∆∆∆=
b b b >0
……
02121>∆∆=--n n n n b b b b
由此易知，只要满足n ∆∆∆,,,21 同时大于0，矩阵Ｐ就是正定的．此时，由式
（3）所描述的系统才是稳定的，这正是赫尔维茨稳定判据的结论。

从而证明了赫尔维茨稳定判据。

3、劳斯判据和赫尔维茨判据的等价性
式（3）的特征方程为：
0111=++++--n n n n a s a s a s
其系数的赫尔维茨判据的主次排列的主子行列式为
1,00100011
3222122345
123
1
≥≥=∆----r n a a a a a a a a a a a a r r r r r
其中，当1=k a 时，系统劳斯阵列形式为
121
321
321
531
6421
f e e c c c b b b a a a a a a a n
第一列的第一项为1，第二项为11∆=a ，第三项为1
213211∆∆=-=a a a a b ，第四项为 2313211541131321121311∆∆=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=a a a a a a a a a a a a a a b b a a b c 用此法，可求出第一列其他余项。

劳斯阵列有一性质：任意一列最后的非零项都是相同的。

如给定阵列为 11
21
21
321
321
7531
6420
g f e e d d c c c b b b a a a a a a a a
则1237g e c a === 第一列最后一项1-∆∆=n n
n a
所以当系统行列式满足n i r ,,2,1,0 =>∆时，同时也就满足劳斯表第一行大于零的条件，即 0,0,0111>>>c b a 这就证明了劳斯稳定性判据与赫尔维茨稳定性判据之间的等价关系。